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2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区八年级（上）期末数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列选项中的图标，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）已知a＜b，下列式子正确的是（ ）
A．a+3＞b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．
3．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠C＝40°，则∠E的度数为（ ）
A．80° B．75° C．40° D．70°
4．（3分）若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
5．（3分）如图，AB＝DB，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（ ）
A．BC＝BE B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DEB D．AC＝DE
6．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
7．（3分）一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．a＜﹣3 D．﹣4＜a＜
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（ ）
A．44 B．43 C．42 D．41
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连结DH，IJ．图中两块阴影部分面积分别记为S1，S2．若S1：S2＝1：4，S四边形边BAHE＝18，则四边形MBNJ的面积为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 ．
12．（3分）若函数y＝2x+b（b为常数）的图象经过点A（0，﹣2），则b＝ ．
13．（3分）三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 ．
14．（3分）如果点M（a+b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在第 象限．
15．（3分）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为 ．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝ ．
17．（3分）在直角坐标系中，有A（3，﹣3），B（5，3）两点，现另取一点C（1，n），当△ABC周长最小时，n的值是 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分）
19．（6分）解不等式（组）
（1）2（5x+3）≤x﹣3（1﹣2x）
（2）
20．（6分）如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系，写出点B和点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
21．（8分）如图，等边△ABC的边AC，BC上各有一点E，D，AE＝CD，AD，BE相交于点O．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若∠OBD＝45°，求∠ADC的度数．
22．（8分）某校八年级举行英语演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本，并且所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量，设买A笔记本n本，买两种笔记本的总费为w元．
（1）写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；
（2）购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？
23．（8分）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝，求△PDC的面积．
24．（10分）如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列选项中的图标，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）已知a＜b，下列式子正确的是（ ）
A．a+3＞b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．
【分析】由于a＜b，根据不等式的性质可以分别判定A、B、C、D 是否正确．
【解答】解：A、∵a＜b，∴a+3＜b+3，故本选项错误；
B、∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，故本选项正确；
C、∵a＜b，﹣3a＞﹣3b，故本选项错误；
D、∵a＜b，∴，故本选项错误．
故选：B．
3．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠C＝40°，则∠E的度数为（ ）
A．80° B．75° C．40° D．70°
【分析】根据全等三角形的性质：对应角相等解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠E＝∠C＝40°，
故选：C．
4．（3分）若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【分析】设三个内角度数为2x、3x、4x，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设三个内角度数为2x、3x、4x，
由三角形内角和定理得，2x+3x+4x＝180°，
解得，x＝20°，
则三个内角度数为40°、60°、80°，
则这个三角形一定是锐角三角形，
故选：A．
5．（3分）如图，AB＝DB，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（ ）
A．BC＝BE B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DEB D．AC＝DE
【分析】本题要判定△ABC≌△DBE，已知AB＝DB，∠1＝∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、添加BC＝BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；
B、添加∠A＝∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；
C、添加∠ACB＝∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；
D、添加AC＝DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误．
故选：D．
6．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】解：A、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．
故选：C．
7．（3分）一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的性质构建不等式组即可解决问题．
【解答】解：由题意：由题意：，
解得﹣2＜x＜3
故选：C．
8．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．a＜﹣3 D．﹣4＜a＜
【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知不等式组的整数解有5个即可得出a的取值范围是﹣4≤a＜﹣3．
【解答】解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，
解不等式3﹣2x＞0，得：x＜1.5，
∵不等式组的整数解有5个，
∴﹣4≤a＜﹣3．
故选：B．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（ ）
A．44 B．43 C．42 D．41
【分析】由旋转的性质可得出BD＝BC，结合∠CBD＝60°可得出△BCD为等边三角形，进而可得出CD的长度，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度，再根据三角形的周长公式即可求出△ACF与△BDF的周长之和．
【解答】解：∵△BDE由△BCA旋转得出，
∴BD＝BC＝12．
∵∠CBD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD＝BC＝12．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∴C△ACF+C△BDF＝AC+CF+AF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42．
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连结DH，IJ．图中两块阴影部分面积分别记为S1，S2．若S1：S2＝1：4，S四边形边BAHE＝18，则四边形MBNJ的面积为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【分析】先证△CAB≌△DAH（SAS），得∠ADH＝90°，则H、D、E三点共线，再证＝，则BC＝FC＝FG＝BG＝2GJ，AC＝AD＝DE＝CE＝BC+GJ＝3GJ，然后由S四边形BAHE＝S△ADH+S梯形ADEB＝18，求出GJ＝，证△FAN≌△EBM（ASA），则S△FAN＝S△EBM，最后由S四边形MBNJ＝S矩形CFJE﹣S四边形BCFN﹣S△EBM＝S矩形CFJE﹣S△ABC，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形BAHI和四边形CADE都是正方形，
∴AC＝AD，AB＝AH，∠CAD＝∠ABI＝∠BAH＝∠ADE＝90°，
∴∠CAB+∠BAD＝∠DAH+∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAH，
在△CAB和△DAH中，
，
∴△CAB≌△DAH（SAS），
∴∠ADH＝∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴H、D、E三点共线，
∵四边形BCFG和四边形CADE都是正方形，延长BG、FG分别交AD、DE于点K、J，
∴四边形ADJF和四边形BEDK都是矩形，且AF＝BE，∠AFN＝∠BEM＝90°，四边形DKGJ是正方形，四边形CFJE是矩形，
∵S1：S2＝1：4，
∴＝，
∴BC＝FC＝FG＝BG＝2GJ，
∵四边形CADE是正方形，
∴∠ADE＝90°，AC＝AD＝DE＝CE＝BC+GJ＝3GJ，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝GJ，
在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH＝＝＝2GJ，
∵S四边形BAHE＝S△ADH+S梯形ADEB＝18，
∴AD•DH+（AD+BE）•DE＝×3GJ×2GJ+（3GJ+GJ）×3GJ＝18，
解得：GJ＝（负值已舍去），
∵∠ABC+∠EBM＝180°﹣∠ABI＝180°﹣90°＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝∠EBM，即∠FAN＝∠EBM，
在△FAN和△EBM中，
，
∴△FAN≌△EBM（ASA），
∴S△FAN＝S△EBM，
∴S△ABC＝S四边形BCFN+S△FAN＝S四边形BCFN+S△EBM，
∴S四边形MBNJ＝S矩形CFJE﹣S四边形BCFN﹣S△EBM＝S矩形CFJE﹣S△ABC＝FC•CE﹣AC•BC＝2GJ×3GJ﹣×3GJ×2GJ＝3GJ2＝3×（）2＝6，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 两直线平行，内错角相等 ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等．
故答案为：两直线平行，内错角相等．
12．（3分）若函数y＝2x+b（b为常数）的图象经过点A（0，﹣2），则b＝ ﹣2 ．
【分析】把A点坐标代入可得到关于b的方程，则可求得b的值．
【解答】解：
∵函数y＝2x+b（b为常数）的图象经过点A（0，﹣2），
∴b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．（3分）三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 4 ．
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．
【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．
即2＜a＜6，
由周长为偶数，
则a为4．
故答案为：4．
14．（3分）如果点M（a+b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在第 三 象限．
【分析】先根据点M（a+b，ab）在第二象限确定出a+b＜0，ab＞0，再进一步确定a，b的符号即可求出答案．
【解答】解：∵点M（a+b，ab）在第二象限，
∴a+b＜0，ab＞0；
∵ab＞0可知ab同号，又∵a+b＜0可知a，b同是负数．
∴a＜0 b＜0，即点N在第三象限．故答案填：三．
15．（3分）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为 65°或25° ．
【分析】分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．
【解答】解：有两种情况；
（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB＝90°，
已知∠ABD＝40°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣50°）＝65°；
（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，
则∠FHE＝90°，
已知∠HFE＝40°，
∴∠HEF＝90°﹣40°＝50°，
∴∠FEG＝180°﹣50°＝130°，
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠G＝×（180°﹣130°）＝25°，
故答案为65°或25°；
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝ ．
【分析】将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则AD＝A′D．则直角△A′DC中根据勾股定理，即可得到一个关于CD的方程，即可求得．
【解答】解：设CD＝x，则AD＝A′D＝4﹣x．
在直角三角形ABC中，BC＝＝5．则A′C＝BC﹣AB＝BC﹣A′B＝5﹣3＝2．
在直角三角形A′DC中：AD2+AC2＝CD2．
即：（4﹣x）2+22＝x2．
解得：x＝．
17．（3分）在直角坐标系中，有A（3，﹣3），B（5，3）两点，现另取一点C（1，n），当△ABC周长最小时，n的值是 ﹣1 ．
【分析】先作出点A关于x＝1的对称点A′，再连接A'B，求出直线A'B的函数解析式，再把x＝1代入即可得．
【解答】解：作点A关于x＝1的对称点A'（﹣1，﹣3），连接A'B交x＝1于C，此时AB+AC+BC的值最小，
设直线A′B的解析式为y＝kx+b，
把A′（﹣1，﹣3），B（5，3）代入得
，
解得，
∴直线A'B的函数解析式为y＝x﹣2，
把C的坐标（1，n）代入解析式可得n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为 （0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3） ．
【分析】根据题意，结合图形，分情况讨论：①PE＝OE；②OP＝PE；③OP＝OE，依据OF的长即可得到点F的坐标．
【解答】解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中有两段相等，分情况讨论：
①当PE＝OE时，PE⊥x轴，则PF⊥y轴，则OF＝PE＝3，故F的坐标是（0，3）；
②当OP＝PE时，∠OPE＝90°＝∠FPE，则F与O重合，即点F坐标为（0，0）；
③当OP＝OE，点E在x轴正半轴上时，过P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，易得△PAE≌△PBF，
∴BF＝AE＝OE﹣AO＝3﹣3，
此时，OF＝3﹣（3﹣3）＝6﹣3，
当点E在x轴负半轴上时，同理可得，BF＝AE＝OE+AO＝3+3，
此时，OF＝3+（3+3）＝6+3，
∴点F的坐标是：（0，6﹣3）或（0，6+3）．
故答案为：（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3）．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分）
19．（6分）解不等式（组）
（1）2（5x+3）≤x﹣3（1﹣2x）
（2）
【分析】（1）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）去括号得：10x+6≤x﹣3+6x，
移项得：10x﹣x﹣6x≤﹣3﹣6，
合并得：3x≤﹣9，
系数化为1得：x≤﹣3．
（2），
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
20．（6分）如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系，写出点B和点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据题意可以建立平面直角坐标系，从而可以写出点B和点C的坐标；
（2）根据图形可以求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）如右图所示，
点B的坐标是（﹣3，﹣1），点C的坐标为（1，1）；
（2）由图可得，
△ABC的面积是：4×4﹣＝5．
21．（8分）如图，等边△ABC的边AC，BC上各有一点E，D，AE＝CD，AD，BE相交于点O．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若∠OBD＝45°，求∠ADC的度数．
【分析】（1）利用SAS即可证明；
（2）由（1）得△ABE≌△CAD，则∠ABE＝∠CAD，再利用三角形外角的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACD，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：由（1）得△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠ABE+∠BAO＝∠BAC＝60°，
∴∠ADC＝∠OBD+∠BOD＝45°+60°＝105°，
∴∠ADC的度数为105°．
22．（8分）某校八年级举行英语演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本，并且所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量，设买A笔记本n本，买两种笔记本的总费为w元．
（1）写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；
（2）购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据可以写出w（元）关于n（本）的函数关系式，根据所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量，可以列出相应的不等式组，从而可以求得n的取值范围，注意n为整数；
（2）根据（1）中函数关系式和n的取值范围，利用一次函数的性质，可以求得购买这两种笔记本各多少时，费用最少，最少的费用是多少元．
【解答】解：（1）由题意可得，
w＝12n+8（30﹣n）＝4n+240，
∵所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量，
∴，
解得5≤n≤13，
∵n为整数，
∴5≤n≤13，
即w（元）关于n（本）的函数关系式是w＝4n+240（5≤n≤13且n为整数）；
（2）由（1）知w＝4n+240，
∴w随n的增大而增大，
∵5≤n≤13且n为整数，
∴当n＝5时，w取得最小值，此时w＝260，30﹣n＝25，
答：购买A种笔记本5本、B种笔记本25本时，费用最少，最少的费用是260元．
23．（8分）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 A ．
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝，求△PDC的面积．
【分析】（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，满足a2+b2＝3，根据“方倍三角形”定义，还满足：a2+3＝2b2，即可得a和b的值，进而可得直角三角形的面积；
（3）根据题意可得△ABP≌△DBP，根据“方倍三角形”定义可得△ABD为等边三角形，从而证明△APD为等腰直角三角形，可得AP＝DP＝，延长BP交AD于点E，根据勾股定理求出BE的长，根据△PBC为等腰直角三角形，可得PC＝PB＝﹣，进而可以求△PDC的面积．
【解答】解：（1）对于①等边三角形，三边相等，
设边长为a，
则a2+a2＝2a2，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
a2+b2＝c2，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为：A；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，
则满足a2+b2＝3，
根据“方倍三角形”定义，还满足：
a2+3＝2b2，
联立解得，
则Rt△ABC的面积为：；
故答案为：；
（3）由题意可知：
△ABP≌△DBP，
∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，
根据“方倍三角形”定义可知：
BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，∠BAD＝60°，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∴∠PBC＝90°，
∵∠CPB＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DPC＝90°，
∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝15°，
∴∠CAD＝45°，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴AP＝DP＝，
∴AD＝2，
延长BP交AD于点E，如图，
∵∠ABP＝∠PBD，
∴BE⊥AD，PE＝AD＝AE＝1，
∴BE＝＝＝，
∴PB＝BE﹣PE＝﹣1，
∵∠CPB＝∠PCB＝45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC＝PB＝﹣，
∴S△PDC＝PC•PD＝（﹣）×＝﹣1．
24．（10分）如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；
（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．
【解答】解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2分）
（2）由折叠知：CD＝AD．设AD＝x，则CD＝x，BD＝4﹣x，
根据题意得：（4﹣x）2+22＝x2解得：
此时，AD＝，（2分）
设直线CD为y＝kx+4，把代入得（1分）
解得：
∴直线CD解析式为（1分）
（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，
由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，
AD＝，PD＝BD＝＝，AP＝BC＝2
由AD×PQ＝DP×AP得：
∴
∴，把代入得
此时
（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）
③当点P在第二象限时，如图
同理可求得：
∴
此时
综合得，满足条件的点P有三个，
分别为：P1（0，0）；；．
2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列选项中的图标，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）已知a＜b，下列式子正确的是（ ）
A．a+3＞b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．
3．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠C＝40°，则∠E的度数为（ ）
A．80° B．75° C．40° D．70°
4．（3分）若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
5．（3分）如图，AB＝DB，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（ ）
A．BC＝BE B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DEB D．AC＝DE
6．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
7．（3分）一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．a＜﹣3 D．﹣4＜a＜
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（ ）
A．44 B．43 C．42 D．41
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连结DH，IJ．图中两块阴影部分面积分别记为S1，S2．若S1：S2＝1：4，S四边形边BAHE＝18，则四边形MBNJ的面积为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 ．
12．（3分）若函数y＝2x+b（b为常数）的图象经过点A（0，﹣2），则b＝ ．
13．（3分）三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 ．
14．（3分）如果点M（a+b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在第 象限．
15．（3分）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为 ．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝ ．
17．（3分）在直角坐标系中，有A（3，﹣3），B（5，3）两点，现另取一点C（1，n），当△ABC周长最小时，n的值是 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分）
19．（6分）解不等式（组）
（1）2（5x+3）≤x﹣3（1﹣2x）
（2）
20．（6分）如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系，写出点B和点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
21．（8分）如图，等边△ABC的边AC，BC上各有一点E，D，AE＝CD，AD，BE相交于点O．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若∠OBD＝45°，求∠ADC的度数．
22．（8分）某校八年级举行英语演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本，并且所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量，设买A笔记本n本，买两种笔记本的总费为w元．
（1）写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；
（2）购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？
23．（8分）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝，求△PDC的面积．
24．（10分）如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列选项中的图标，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）已知a＜b，下列式子正确的是（ ）
A．a+3＞b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．
【分析】由于a＜b，根据不等式的性质可以分别判定A、B、C、D 是否正确．
【解答】解：A、∵a＜b，∴a+3＜b+3，故本选项错误；
B、∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，故本选项正确；
C、∵a＜b，﹣3a＞﹣3b，故本选项错误；
D、∵a＜b，∴，故本选项错误．
故选：B．
3．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠C＝40°，则∠E的度数为（ ）
A．80° B．75° C．40° D．70°
【分析】根据全等三角形的性质：对应角相等解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠E＝∠C＝40°，
故选：C．
4．（3分）若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【分析】设三个内角度数为2x、3x、4x，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设三个内角度数为2x、3x、4x，
由三角形内角和定理得，2x+3x+4x＝180°，
解得，x＝20°，
则三个内角度数为40°、60°、80°，
则这个三角形一定是锐角三角形，
故选：A．
5．（3分）如图，AB＝DB，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（ ）
A．BC＝BE B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DEB D．AC＝DE
【分析】本题要判定△ABC≌△DBE，已知AB＝DB，∠1＝∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、添加BC＝BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；
B、添加∠A＝∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；
C、添加∠ACB＝∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；
D、添加AC＝DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误．
故选：D．
6．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】解：A、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．
故选：C．
7．（3分）一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的性质构建不等式组即可解决问题．
【解答】解：由题意：由题意：，
解得﹣2＜x＜3
故选：C．
8．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．a＜﹣3 D．﹣4＜a＜
【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知不等式组的整数解有5个即可得出a的取值范围是﹣4≤a＜﹣3．
【解答】解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，
解不等式3﹣2x＞0，得：x＜1.5，
∵不等式组的整数解有5个，
∴﹣4≤a＜﹣3．
故选：B．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（ ）
A．44 B．43 C．42 D．41
【分析】由旋转的性质可得出BD＝BC，结合∠CBD＝60°可得出△BCD为等边三角形，进而可得出CD的长度，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度，再根据三角形的周长公式即可求出△ACF与△BDF的周长之和．
【解答】解：∵△BDE由△BCA旋转得出，
∴BD＝BC＝12．
∵∠CBD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD＝BC＝12．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∴C△ACF+C△BDF＝AC+CF+AF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42．
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连结DH，IJ．图中两块阴影部分面积分别记为S1，S2．若S1：S2＝1：4，S四边形边BAHE＝18，则四边形MBNJ的面积为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【分析】先证△CAB≌△DAH（SAS），得∠ADH＝90°，则H、D、E三点共线，再证＝，则BC＝FC＝FG＝BG＝2GJ，AC＝AD＝DE＝CE＝BC+GJ＝3GJ，然后由S四边形BAHE＝S△ADH+S梯形ADEB＝18，求出GJ＝，证△FAN≌△EBM（ASA），则S△FAN＝S△EBM，最后由S四边形MBNJ＝S矩形CFJE﹣S四边形BCFN﹣S△EBM＝S矩形CFJE﹣S△ABC，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形BAHI和四边形CADE都是正方形，
∴AC＝AD，AB＝AH，∠CAD＝∠ABI＝∠BAH＝∠ADE＝90°，
∴∠CAB+∠BAD＝∠DAH+∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAH，
在△CAB和△DAH中，
，
∴△CAB≌△DAH（SAS），
∴∠ADH＝∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴H、D、E三点共线，
∵四边形BCFG和四边形CADE都是正方形，延长BG、FG分别交AD、DE于点K、J，
∴四边形ADJF和四边形BEDK都是矩形，且AF＝BE，∠AFN＝∠BEM＝90°，四边形DKGJ是正方形，四边形CFJE是矩形，
∵S1：S2＝1：4，
∴＝，
∴BC＝FC＝FG＝BG＝2GJ，
∵四边形CADE是正方形，
∴∠ADE＝90°，AC＝AD＝DE＝CE＝BC+GJ＝3GJ，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝GJ，
在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH＝＝＝2GJ，
∵S四边形BAHE＝S△ADH+S梯形ADEB＝18，
∴AD•DH+（AD+BE）•DE＝×3GJ×2GJ+（3GJ+GJ）×3GJ＝18，
解得：GJ＝（负值已舍去），
∵∠ABC+∠EBM＝180°﹣∠ABI＝180°﹣90°＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝∠EBM，即∠FAN＝∠EBM，
在△FAN和△EBM中，
，
∴△FAN≌△EBM（ASA），
∴S△FAN＝S△EBM，
∴S△ABC＝S四边形BCFN+S△FAN＝S四边形BCFN+S△EBM，
∴S四边形MBNJ＝S矩形CFJE﹣S四边形BCFN﹣S△EBM＝S矩形CFJE﹣S△ABC＝FC•CE﹣AC•BC＝2GJ×3GJ﹣×3GJ×2GJ＝3GJ2＝3×（）2＝6，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 两直线平行，内错角相等 ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等．
故答案为：两直线平行，内错角相等．
12．（3分）若函数y＝2x+b（b为常数）的图象经过点A（0，﹣2），则b＝ ﹣2 ．
【分析】把A点坐标代入可得到关于b的方程，则可求得b的值．
【解答】解：
∵函数y＝2x+b（b为常数）的图象经过点A（0，﹣2），
∴b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．（3分）三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 4 ．
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．
【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．
即2＜a＜6，
由周长为偶数，
则a为4．
故答案为：4．
14．（3分）如果点M（a+b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在第 三 象限．
【分析】先根据点M（a+b，ab）在第二象限确定出a+b＜0，ab＞0，再进一步确定a，b的符号即可求出答案．
【解答】解：∵点M（a+b，ab）在第二象限，
∴a+b＜0，ab＞0；
∵ab＞0可知ab同号，又∵a+b＜0可知a，b同是负数．
∴a＜0 b＜0，即点N在第三象限．故答案填：三．
15．（3分）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为 65°或25° ．
【分析】分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．
【解答】解：有两种情况；
（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB＝90°，
已知∠ABD＝40°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣50°）＝65°；
（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，
则∠FHE＝90°，
已知∠HFE＝40°，
∴∠HEF＝90°﹣40°＝50°，
∴∠FEG＝180°﹣50°＝130°，
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠G＝×（180°﹣130°）＝25°，
故答案为65°或25°；
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝ ．
【分析】将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则AD＝A′D．则直角△A′DC中根据勾股定理，即可得到一个关于CD的方程，即可求得．
【解答】解：设CD＝x，则AD＝A′D＝4﹣x．
在直角三角形ABC中，BC＝＝5．则A′C＝BC﹣AB＝BC﹣A′B＝5﹣3＝2．
在直角三角形A′DC中：AD2+AC2＝CD2．
即：（4﹣x）2+22＝x2．
解得：x＝．
17．（3分）在直角坐标系中，有A（3，﹣3），B（5，3）两点，现另取一点C（1，n），当△ABC周长最小时，n的值是 ﹣1 ．
【分析】先作出点A关于x＝1的对称点A′，再连接A'B，求出直线A'B的函数解析式，再把x＝1代入即可得．
【解答】解：作点A关于x＝1的对称点A'（﹣1，﹣3），连接A'B交x＝1于C，此时AB+AC+BC的值最小，
设直线A′B的解析式为y＝kx+b，
把A′（﹣1，﹣3），B（5，3）代入得
，
解得，
∴直线A'B的函数解析式为y＝x﹣2，
把C的坐标（1，n）代入解析式可得n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为 （0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3） ．
【分析】根据题意，结合图形，分情况讨论：①PE＝OE；②OP＝PE；③OP＝OE，依据OF的长即可得到点F的坐标．
【解答】解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中有两段相等，分情况讨论：
①当PE＝OE时，PE⊥x轴，则PF⊥y轴，则OF＝PE＝3，故F的坐标是（0，3）；
②当OP＝PE时，∠OPE＝90°＝∠FPE，则F与O重合，即点F坐标为（0，0）；
③当OP＝OE，点E在x轴正半轴上时，过P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，易得△PAE≌△PBF，
∴BF＝AE＝OE﹣AO＝3﹣3，
此时，OF＝3﹣（3﹣3）＝6﹣3，
当点E在x轴负半轴上时，同理可得，BF＝AE＝OE+AO＝3+3，
此时，OF＝3+（3+3）＝6+3，
∴点F的坐标是：（0，6﹣3）或（0，6+3）．
故答案为：（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3）．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分）
19．（6分）解不等式（组）
（1）2（5x+3）≤x﹣3（1﹣2x）
（2）
【分析】（1）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）去括号得：10x+6≤x﹣3+6x，
移项得：10x﹣x﹣6x≤﹣3﹣6，
合并得：3x≤﹣9，
系数化为1得：x≤﹣3．
（2），
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
20．（6分）如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系，写出点B和点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据题意可以建立平面直角坐标系，从而可以写出点B和点C的坐标；
（2）根据图形可以求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）如右图所示，
点B的坐标是（﹣3，﹣1），点C的坐标为（1，1）；
（2）由图可得，
△ABC的面积是：4×4﹣＝5．
21．（8分）如图，等边△ABC的边AC，BC上各有一点E，D，AE＝CD，AD，BE相交于点O．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若∠OBD＝45°，求∠ADC的度数．
【分析】（1）利用SAS即可证明；
（2）由（1）得△ABE≌△CAD，则∠ABE＝∠CAD，再利用三角形外角的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACD，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：由（1）得△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠ABE+∠BAO＝∠BAC＝60°，
∴∠ADC＝∠OBD+∠BOD＝45°+60°＝105°，
∴∠ADC的度数为105°．
22．（8分）某校八年级举行英语演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本，并且所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量，设买A笔记本n本，买两种笔记本的总费为w元．
（1）写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；
（2）购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据可以写出w（元）关于n（本）的函数关系式，根据所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量，可以列出相应的不等式组，从而可以求得n的取值范围，注意n为整数；
（2）根据（1）中函数关系式和n的取值范围，利用一次函数的性质，可以求得购买这两种笔记本各多少时，费用最少，最少的费用是多少元．
【解答】解：（1）由题意可得，
w＝12n+8（30﹣n）＝4n+240，
∵所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量，
∴，
解得5≤n≤13，
∵n为整数，
∴5≤n≤13，
即w（元）关于n（本）的函数关系式是w＝4n+240（5≤n≤13且n为整数）；
（2）由（1）知w＝4n+240，
∴w随n的增大而增大，
∵5≤n≤13且n为整数，
∴当n＝5时，w取得最小值，此时w＝260，30﹣n＝25，
答：购买A种笔记本5本、B种笔记本25本时，费用最少，最少的费用是260元．
23．（8分）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 A ．
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝，求△PDC的面积．
【分析】（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，满足a2+b2＝3，根据“方倍三角形”定义，还满足：a2+3＝2b2，即可得a和b的值，进而可得直角三角形的面积；
（3）根据题意可得△ABP≌△DBP，根据“方倍三角形”定义可得△ABD为等边三角形，从而证明△APD为等腰直角三角形，可得AP＝DP＝，延长BP交AD于点E，根据勾股定理求出BE的长，根据△PBC为等腰直角三角形，可得PC＝PB＝﹣，进而可以求△PDC的面积．
【解答】解：（1）对于①等边三角形，三边相等，
设边长为a，
则a2+a2＝2a2，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
a2+b2＝c2，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为：A；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，
则满足a2+b2＝3，
根据“方倍三角形”定义，还满足：
a2+3＝2b2，
联立解得，
则Rt△ABC的面积为：；
故答案为：；
（3）由题意可知：
△ABP≌△DBP，
∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，
根据“方倍三角形”定义可知：
BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，∠BAD＝60°，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∴∠PBC＝90°，
∵∠CPB＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DPC＝90°，
∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝15°，
∴∠CAD＝45°，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴AP＝DP＝，
∴AD＝2，
延长BP交AD于点E，如图，
∵∠ABP＝∠PBD，
∴BE⊥AD，PE＝AD＝AE＝1，
∴BE＝＝＝，
∴PB＝BE﹣PE＝﹣1，
∵∠CPB＝∠PCB＝45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC＝PB＝﹣，
∴S△PDC＝PC•PD＝（﹣）×＝﹣1．
24．（10分）如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；
（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．
【解答】解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2分）
（2）由折叠知：CD＝AD．设AD＝x，则CD＝x，BD＝4﹣x，
根据题意得：（4﹣x）2+22＝x2解得：
此时，AD＝，（2分）
设直线CD为y＝kx+4，把代入得（1分）
解得：
∴直线CD解析式为（1分）
（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，
由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，
AD＝，PD＝BD＝＝，AP＝BC＝2
由AD×PQ＝DP×AP得：
∴
∴，把代入得
此时
（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）
③当点P在第二象限时，如图
同理可求得：
∴
此时
综合得，满足条件的点P有三个，
分别为：P1（0，0）；；．
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