二轮大题重难点专题四 概率、统计的综合大题（含解析）

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专题四   概率统计的综合问题总分：70分   建议用时：60分钟三、解答题17、为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；(2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳． 18、端午节（每年农历五月初五），是中国传统节日，有吃粽子的习俗．某超市在端午节这一天，每售出1kg粽子获利润5元，未售出的粽子每1kg亏损3元．根据历史资料，得到销售情况与市场需求量的频率分布表，如下表所示．该超市为今年的端午节预购进了140kg粽子．以X（单位：kg，100≤X≤150）表示今年的市场需求量，Y（单位：元）表示今年的利润．市场需求量（kg）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]频率0.10.20.30.250.15（1）将Y表示为X的函数；（2）在频率分布表的市场需求量分组中，以各组的区间中间值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：若需求量X∈[110，120），则取X＝115，且X＝115的概率等于需求量落入[110，120）的频率0.2），求Y的数学期望． 19、某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供A、B两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A的概率为，购买B的概率为，而前一次购买A产品的人下一次来购买A产品的概率为，购买B产品的概率为，前一次购买B产品的人下一次来购买A产品的概率为、购买B产品的概率也是，如此往复．记某人第n次来购买A产品的概率为Pn．（1）求P2，并证明数列是等比数列；（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品，求X的分布列并求E（X）；（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备A、B产品各多少份．（直接写结论、不必说明理由）． 20、在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》的有34人，统计图如图．（1）计算图中a，b，c的值；（2）文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人，进行观影体验的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用x表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数，求x的分布列及数学期望和方差．21、2020年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取500名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图：（1）求这500名考生的本次数学竞赛的平均成绩(精确到整数)；（2）由频率分布直方图可认为：这次竞赛成绩服从正态分布，其中近似等于样本的平均数，近似等于样本的标准差s，并已求得.用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取10名学生，记这次数学竞赛成绩在之外的人数为，求的值(精确到0.001).附：（1）当时，；（2）. 22、为响应习近平总书记在党的十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局筹划共投入4千万元，对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值作了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如图所示频率分布直方图，由于操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）旅游局在投入4千万元的治理经费下，估计全市旅游景区收益增加值的平均数为多少万元(以各组的区间中点值代表该组的取值)；（2）若旅游局投入不同数额的经费，按照以上的研究方法，得到以下数据：投入的治理经费x(单位：千万元)1234567收益的增加值y(单位：万元)232 779将第（1）问结果填入表格后，数据显示x与y之间存在线性相关关系.在优化环境的同时，旅游局还谋划使全市旅游景区收益的总额至少增加10万元，试估计在此目标下，旅游局应该对全市旅游景区至少投入多少千万元的治理经费？(答案精确到0.01).参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 答案解析 17、【解】设Ai(i＝1,2,3,4,5)表示方案甲所需化验次数为i次；Bj(j＝2,3)表示方案乙所需化验的次数为j次，方案甲与方案乙相互独立．(1)P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，P(A5)＝，P(B2)＝＋＝，P(B3)＝1－P(B2)＝，用事件D表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数，则P(D)＝P(A2B2＋A3B3)＝P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝×＋×＝.(2)η的可能取值为1,2,3,4,5.ξ的可能取值为2,3.由(1)知P(η＝1)＝P(η＝2)＝P(η＝3)＝P(η＝4)＝，P(η＝5)＝，所以E(η)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝，P(ξ＝2)＝P(B2)＝，P(ξ＝3)＝P(B3)＝，所以E(ξ)＝2×＋3×＝.因为E(ξ)<E(η)，所以从经济角度考虑方案乙最佳． 18、【解答】解：（1）当X∈[100，140）时，Y＝5X﹣3（140﹣X）＝8X﹣420；当X∈[140，150]时，Y＝5×140＝700．所以（2）依题意可得Y的分布列为Y420500580660700P0.10.20.30.250.15所以E（Y）＝420×0.1+500×0.2+580×0.3+660×0.25+700×0.15＝586．  19、【解答】解：（1）P2＝+＝，由题意可知Pn+1＝Pn+×（1﹣Pn）＝﹣Pn+，∴Pn+1﹣＝﹣（Pn﹣），又P1﹣＝＝，∴数列{Pn﹣}是首项为，公比为﹣的等比数列．（2）X的可能取值有0，1，2，3，且P（X＝k）＝（）k•（）3﹣k，故P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝（）2＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝（）3＝，故X的分布列为： X 0 1 2 3 P    E（X）＝0×+1×+2×+3×＝1．（3）由（1）知Pn﹣＝（﹣）n﹣1，故Pn＝（﹣）n﹣1+，∴当n→+∞时，Pn→，故准备A产品800×＝320份，准备B产品800×＝480份．  20、【解答】解：（1）由题意可得，解得，所以a＝9，b＝6，c＝6；（2）记“同时观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组，共9人；“同时观看了《中国机长》和《攀登者》”为B组，共6人；“同时观看《我和我的祖国》和《攀登者》”为C组，共6人；所以按分层抽样，A，B，C组被抽取的人数分别为、、；在被抽取的7人中，没有观看《我和我的祖国》的有2人，∴X＝0，1，2，则，，，所以X的分布列如下：X012P∴X的数学期望．X的方差．  21、【答案】（1）(分)；（2）.【详解】（1），分.（2）由题意知且，所以，所以，所以或，所以，所以.  22、【答案】（1）(万元)；（2）旅游局对全市旅游景区至少投入8.12千万元的治理经费.【详解】（1）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图中各小长方形面积总和为1可得，，解得各小组依次是[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]，其中点分别是1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为，故估计全市家庭年均用气量为(万元（2）空白栏中填5.由题意可知，，，根据公式可求得，，，所以回归直线方程为，当时，，解得，即旅游局对全市旅游景区至少投入8.12千万元的治理经费