初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试课后测评

沪科版九年级数学下册第24章圆定向测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC=130°，则∠AOC的度数为（    ）

A．25° B．80° C．130° D．100°

2、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（　　）

A．10 B．2 C．2 D．4

3、平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

4、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C．  D．

5、如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

6、下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

7、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（   ）

A．3 B．2 C．1 D．

8、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．  B． 

C．  D．

9、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（    ）cm．

A．3π B．6π C．12π D．18π

10、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P． A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（   ）

A．20 m B．20m

C．（20 - 20）m D．（40 - 20）m

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为_______．

2、到点的距离等于8厘米的点的轨迹是__．

3、在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（2，0），∠OCB=30°，D为线段BC的中点，线段AD交线段OC于点E，则△AOE面积的最大值为___________

4、如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点， 图中与∠ADE相等的角是 _________ ．

5、如图，将Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与零刻度线的一端重合，∠ABC＝38°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是 ___．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解题与遐想．

如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．

王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…

赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了…

数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？

霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？

计算验证

（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．

拼图演绎

（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．

尺规作图

（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）

2、如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．

（1）阴影部分的周长；

（2）阴影部分的面积．（结果保留π）

3、如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，四边形BDEO是平行四边形，过点D作交AE的延长线于点C．

（1）求证：CD是⊙O的切线．

（2）若，求阴影部分的面积．

4、如图，正方形ABCD的顶点A、B在x轴的负半轴上，顶点CD在第二象限．将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转，B、C、D的对应点分别为B1、C1、D1，且D1、C1、O三点在一条直线上．记点D1的坐标是（m，n），C1的坐标是（p，q）．

（1）设∠DAD1＝30°，n＝2，求证：OD1的长度；

（2）若∠DAD1＜90°，m，n满足m+n＝﹣4，p2+q2＝25，求p+q的值．

5、已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．

（1）当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．

（2）将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）将Rt△ABC旅转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠B+∠ADC=180°，

∵∠ADC=130°，

∴∠B=50°，

由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

2、D

【分析】

首先运用勾股定理求出AC的长度，然后结合旋转的性质得到AB= AB'，BC= B'C'，从而求出B'C，即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解．

【详解】

解：∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，

∴，

由旋转性质可知，AB= AB'=6，BC= B'C'=8，

∴B'C=10-6=4，

在Rt△B'C'C中，，

故选：D．

【点睛】

本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．

3、B

【分析】

根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．

【详解】

解：平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标是

故选B

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．

4、B

【详解】

解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

5、D

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

【详解】

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

6、C

【分析】

根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

7、B

【分析】

连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．

【详解】

解：连接OC，如图

∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．

8、C

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；

D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

9、B

【分析】

利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．

【详解】

解：它的侧面展开图的面积＝×2×2×3＝6（cm2）．

故选：B．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

10、D

【分析】

根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．

【详解】

∵人工湖面积尽量小，

∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，

过点B作BC ⊥，垂足为C，

∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，

∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，

∴OC=CB=CP=20，

∴OP=40，OB==，

∴最小的距离PE=PO-OE=40 - 20（m），

故选D．

【点睛】

本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．

二、填空题

1、##

【分析】

先求出点A、B的坐标，过点A作AF⊥AB，交直线BC于点F，过点F作EF⊥x轴，垂足为E，然后由全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出点F的坐标，再利用待定系数法，即可求出答案．

【详解】

解：∵一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B两点，

∴令，则；令，则，

∴点A为（2，0），点B为（0，4），

∴，；

过点A作AF⊥AB，交直线BC于点F，过点F作EF⊥x轴，垂足为E，如图，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴AF=AB，

∴△ABO≌△FAE（AAS），

∴AO=FE，BO=AE，

∴，，

∴，

∴点F的坐标为（，）；

设直线BC为，则

，解得：，

∴直线BC的函数表达式为；

故答案为：；

【点睛】

本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．

2、以点为圆心，8厘米长为半径的圆

【分析】

由题意直接根据圆的定义进行分析即可解答．

【详解】

到点的距离等于8厘米的点的轨迹是：以点为圆心，2厘米长为半径的圆．

故答案为：以点为圆心，8厘米长为半径的圆．

【点睛】

本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键，注意掌握圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合．

3、

【分析】

过点作轴，交于点，根据中位线定理可得，设点到轴的距离为G，则△AOE的边上的高，作的外接圆，则当点位于图中处时，最大，根据三角形面积公式计算即可．

【详解】

解：过点作轴，交于点，

∵A（－1，0），B（2，0），

∴，，

∵D为线段BC的中点，轴，

∴，

∴，

设点到轴的距离为，

则△AOE的边上的高，

作的外接圆，

则当点位于图中处时，最大，

因为，

∴，

∴为等边三角形，

∴,

∴,

∴，

∴，

∴，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角和圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，根据题意得出点的位置是解本题的关键．

4、∠ABC

【分析】

根据圆内接四边形的性质可得，再由题意可得，由等式的性质即可得出结果．

【详解】

解：∵四边形ABCD内接于圆，

∴，

∵E为CD延长线上一点，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．

5、76°或142°

【分析】

设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，根据圆周角定理得∠BOD=2∠BCD，根据等腰三角形的性质分BC为底边和BC为腰求∠BCD的度数即可．

【详解】

解：设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，

∵Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，

∴A、C、B、D四点共圆，圆心为点O，

∴∠BOD=2∠BCD，

①若BC为等腰三角形的底边时，如图射线CD1，则∠BCD1=∠ABC=38°，

连接OD1，则∠BOD1=2∠BCD1=76°；

②若BC为等腰三角形的腰时，

当∠ABC为顶角时，如图射线CD2，则∠BCD2=（180°-∠ABC）÷2=71°，

连接OD2，则∠BOD2=2∠BCD2=142°，

当∠ABC为底角时，∠BCD=180°-2∠ABC=104°，不符合题意，舍去，

综上，点D在量角器上对应的度数是76°或142°，

故答案为：76°或142°．

【点睛】

本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．

三、解答题

1、（1）S△ABC＝20；（2）见解析；（3）见解析．

【分析】

（1）设⊙O的半径为r，由切线长定理得，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，CE＝CF＝r，由勾股定理得，（r+4）2+（r+5）2＝92，进而求得结果；

（2）根据切线长定理可证明甲和乙两个三角形全等，丙丁两个三角形全等，故将甲乙图形放在OE为边的上方，将丙丁以OP为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5；

（3）可先计算∠AFB＝135°，根据“定弦对定角”作F点的轨迹，根据切线性质，过点F作AB的垂线，再根据直径所对的圆周角是90°，确定点C．

【详解】

解：（1）如图1，

设⊙O的半径为r，

连接OE，OF，

∵⊙O内切于△ABC，

∴OE⊥AC，OF⊥BC，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，

∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，

∴四边形ECFO是矩形，

∴CF＝OE＝r，CE＝OF＝r，

∴AC＝4+r，BC＝5+r，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

（r+4）2+（r+5）2＝92，

∴r2+9r＝20，

∴S△ABC＝

＝

＝

＝

＝20；

（2）

如图2，

（3）设△ABC的内切圆记作⊙F，

∴AF和BF平分∠BAC和∠ABC，FD⊥AB，

∴∠BAF＝∠CAB，∠ABF＝，

∴∠BAF+∠ABF＝（∠BAC+∠ABC）＝＝45°，

∴∠AFB＝135°，

可以按以下步骤作图（如图3）：

①以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E，

②以E为圆心，AE为半径作圆，

③过点D作AB的垂线，交圆于F，

④连接EF并延长交圆于C，连接AC，BC，

则△ABC就是求作的三角形．

【点睛】

本题考查三角形的内切圆性质、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质、尺规作图-作垂线，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

2、

（1）16π

（2）24π

【分析】

（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC的长，利用弧长公式可求解；

（2）由面积的和差关系可求解．

（1）

解：阴影部分的周长＝2××2π×6+＝16π；

（2）

解：∵阴影部分的面积＝S半圆+S扇形BAC﹣S半圆＝S扇形BAC，

∴阴影部分的面积＝＝24π．

答：阴影部分的周长为16π，阴影部分的面积为24π．

【点睛】

本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是n°，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：，扇形的面积公式：．

3、（1）见详解；（2）

【分析】

（1）连接OD，由题意易得，则有△ODB是等边三角形，然后可得△AEO也为等边三角形，进而可得OD∥AC，最后问题可求证；

（2）由（1）易得AE=ED，∠CED=∠OBD=60°，然后可得圆O的半径，进而可得扇形OED和△OED的面积，则有弓形ED的面积，最后问题可求解．

【详解】

（1）证明：连接OD，如图所示：

∵四边形BDEO是平行四边形，

∴，

∴△ODB是等边三角形，

∴∠OBD=∠BOD=60°，

∴∠AOE=∠OBD=60°，

∵OE=OA，

∴△AEO也为等边三角形，

∴∠EAO=∠DOB=60°，

∴AE∥OD，

∴∠ODC+∠C=180°，

∵CD⊥AE，

∴∠C=90°，

∴∠ODC=90°，

∵OD是圆O的半径，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：由（1）得∠EAO=∠AOE=∠OBD=∠BOD=60°，ED∥AB，

∴∠EAO=∠CED=60°，

∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，

∴∠EOD=60°，

∴△DEO为等边三角形， 

∴ED=OE=AE，

∵CD⊥AE，∠CED=60°，

∴∠CDE=30°，

∴，

∵，

∴，

∴，

设△OED的高为h，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查扇形面积公式、切线的判定定理及解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式、切线的判定定理及解直角三角形是解题的关键．

4、（1）4；（2）-1或-7

【分析】

（1）如图，且三点在一条直线上的情况，连接，过点向作垂线交点为，在直角三角形中，，，可求的长；

（2）如图，过点向作垂线交点为，过点作轴垂线交于点，作交点为；由，知，，点G坐标为，得，由知的值，从而得到的值．

【详解】

解：（1）∵∠DAD1＝30°且D1、C1、O三点在一条直线上

∴如图所示，连接，过点向作垂线交点为

∴

∵

．

（2）如图过点向作垂线交点为，过点作轴垂线交于点，作交点为

，

在和中

点横坐标可表示为

∴p+q=-7或-1．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数值，三角形全等,图形旋转的性质等知识．解题的关键与难点是找出线段之间的关系．

5、

（1），证明见解析

（2）成立，证明见解析

（3）

【分析】

（1）设，先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，，都是等边三角形，从而可得，由此即可得出结论；

（2）在上截取，连接，先根据旋转的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得出结论；

（3）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据旋转角即可得．

（1）

解：，证明如下：

设，

在中，，

，

由旋转的性质得：，

，和都是等边三角形，

，

，

是等边三角形，

，

；

（2）

解：成立，证明如下：

如图，在上截取，连接，

由旋转的性质得：，

，

，

在和中，，

，

，

，

，

；

（3）

解：如图，当点三点在一条直线上时，

由旋转的性质得：，

，

在和中，，

，

，

则旋转角．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．