2022届北京市顺义区高三（上）第一次统练数学试题含答案

顺义区2022届高三第一次统练

数学试卷

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1） 在复平面内，复数对应的点在

（2）集合，，则

（3）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是

（4）已知，且则向量夹角的余弦值为

（5）在等差数列中，，，则=

（6）已知则“”是“”的

（7）已知过的平面与正方体相交，分别交棱，于，.则下列关于截面的说法中，不正确的是

（8）已知两点,,若直线上存在点，使得成立,则称该直线为“单曲直线”.下列直线中，“单曲直线”是

①;    ②;   ③ ;   ④

（9）如图，，是全等的等腰直角三角形，为直角顶点，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，，则

（10）为弘扬传统文化，某中学举办了主题为“琴、棋、书、画”的传统文化知识竞赛．现有四位选手进入到决赛．决赛按“琴、棋、书、画”的主题分为四个环节，规定每个环节的第一名到第四名的得分依次为4，3，2，1分，四个环节结束后统计总分.若总分第一名获得14分，总分第二名获得13分.有下列结论：

①总分第三名不超过9分；

②总分第四名可能在某一个环节的比赛中拿到3分；

③总分第四名不超过6分；

④总分第三名可能获得某一个环节比赛的第一名.

其中，所有正确结论的序号是

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.

（11）函数的定义域为____________.

（12）在的展开式中,的系数为          .（用数字作答）

（13）将直线绕着点按逆时针方向旋转，得到直线.则的倾斜角为___________，的方程是________________.

（14）若实数满足，则使得成立的一个的值是__________.

（15）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义

为两点，之间的“出租车距离”.

给出下列四个结论：

①若点，点，则;

②到点的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是;

③若点，点是抛物线上的动点，则的最小值是1；

④若点，点是圆上的动点，则的最大值是.

其中，所有正确结论的序号是______________.

三、解答题共6道题，共85分, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（16）（本小题14分）如图，在长方体中，，点在线段AB上.

（1）证明：； 

（II）当点是AB中点时，求与平面所成角的大小.

（17）（本小题14分）在中，，

（I）求的大小；

（II）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，判断是否存在，若不存在，说明理由；若存在，求出的面积.

条件①：；

条件②：；

条件③：成等差数列.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

（18）（本小题14分）某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动,共有两种农产品供选择,每人只购其中一种.大家约定：每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若掷出点数为1或2，购买农产品A,若掷出点数大于2，则购买农产品B.

（I）求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率；

（II）用分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.

（19）（本小题14分）已知函数

（I）若，求曲线在点处的切线方程；

（II）若对任意，都有.求实数的取值范围.

（20）（本小题15分）已知椭圆过点，且离心率.

（I）求椭圆的方程；

（II）点在直线上，点关于轴的对称点为，直线分别交椭圆于两点（不同于点）.求证：直线过定点.

（21）（本小题14分）数列：满足，称为数列的指数和．

（Ⅰ）若，求所有可能的取值；

（Ⅱ）求证:的充分必要条件是；

（Ⅲ）若，求的所有可能取值之和．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.

BBDAA  BCDBC

二、填空题共5道小题，每题5分，共25分

11、                  12、             13、;   

14、          15、①③④

注：11题不写成集合，但结果正确的，给2分

12题没写成数字的，不得分

13题第一空给3分，第2空给2分，第2空不化简不扣分

14题没有写出具体取值，而是解出取值范围，得2分

15题有错不得分，只选1个正确选项得2分，选择2个正确选项得3分

三，解答题共6道题，共85分, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

16、

（I）连结，因为在长方体中

所以有，，所以 ---------2分

又因为，所以

所以，又，所以      ---------4分

又    所以                        ---------6分

注：若第一问中，将取做中点或其它特殊点，如果证明过程正确，则最多给3分

（II）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为，，

当点是AB中点时，可得

所以，                            ---------8分

设为平面的一个法向量

则即令

所以                                              ---------10分

又，所以

设与平面所成角为，，

则                                 ---------12分

即所以与平面所成的角为                  ---------14分

17、（I）因为，由正弦定理   ---------2分

可得                                        

所以，                                    ---------4分

即，又，所以                      ---------6分

（II）选择条件①：

由（I）知，. 所以可得，   ---------8分

所以，     此时存在                           ---------10分

因为，所以                            ---------11分

又因为  -----12分

所以                              ---------14分

注：如果没有判断是否存在，而直接求出的面积，不扣分

选择条件②：

因为，由余弦定理可得，        ---------8分

又所以可得，                             ---------10分

又由条件②：可得所以，        ---------12分

又，所以可得，这与在中，矛盾

故此时不存在                                        ---------14分

选择条件③：成等差数列

因为成等差数列，所以，                     ---------7分

因为，所以

又由余弦定理可得，                  ---------9分

化简得                                       ---------10分

联立方程组可解得            ---------12分

又，，所以可知为等边三角形，此时存在

所以                               ---------14分

注：如果没有判断是否存在，而直接求出的面积，不扣分

18、（I）由题可知购买农产品的概率为，

购买农产品的概率为                                    ---------2分

设事件为4人中恰有1人购买农产品，                    ---------3分

依题可知，4人是否购买农产品相互独立，互不影响             ---------4分

所以                              ---------5分

注：没有判断是否为相互独立事件，扣1分，没有设事件，扣1分，最后结果不化简，结果正确，不扣分

（II）用分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，

则可取，可取，                         ---------7分

当时，，表示4人全部购买产品，概率，

当时，，表示4人中恰有1人购买农产品，概率，

当时，，表示4人中恰有2人购买农产品，概率，

当时，，表示4人中恰有3人购买农产品，概率，

当时，，表示4人中全部购买农产品，概率，

所以由可知，的可能取值为                          ---------9分

当时，对应的概率，                   

当时，对应的概率，                  

当时，对应的概率，                      

所以随机变量的分布列为

---------12分

所以，数学期望.                  ---------14分

注：期望公式表达正确，得1分，期望值结果正确，不化简不扣分.

19、（I）当时,函数，定义域为，        ---------2分

又，，                                    ---------4分

所以                                                     ---------5分

所以曲线在点处的切线方程为即  ----6分

（II）若在上恒成立，

即在上恒成立                           ---------7分

可设，

则                                     ---------9分

，，

令可解得                                     ---------11分

讨论：（1）当时，即时，在上恒成立

所以在上单调递增，，又

所以恒成立，即时满足                              ---------12分

（2）当即时，

在上单调递减，在上单调递增

此时，，又时，，即

不满足恒成立，故舍去                                   ---------13分

综上可知：实数的取值范围是.                            ---------14分

2）方法二：

若在上恒成立，

即在上恒成立.                        ---------7分

令，则，

从而在上恒成立的一个必要条件是，        ---------10分

以下证明这个条件也是充分的.

事实上，当时，

.-----11分

记,只要证明当时，.       ---------12分

注意到

从而当时，.

这表明是在上恒成立的充分必要条件.       ---------14分

20、（I）依题意可得，又，                       ---------1分

所以，可解得，                                     ---------3分

所以椭圆方程为                                    ---------4分

（II）因为两点不同于点，所以直线斜率一定存在，

可设方程为，设，其中

联立方程组消去，化简可得--------6分

所以，①式                         ---------8分

又，所以，

所以直线方程为，直线方程为

令得，                       ---------10分

因为关于轴对称，所以即---------12分

又 代入上式，整理可得

将①式代入可得                                        ---------14分

所以，直线的方程为，即

所以，直线过定点                                       ---------15分

（2）方法二：首先根据与关于轴对称，有，进而 

.                        ---------6分

记，设，其中

联立方程组消去，化简可得，-----8分

从而.                                  ---------10分

另一方面，

所以，                                 ---------12分

化简可知，                           ---------14分

所以，直线与直线相交于定点.                       ---------15分

（其它方法酌情给分）

21、（I）                                    ---------4分

注：每够两个值给1分，有1个错值扣1分.最少得0分.

（II）(充分性)

当时，可得

     ---------7分

(必要性)

当时，用反证法，

假设，则矛盾.

从而                                                   ---------10分

（III）当时，根据第（2）问结论可知,并且反之亦然.

当时，有中不同取值方式，

其中在所有指数和中出现的总次数都是种，

因此这些项对指数和的总贡献为零. 另一方面在所有指数和中出现次，

从而所有指数和之和为                       ---------14分

（其它正确方法酌情给分