2021-2022学年广东省阳江市八年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年广东省阳江市八年级（上）期末数学试卷 解析版，共19页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省阳江市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）2022﹣1的倒数是（　　）
A． B． C．2022 D．﹣2022
2．（3分）如图所示冬奥会图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　）
A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×10﹣8
4．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝3
5．（3分）如图，△ABC中AB边上的高是（　　）

A．线段AD B．线段AC C．线段CD D．线段BC
6．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
7．（3分）如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝4，则CF的长是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7
8．（3分）下列运算结果正确的是（　　）
A．a2•a4＝a8 B．（3b2）2＝3b4 C．（a4）2＝a8 D．a6÷a2＝a3
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（　　）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
10．（3分）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（　　）

A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
二、填空题（本大题7小题，每题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写到答题卡相应的位置上.
11．（4分）分解因式m2+6m＝　 　．
12．（4分）计算的结果是 　 　．
13．（4分）一个正多边形的每一个内角都是108°，则它是正 　 　边形．
14．（4分）已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 　 　．
15．（4分）化简：＝　 　．
16．（4分）如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝11cm，CF＝3cm，则AC＝　 　．

17．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是BC边上的中点，M、N分别是AD和AB上的动点．则BM+MN的最小值是　 　．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：．
19．（6分）计算：（1+a）（1﹣a）+（a﹣2）2．
20．（6分）如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）先化简，再求值：（+1）÷，其中a＝﹣4．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在边长为1的正方形方格的格点上．
（1）写出点A，B，C的坐标：A　 　，B　 　，C　 　．
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（3）△A1B1C1的面积为　 　．

23．（8分）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费2000元，N95口罩花费10000元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少8元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共1800只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
25．（10分）如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动．点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发．运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止．

（1）点A坐标为　 　；
（2）当t＝2时，S△OPQ＝　 　；当t＝3时，S△OPQ＝　 　；
（3）当t＝2时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若能找到请直接写出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由．
（4）设△OPQ的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式．

2021-2022学年广东省阳江市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）2022﹣1的倒数是（　　）
A． B． C．2022 D．﹣2022
【分析】先根据负整数指数幂的运算法则求出2022﹣1的值，然后再求出它的倒数即可．
【解答】解：∵2022﹣1＝，
∴2022﹣1的倒数是：2022，
故选：C．
2．（3分）如图所示冬奥会图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A，B，D都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
3．（3分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　）
A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×10﹣8
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000823＝8.23×10﹣7．
故选：B．
4．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝3
【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，
∴x≠3；
故选：C．
5．（3分）如图，△ABC中AB边上的高是（　　）

A．线段AD B．线段AC C．线段CD D．线段BC
【分析】根据三角形高线的定义进行判断．
【解答】解：△ABC中AB边上的高是线段CD．
故选：C．
6．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【解答】解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、x2+2x+1＝x（x+2）+1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
7．（3分）如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝4，则CF的长是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7
【分析】根据全等三角形的性质求出EF，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，BC＝7，
∴EF＝BC＝7，
∴CF＝EF﹣EC＝3，
故选：B．
8．（3分）下列运算结果正确的是（　　）
A．a2•a4＝a8 B．（3b2）2＝3b4 C．（a4）2＝a8 D．a6÷a2＝a3
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a4＝a6，故本选项错误；
B、（3b2）2＝9b4，故本选项错误；
C、（a4）2＝a8，故本选项正确；
D、a6÷a2＝a4，故本选项错误；
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（　　）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【分析】先求出∠ACD＝30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），
∵AD＝3cm，
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．
∴AB的长度是12cm．
故选：D．

10．（3分）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（　　）

A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，代入计算．
【解答】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
＝（a+b）2﹣4ab，
＝a2+2ab+b2﹣4ab，
＝（a﹣b）2；
故选：D．
二、填空题（本大题7小题，每题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写到答题卡相应的位置上.
11．（4分）分解因式m2+6m＝　m（m+6）　．
【分析】直接提取公因式m，进而分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝m（m+6）．
故答案为：m（m+6）．
12．（4分）计算的结果是 　1　．
【分析】直接利用同分母分式的减法法则求差即可．
【解答】解：原式＝
＝1．
故答案为：1．
13．（4分）一个正多边形的每一个内角都是108°，则它是正 　五　边形．
【分析】由多边形的每一个内角都是108°先求得它的每一个外角是72°，然后根据正多边形的外角和是360°求解即可．
【解答】解：180°﹣108°＝72°，
360°÷72°＝5．
故答案为：五．
14．（4分）已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 　12　．
【分析】根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，即可得出答案．
【解答】解：由题意知，这个三角形为等边三角形，
∴周长为3×4＝12，
故答案为：12．
15．（4分）化简：＝　﹣x﹣1　．
【分析】现将分子分母分解因式，然后约分即可．
【解答】解：＝＝﹣x﹣1．
故答案为：﹣x﹣1．
16．（4分）如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝11cm，CF＝3cm，则AC＝　14cm　．

【分析】由AE＝BE，DE是AB的垂线得出AD＝BD，根据SAS证明△ADF≌△BDF，即可得到AF＝BF，再根据线段的和差即可得解．
【解答】解：∵AE＝BE，DE是AB的垂线，
∴AD＝BD，∠ADE＝∠BDE＝90°，
在△ADF和△BDF中，
，
∴△ADF≌△BDF（SAS），
∴AF＝BF，
∴AC＝AF+CF＝BF+CF，
∵BF＝11cm，CF＝3cm，
∴AC＝14cm，
故答案为：14cm．
17．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是BC边上的中点，M、N分别是AD和AB上的动点．则BM+MN的最小值是　　．

【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，根据勾股定理求出AD，再根据面积不变求出BH即可．
【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB＝AC＝13，BC＝10，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD＝12，
∵S△ABC＝AC×BH＝BC×AD，
∴13×BH＝10×12，
解得：BH＝，
故答案为：．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：．
【分析】方程两边同时乘以x（x﹣1），解得x＝﹣2，再验根即可求解．
【解答】解：，
方程两边同时乘以x（x﹣1），得
2（x﹣1）＝3x，
解得x＝﹣2，
将检验，x＝﹣2是方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣2．
19．（6分）计算：（1+a）（1﹣a）+（a﹣2）2．
【分析】根据平方差公式以及完全平方公式计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣a2+a2﹣4a+4
＝5﹣4a．
20．（6分）如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．

【分析】先根据直角三角形全等的判定方法证得Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），则BC＝EF，即CE＝BF．
【解答】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
∴BC＝EF．
∴BC﹣BE＝EF﹣BE．
即：CE＝BF．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）先化简，再求值：（+1）÷，其中a＝﹣4．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（+1）÷
＝
＝
＝a+1，
当a＝﹣4时，原式＝﹣4+1＝﹣3．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在边长为1的正方形方格的格点上．
（1）写出点A，B，C的坐标：A　（﹣1，3）　，B　（2，0）　，C　（﹣3，﹣1）　．
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（3）△A1B1C1的面积为　9　．

【分析】（1）利用点的坐标的表示方法求解；
（2）先根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）；
（2）如图，△A1B1C1为所作；

（3）△A1B1C1的面积＝4×5﹣×4×2﹣×3×3﹣×5×1＝9．
故答案为（﹣1，3），（2，0），（﹣3，﹣1）；9．
23．（8分）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．

【分析】先根据等腰三角形的判定得到PA＝PB，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到距离．
【解答】证明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB，
∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，
∴P点在∠MON的平分线上，
∴OP平分∠MON．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费2000元，N95口罩花费10000元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少8元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共1800只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
【分析】（1）该药店购进的一次性医用外科口罩的单价为x元，则购进的N95口罩的单价为（x+8）元，利用数量＝总价÷单价，结合用2000元购买的一次性医用外科口罩和用10000元购买的N95口罩数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出一次性医用外科口罩的单价，再将其代入（x+8）中可求出N95口罩的单价；
（2）设购进一次性医用外科口罩m只，则购进N95口罩（1800﹣m）只，利用总价＝单价×数量，结合购进的总费用不超过1万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出至少购进一次性医用外科口罩1000只．
【解答】解：（1）该药店购进的一次性医用外科口罩的单价为x元，则购进的N95口罩的单价为（x+8）元，
依题意得：＝，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
∴x+8＝2+8＝10．
答：药店购进的一次性医用外科口罩的单价为2元，N95口罩的单价为10元．
（2）设购进一次性医用外科口罩m只，则购进N95口罩（1800﹣m）只，
依题意得：2m+10（1800﹣m）≤10000，
解得：m≥1000．
答：至少购进一次性医用外科口罩1000只．
25．（10分）如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动．点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发．运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止．

（1）点A坐标为　（3，3）　；
（2）当t＝2时，S△OPQ＝　6　；当t＝3时，S△OPQ＝　　；
（3）当t＝2时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若能找到请直接写出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由．
（4）设△OPQ的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式．
【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于点D，过P、Q的交点作PC⊥x轴于点C，由△AOB为等边三角形，△OAB边长为6个单位，可求出AD、OD的长度，从而得出点A的坐标；
（2）当t＝2时，点P运动到了A点处，OQ＝4，结合三角形的面积公式即可得出此时S△OPQ的值；当t＝3时，点Q运动到了B点处，AP＝3×3﹣OA＝3，结合三角形的面积公式即可得出此时S△OPQ的值；
（3）假设存在，找出此时P、Q点的坐标，设M点的坐标为（0，m），结合两点间的距离公式列出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（4）结合②的运动情况，分两段来考虑S，结合三角形的面积公式即可得出S关于t的函数关系式．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，如图1所示．

∵△AOB为等边三角形，△OAB边长为6个单位，
∴AD＝OA•sin60°＝3，AD＝OB＝3，
∴点A的坐标为（3，3）；
故答案为：（3，3）；
（2）依照题意画出图形，如图2所示．

当t＝2时，点P运动到了A点处，OQ＝4，
S△OPQ＝OA•OQ•sin∠AOQ＝×6×4×＝6；
当t＝3时，点Q运动到了B点处，AP＝3×3﹣OA＝3，
∵△OAB为等边三角形，且AB＝6，
∴此时P点为线段AB的中点，
∴OP⊥AB，且∠POB＝∠AOB＝30°，
∴OP＝OB•sin∠ABO＝3，
S△OPQ＝OP•OB•sin∠POB＝×3×6×＝．
故答案为：6；；
（3）假设存在，当t＝2时，点P坐标为（3，3），点Q的坐标为（4，0），设点M的坐标为（0，m）．
根据两点间的距离公式可知：PQ＝＝2，PM＝，QM＝，
以M、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况：
当PQ＝PM时，即9+（m﹣3）2＝28，
解得：m＝3+，或m＝3﹣；此时点M的坐标为（0，3+）或（0，3﹣19）；
当PM＝QM时，即16+m2＝9+（m﹣3）2，
解得：m＝，此时点M的坐标为（0，）；
当PQ＝QM时，即28＝16+m2，
解得：m＝±2，此时点M的坐标为（0，2）或（0，﹣2），
故当t＝2时，在y轴上能找到一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为（0，3+）或（0，3﹣19）或（0，）或（0，2）或（0，﹣2）；
（4）①当0≤t≤2时，P在线段OA上，Q在线段OB上；
S＝OQ•OPsin60°＝×3t×2t×＝t2；
②当2＜t≤3时，P在线段AB上，Q在线段OB上；
设OQ边上的高为h，＝，解得h＝6﹣t，
S＝OQ•h＝×2t×（6﹣t）＝﹣t2+6t；
③当3＜t≤时，P、Q都在线段AB上，
PQ＝6﹣（3t﹣6）﹣（2t﹣6）＝18﹣5t，
S＝×3×（18﹣5t）＝﹣t+27；
故：S＝．