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2021-2022学年湖南省娄底市娄星区八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年湖南省娄底市娄星区八年级（上）期末数学试卷 解析版，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算与证明，解答题，说理与应用，应用与探究等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省娄底市娄星区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）。
1．（3分）若x是81的算术平方根，则x＝（ ）
A．9 B．﹣9 C．±9 D．81
2．（3分）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3 B． C．﹣3a＞﹣3b D．a2＞b2
3．（3分）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．﹣2与 B．﹣2与 C．﹣2与﹣ D．|﹣2|与2
4．（3分）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．如果|a|＝|b|，那么a＝b
C．对应角相等的两个三角形全等
D．两直线平行，同位角相等
6．（3分）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）下列根式不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）关于x的一元一次不等式5x≥x+8的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
10．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A．① B．② C．③ D．①和②
11．（3分）用直尺和圆规作∠HDG＝∠AOB的过程中，弧②是（ ）
A．以D为圆心，以DN为半径画弧
B．以M为圆心，以DN长为半径画弧
C．以M为圆心，以EF为半径画弧
D．以D为圆心，以EF长为半径画弧
12．（3分）分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．0
二、填空题（每小题3分，满分18分）
13．（3分）若3a＝6，3b＝2，则3a+b＝ ．
14．（3分）一种花粉颗粒的直径约为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示为 ．
15．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
16．（3分）化简：＝ ．
17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AB的垂直平分线分别交AC于点D，如果△BCD的周长为14cm，则BC＝ cm．
18．（3分）如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，BD＝3cm，EC＝2cm，则DE＝ cm．
三、计算与证明（每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）如图，已知AE＝AD，请你添加一个条件： ．使△ABE≌△ACD，并说明理由．
四、解答题（每小题8分，共16分）
21．（8分）解方程或不等式组：
（1）；
（2）．
22．（8分）先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
五、说理与应用：（本大题共2道小题，每小题9分，满分18分）
23．（9分）某单位在疫情期间购进A、B两种口罩，已知一包A种口罩的单价比一包B种口罩的单价多1元，且花600元购买A种口罩和花500元购买B种口罩的包数相同．
（1）求A，B两种口罩一包的单价各是多少元？
（2）若计划用不超过11000元的资金购进A、B两种口罩共2000包，求A种口罩最多能购进多少包？
24．（9分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积．
六、应用与探究（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）阅读下面材料，然后回答问题：
在进行类似二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：；
方法二：；
（1）请选一种方法化简：；
（2）化简：．
26．（10分）（初步探索）（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
（灵活运用）（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
2021-2022学年湖南省娄底市娄星区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）。
1．（3分）若x是81的算术平方根，则x＝（ ）
A．9 B．﹣9 C．±9 D．81
【分析】利用算术平方根的定义可得答案．
【解答】解：∵81的算术平方根是9，
∴x＝9，
故选：A．
2．（3分）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3 B． C．﹣3a＞﹣3b D．a2＞b2
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴ab，故本选项符合题意；
C．∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b，故本选项不符合题意；
D．当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，但是a2＜b2，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．﹣2与 B．﹣2与 C．﹣2与﹣ D．|﹣2|与2
【分析】A、首先化简算术平方根，然后根据相反数的定义即可判定；
B、首先化简立方根，然后利用相反数的定义即可判定；
C、根据相反数的定义即可判定；
D、首先化简绝对值，然后根据相反数的定义即可判定．
【解答】解：A、＝2，2与﹣2互为相反数，故选项正确；
B、，故与2不是互为相反数，故选项错误；
C、﹣2+（﹣）≠0，故选项错误；
D、|﹣2|＝2，故|﹣2|与2不是互为相反数，故选项错误．
故选：A．
4．（3分）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、，最简分式，符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
5．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．如果|a|＝|b|，那么a＝b
C．对应角相等的两个三角形全等
D．两直线平行，同位角相等
【分析】根据对顶角、绝对值的性质、全等三角形的判定定理、平行线的性质判断即可．
【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，本选项说法是假命题，不符合题意；
B、如果|a|＝|b|，那么a＝±b，本选项说法是假命题，不符合题意；
C、对应角相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，本选项说法是真命题，符合题意；
故选：D．
6．（3分）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的定义判断即可．
【解答】解：A.是整式，故A不符合题意；
B.是整式，故B不符合题意；
C.是分式，故C符合题意；
D.是整式，故D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）下列根式不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A.是最简二次根式，故A不符合题意；
B.是最简二次根式，故B不符合题意；
C.是最简二次根式，故C不符合题意；
D.＝，不是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
8．（3分）关于x的一元一次不等式5x≥x+8的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项，系数化为1求得不等式的解集，在数轴上表示即可．
【解答】解：5x≥x+8，
移项得：5x﹣x≥+8，
合并得：4x≥8，
解得：x≥2，
在数轴上表示为：，
故选：B．
9．（3分）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
故选：B．
10．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A．① B．② C．③ D．①和②
【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
11．（3分）用直尺和圆规作∠HDG＝∠AOB的过程中，弧②是（ ）
A．以D为圆心，以DN为半径画弧
B．以M为圆心，以DN长为半径画弧
C．以M为圆心，以EF为半径画弧
D．以D为圆心，以EF长为半径画弧
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤判断即可．
【解答】解：由题意弧②是以M为圆心，EF为半径画弧，
故选：C．
12．（3分）分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．0
【分析】根据题意可得x＝﹣1，再把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【解答】解：∵分式方程有增根，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
，
去分母得：x﹣1＝m，
把x＝﹣1代入x﹣1＝m中得：
m＝﹣2，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
13．（3分）若3a＝6，3b＝2，则3a+b＝ 12 ．
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵3a＝6，3b＝2，
∴原式＝3a•3b
＝6×2
＝12．
故答案为：12．
14．（3分）一种花粉颗粒的直径约为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示为 6.5×10﹣6 ．
【分析】根据科学记数法和负整数指数的意义求解．
【解答】解：0.0000065＝6.5×10﹣6．
故答案为6.5×10﹣6．
15．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≥ ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出2x﹣1≥0，进而得出答案．
【解答】解：若代数式有意义，
则2x﹣1≥0，
解得：x≥，
则实数x的取值范围是：x≥．
故答案为：x≥．
16．（3分）化简：＝ 4 ．
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：2＝2×2＝4．
故答案为：4．
17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AB的垂直平分线分别交AC于点D，如果△BCD的周长为14cm，则BC＝ 6 cm．
【分析】由线段垂直平分线的性质可得BD＝DA，可得BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC＝8cm+BC＝143cm，可求得BC的长．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，D在DE上，
∴BD＝AD，
∴BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC＝8cm，△BCD的周长为14cm，
∴8+BC＝14，
∴BC＝6cm，
故答案为：6．
18．（3分）如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，BD＝3cm，EC＝2cm，则DE＝ 5 cm．
【分析】根据角平分线的定义得到∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，根据平行线的性质得到∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，根据等腰三角形的判定定理得到BD＝DF，FE＝CE，然后利用等量代换即可求出线段DE的长．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠ECF，
∴BD＝DF＝3cm，FE＝CE＝2cm，
∴DE＝DF+CE＝5（cm）．
故答案为：5．
三、计算与证明（每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、立方根的定义分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：
＝﹣1﹣2+1﹣5
＝﹣7．
20．（6分）如图，已知AE＝AD，请你添加一个条件： AB＝AC（答案不唯一） ．使△ABE≌△ACD，并说明理由．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加条件为：AB＝AC，
理由是：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD （SAS），
故答案为：AB＝AC（答案不唯一）．
四、解答题（每小题8分，共16分）
21．（8分）解方程或不等式组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）去分母得：1﹣2x＝2（x﹣1），
解得：x＝，
检验：将x＝代入最简公分母得：x﹣1≠0，
∴原方程的解为x＝；
（2），
解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x≥﹣，
所以不等式组的解集为﹣≤x＜2．
22．（8分）先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷+
＝
＝
＝
＝
＝，
∵x＝0，1，﹣1，2时，原分式无意义，
∴x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式＝＝﹣1．
五、说理与应用：（本大题共2道小题，每小题9分，满分18分）
23．（9分）某单位在疫情期间购进A、B两种口罩，已知一包A种口罩的单价比一包B种口罩的单价多1元，且花600元购买A种口罩和花500元购买B种口罩的包数相同．
（1）求A，B两种口罩一包的单价各是多少元？
（2）若计划用不超过11000元的资金购进A、B两种口罩共2000包，求A种口罩最多能购进多少包？
【分析】（1）设B种口罩一包的单价为x元，则A种口罩一包的单价为（x+1）元，由题意：花600元购买A种口罩和花500元购买B种口罩的包数相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种口罩m包，由题意：计划用不超过11000元的资金购进A、B两种口罩共2000包，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设B种口罩一包的单价为x元，则A种口罩一包的单价为（x+1）元，
根据题意，得：，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
则x+1＝6，
答：A种口罩一包的单价为6元，B种口罩一包的单价为5元；
（2）设购进A种口罩m包，则购进B种口罩（2000﹣m）包，
依题意，得：6m+5 （2000﹣m）≤11000，
解得：m≤1000，
答：A种口罩最多能购进1000包．
24．（9分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积．
【分析】（1）根据AD∥BE，可以得到∠A＝∠B，然后根据SAS即可证明结论成立；
（2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到DE的长，CF⊥DE，再根据三角形的面积计算公式即可计算出△DCE的面积．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）；
（2）解：由（1）知△ADC≌△BCE，
∴DC＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF＝EF，
∴CF垂直平分DE，
∵CF＝3，DF＝4．
∴DE＝2DF＝8，
∴S△DCE＝＝＝12，
即△DCE的面积是12．
六、应用与探究（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）阅读下面材料，然后回答问题：
在进行类似二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：；
方法二：；
（1）请选一种方法化简：；
（2）化简：．
【分析】（1）分子、分母都乘以﹣，再进一步计算即可；
（2）先将各分数分母有理化，再进一步计算即可．
【解答】解：（1）＝；
（2）
＝
＝
＝．
26．（10分）（初步探索）（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ∠BAE+∠FAD＝∠EAF ；
（灵活运用）（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，据此得出结论；
（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
【解答】解：（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：
如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠B＝90°，
∵DG＝BE，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+FD，DG＝BE，
∴EF＝DG+FD＝GF，且AE＝AG，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；
（2）如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
2021-2022学年湖南省娄底市娄星区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）。
1．（3分）若x是81的算术平方根，则x＝（ ）
A．9 B．﹣9 C．±9 D．81
2．（3分）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3 B． C．﹣3a＞﹣3b D．a2＞b2
3．（3分）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．﹣2与 B．﹣2与 C．﹣2与﹣ D．|﹣2|与2
4．（3分）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．如果|a|＝|b|，那么a＝b
C．对应角相等的两个三角形全等
D．两直线平行，同位角相等
6．（3分）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）下列根式不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）关于x的一元一次不等式5x≥x+8的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
10．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A．① B．② C．③ D．①和②
11．（3分）用直尺和圆规作∠HDG＝∠AOB的过程中，弧②是（ ）
A．以D为圆心，以DN为半径画弧
B．以M为圆心，以DN长为半径画弧
C．以M为圆心，以EF为半径画弧
D．以D为圆心，以EF长为半径画弧
12．（3分）分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．0
二、填空题（每小题3分，满分18分）
13．（3分）若3a＝6，3b＝2，则3a+b＝ ．
14．（3分）一种花粉颗粒的直径约为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示为 ．
15．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
16．（3分）化简：＝ ．
17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AB的垂直平分线分别交AC于点D，如果△BCD的周长为14cm，则BC＝ cm．
18．（3分）如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，BD＝3cm，EC＝2cm，则DE＝ cm．
三、计算与证明（每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）如图，已知AE＝AD，请你添加一个条件： ．使△ABE≌△ACD，并说明理由．
四、解答题（每小题8分，共16分）
21．（8分）解方程或不等式组：
（1）；
（2）．
22．（8分）先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
五、说理与应用：（本大题共2道小题，每小题9分，满分18分）
23．（9分）某单位在疫情期间购进A、B两种口罩，已知一包A种口罩的单价比一包B种口罩的单价多1元，且花600元购买A种口罩和花500元购买B种口罩的包数相同．
（1）求A，B两种口罩一包的单价各是多少元？
（2）若计划用不超过11000元的资金购进A、B两种口罩共2000包，求A种口罩最多能购进多少包？
24．（9分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积．
六、应用与探究（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）阅读下面材料，然后回答问题：
在进行类似二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：；
方法二：；
（1）请选一种方法化简：；
（2）化简：．
26．（10分）（初步探索）（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
（灵活运用）（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
2021-2022学年湖南省娄底市娄星区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）。
1．（3分）若x是81的算术平方根，则x＝（ ）
A．9 B．﹣9 C．±9 D．81
【分析】利用算术平方根的定义可得答案．
【解答】解：∵81的算术平方根是9，
∴x＝9，
故选：A．
2．（3分）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3 B． C．﹣3a＞﹣3b D．a2＞b2
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴ab，故本选项符合题意；
C．∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b，故本选项不符合题意；
D．当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，但是a2＜b2，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．﹣2与 B．﹣2与 C．﹣2与﹣ D．|﹣2|与2
【分析】A、首先化简算术平方根，然后根据相反数的定义即可判定；
B、首先化简立方根，然后利用相反数的定义即可判定；
C、根据相反数的定义即可判定；
D、首先化简绝对值，然后根据相反数的定义即可判定．
【解答】解：A、＝2，2与﹣2互为相反数，故选项正确；
B、，故与2不是互为相反数，故选项错误；
C、﹣2+（﹣）≠0，故选项错误；
D、|﹣2|＝2，故|﹣2|与2不是互为相反数，故选项错误．
故选：A．
4．（3分）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、，最简分式，符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
5．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．如果|a|＝|b|，那么a＝b
C．对应角相等的两个三角形全等
D．两直线平行，同位角相等
【分析】根据对顶角、绝对值的性质、全等三角形的判定定理、平行线的性质判断即可．
【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，本选项说法是假命题，不符合题意；
B、如果|a|＝|b|，那么a＝±b，本选项说法是假命题，不符合题意；
C、对应角相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，本选项说法是真命题，符合题意；
故选：D．
6．（3分）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的定义判断即可．
【解答】解：A.是整式，故A不符合题意；
B.是整式，故B不符合题意；
C.是分式，故C符合题意；
D.是整式，故D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）下列根式不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A.是最简二次根式，故A不符合题意；
B.是最简二次根式，故B不符合题意；
C.是最简二次根式，故C不符合题意；
D.＝，不是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
8．（3分）关于x的一元一次不等式5x≥x+8的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项，系数化为1求得不等式的解集，在数轴上表示即可．
【解答】解：5x≥x+8，
移项得：5x﹣x≥+8，
合并得：4x≥8，
解得：x≥2，
在数轴上表示为：，
故选：B．
9．（3分）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
故选：B．
10．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A．① B．② C．③ D．①和②
【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
11．（3分）用直尺和圆规作∠HDG＝∠AOB的过程中，弧②是（ ）
A．以D为圆心，以DN为半径画弧
B．以M为圆心，以DN长为半径画弧
C．以M为圆心，以EF为半径画弧
D．以D为圆心，以EF长为半径画弧
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤判断即可．
【解答】解：由题意弧②是以M为圆心，EF为半径画弧，
故选：C．
12．（3分）分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．0
【分析】根据题意可得x＝﹣1，再把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【解答】解：∵分式方程有增根，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
，
去分母得：x﹣1＝m，
把x＝﹣1代入x﹣1＝m中得：
m＝﹣2，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
13．（3分）若3a＝6，3b＝2，则3a+b＝ 12 ．
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵3a＝6，3b＝2，
∴原式＝3a•3b
＝6×2
＝12．
故答案为：12．
14．（3分）一种花粉颗粒的直径约为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示为 6.5×10﹣6 ．
【分析】根据科学记数法和负整数指数的意义求解．
【解答】解：0.0000065＝6.5×10﹣6．
故答案为6.5×10﹣6．
15．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≥ ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出2x﹣1≥0，进而得出答案．
【解答】解：若代数式有意义，
则2x﹣1≥0，
解得：x≥，
则实数x的取值范围是：x≥．
故答案为：x≥．
16．（3分）化简：＝ 4 ．
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：2＝2×2＝4．
故答案为：4．
17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AB的垂直平分线分别交AC于点D，如果△BCD的周长为14cm，则BC＝ 6 cm．
【分析】由线段垂直平分线的性质可得BD＝DA，可得BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC＝8cm+BC＝143cm，可求得BC的长．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，D在DE上，
∴BD＝AD，
∴BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC＝8cm，△BCD的周长为14cm，
∴8+BC＝14，
∴BC＝6cm，
故答案为：6．
18．（3分）如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，BD＝3cm，EC＝2cm，则DE＝ 5 cm．
【分析】根据角平分线的定义得到∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，根据平行线的性质得到∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，根据等腰三角形的判定定理得到BD＝DF，FE＝CE，然后利用等量代换即可求出线段DE的长．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠ECF，
∴BD＝DF＝3cm，FE＝CE＝2cm，
∴DE＝DF+CE＝5（cm）．
故答案为：5．
三、计算与证明（每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、立方根的定义分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：
＝﹣1﹣2+1﹣5
＝﹣7．
20．（6分）如图，已知AE＝AD，请你添加一个条件： AB＝AC（答案不唯一） ．使△ABE≌△ACD，并说明理由．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加条件为：AB＝AC，
理由是：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD （SAS），
故答案为：AB＝AC（答案不唯一）．
四、解答题（每小题8分，共16分）
21．（8分）解方程或不等式组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）去分母得：1﹣2x＝2（x﹣1），
解得：x＝，
检验：将x＝代入最简公分母得：x﹣1≠0，
∴原方程的解为x＝；
（2），
解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x≥﹣，
所以不等式组的解集为﹣≤x＜2．
22．（8分）先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷+
＝
＝
＝
＝
＝，
∵x＝0，1，﹣1，2时，原分式无意义，
∴x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式＝＝﹣1．
五、说理与应用：（本大题共2道小题，每小题9分，满分18分）
23．（9分）某单位在疫情期间购进A、B两种口罩，已知一包A种口罩的单价比一包B种口罩的单价多1元，且花600元购买A种口罩和花500元购买B种口罩的包数相同．
（1）求A，B两种口罩一包的单价各是多少元？
（2）若计划用不超过11000元的资金购进A、B两种口罩共2000包，求A种口罩最多能购进多少包？
【分析】（1）设B种口罩一包的单价为x元，则A种口罩一包的单价为（x+1）元，由题意：花600元购买A种口罩和花500元购买B种口罩的包数相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种口罩m包，由题意：计划用不超过11000元的资金购进A、B两种口罩共2000包，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设B种口罩一包的单价为x元，则A种口罩一包的单价为（x+1）元，
根据题意，得：，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
则x+1＝6，
答：A种口罩一包的单价为6元，B种口罩一包的单价为5元；
（2）设购进A种口罩m包，则购进B种口罩（2000﹣m）包，
依题意，得：6m+5 （2000﹣m）≤11000，
解得：m≤1000，
答：A种口罩最多能购进1000包．
24．（9分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积．
【分析】（1）根据AD∥BE，可以得到∠A＝∠B，然后根据SAS即可证明结论成立；
（2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到DE的长，CF⊥DE，再根据三角形的面积计算公式即可计算出△DCE的面积．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）；
（2）解：由（1）知△ADC≌△BCE，
∴DC＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF＝EF，
∴CF垂直平分DE，
∵CF＝3，DF＝4．
∴DE＝2DF＝8，
∴S△DCE＝＝＝12，
即△DCE的面积是12．
六、应用与探究（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）阅读下面材料，然后回答问题：
在进行类似二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：；
方法二：；
（1）请选一种方法化简：；
（2）化简：．
【分析】（1）分子、分母都乘以﹣，再进一步计算即可；
（2）先将各分数分母有理化，再进一步计算即可．
【解答】解：（1）＝；
（2）
＝
＝
＝．
26．（10分）（初步探索）（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ∠BAE+∠FAD＝∠EAF ；
（灵活运用）（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，据此得出结论；
（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
【解答】解：（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：
如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠B＝90°，
∵DG＝BE，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+FD，DG＝BE，
∴EF＝DG+FD＝GF，且AE＝AG，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；
（2）如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
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