2022年高考数学大一轮复习 第二章 第二节 函数的单调性与最大（小）值课件PPT

课时跟踪检测（六）  函数的单调性与最大（小）值

[素养落实练]

1．(多选)下列函数中在区间(0,1)内单调递减的是(　　)

A．y＝x　　　　　　　　 B．y＝21－x

C．y＝ln(x＋1)  D．y＝|1－x|

解析：选BD　A项，y＝x在(0,1)内单调递增，

B项，y＝21－x＝2×x，单调递减，

C项，y＝ln(x＋1)单调递增，

D项，y＝|1－x|＝故在(0,1)上单调递减．

2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)

A．  B．－

C．－2  D．2

解析：选A　易知f(x)在上是减函数，

∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝.

3．已知f(x)＝8＋2x－x2，若g(x)＝f(2－x2)，则g(x)(　　)

A．在区间(－1,0)内是减函数

B．在区间(0,1)内是减函数

C．在区间(－2,0)内是增函数

D．在区间(0,2)内是增函数

解析：选A　f(x)＝8＋2x－x2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

t＝2－x2在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性：

当x∈(－∞，－1)时，t∈(－∞，1)，函数g(x)单调递增；

当x∈(－1,0)时，t∈(1,2)，函数g(x)单调递减；

当x∈(0,1)时，t∈(1,2)，函数g(x)单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，t∈(－∞，1)，函数g(x)单调递减．

4．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　)

A．[－1,2]  B．[－1,0]

C．[1,2]  D．[0,2]

解析：选D　∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，

∴a≥0.当x>0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，

当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，

需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2.

∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.

5．(2020·聊城三模)已知函数f(x)＝若f(a2－3)≥f(－2a)，则实数a

的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]  B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

C．(－∞，1]∪[3，＋∞)  D．[－3,1]

解析：选D　当x≤0时，f(x)＝3e－x单调递减；

当x>0时，f(x)＝－4x＋3单调递减．

又3e0＝－4×0＋3，则函数y＝f(x)在R上连续，

则函数y＝f(x)在R上单调递减．

由f(a2－3)≥f(－2a)，可得a2－3≤－2a，

即a2＋2a－3≤0，解得－3≤a≤1.

因此，实数a的取值范围是[－3,1]．

6．(多选)对于函数f(x)＝(x∈R)，下列判断正确的是(　　)

A．f(－x＋1)＋f(x－1)＝0

B．当m∈(0,1)时，方程f(x)＝m有唯一实数解

C．函数f(x)的值域为(－∞，＋∞)

D．∀x1≠x2，＞0

解析：选ABD　f(－x)＋f(x)＝＋＝0，故f(x)为奇函数，令t＝x－1，即f(－t)＋f(t)＝0，故A正确；当x＞0时，f(x)＝＝1－，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝0，f(x)＝＜1，且f(x)是奇函数，∴f(x)的值域为(－1,1)，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)，故B正确，C错误；∵f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)，∴∀x1≠x2，＞0，故D正确．

7．(2020·郑州模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log30.9，则有(　　)

A．f(b)>f(a)>f(c)  B．f(c)>f(a)>f(b)

C．f(a)>f(c)>f(b)  D．f(a)>f(b)>f(c)

解析：选D　因为f(x)＝

当x>0时，f(x)＝ex－e－x单调递增，且f(0)＝0；

当x≤0时，f(x)＝－x2单调递增，且f(0)＝0，

所以函数f(x)在R上单调递增，

又由a＝50.01>1,0<b＝log32<1，c<0，

所以a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)．

8．函数f(x)＝ 的单调增区间为________．

解析：函数f(x)由y＝，t＝x2－2x－3复合而成，

t＝x2－2x－3>0⇒x>3或x<－1，

又y＝单调递减，则t＝x2－2x－3的减区间(－∞，－1)即为函数f(x)＝的增区间，

所以f(x)＝ 的增区间为(－∞，－1)．

答案：(－∞，－1)

9．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________．

解析：f(x)＝＝a－，

∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数，

∴即即a≥1.

答案：[1，＋∞)

10．若函数y＝|2x＋c|是区间(－∞，1]上的单调函数，则实数c的取值范围是________．

解析：由函数y＝|2x＋c|＝

得函数y＝|2x＋c|在上单调递减，

在上单调递增．

由题知，函数在区间(－∞，1]上单调，

所以－≥1，解得c≤－2.

答案：(－∞，2]

11．(2021·临沂高三月考)已知函数f(x)＝.

(1)用定义证明：f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数；

(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值与最小值．

解：(1)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

故函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．

(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，

∴f(x)max＝f(4)＝＝，

f(x)min＝f(2)＝＝.

12．已知函数f(x)＝(a≠1)．

(1)若a>0，求f(x)的定义域；

(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．

解：(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即函数f(x)的定义域是.

(2)当a－1>0即a>1时，

令t＝3－ax，要使f(x)在(0,1]上是减函数，

则函数t＝3－ax在(0,1]上为减函数，

即－a<0，并且3－a×1≥0，解得1<a≤3；

当a－1<0即a<1时，

令t＝3－ax，要使f(x)在(0,1]上是减函数，

则函数t＝3－ax在(0,1]上为增函数，

即－a>0，并且3－a×1≥0，解得a<0.

综上可知，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．

13．已知函数f(x)＝a－.

(1)求f(0)；

(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；

(3)若f(x)是奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的范围．

解：(1)f(0)＝a－＝a－1.

(2)f(x)在R上单调递增．证明如下：

∵f(x)的定义域为R，

∴任取x1，x2∈R且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋

＝，

∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，

∴2x1－2x2<0,2x1＋1>0,2x2＋1>0.

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．

∴f(x)在R上单调递增．

(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

即a－＝－a＋，

解得a＝1(或用f(0)＝0去解)．

∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，

又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.

∴x的取值范围是(－∞，2)．

[梯度拔高练]

1．(多选)若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数x1，x2都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“Z函数”．以下函数中是“Z函数”的有(　　)

A．y＝－x2＋1  B．y＝3x－2sin x－2cos x

C．y＝  D．y＝

解析：选BD　∵x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0，∴(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，故“Z函数”单调递增．对于选项A，y＝－x2＋1在区间(－∞，0)上递增，在区间(0，＋∞)上递减，故A不正确；

对于选项B，y′＝3－2cos x＋2sin x＝3＋2sin＞0，∴此函数在R上单调递增，故B正确；

对于选项C，函数y＝在区间(0，＋∞)上递增，在区间(－∞，0)上递减，故C不正确；

对于选项D，函数y＝在区间[0，＋∞)上递增，在区间(－∞，0)上递增，可判断出在R上递增，故D正确．

2．已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.　    B.       C.　   D．(1，＋∞)

解析：选B　因为函数对任意x1≠x2，都有<0成立，

所以函数f(x)在定义域内单调递减，

所以解得0<a≤.

3．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间   (1，＋∞)上一定(　　)

A．有最小值  B．有最大值

C．是减函数  D．是增函数

解析：选D　因为函数f(x)＝x2－2ax＋a＝(x－a)2＋a－a2在区间(－∞，1)上有最小值，

所以函数f(x)的对称轴x＝a应当位于区间(－∞，1)内，即a<1，又g(x)＝＝x＋－2a，

所以当a<0时，g(x)＝x＋－2a在区间(1，＋∞)上为增函数，此时，g(x)min>g(1)＝1－a>0；

当a＝0时，g(x)＝x在区间(1，＋∞)上为增函数，此时，g(x)min>g(1)＝1；

当0<a<1时，g(x)＝x＋－2a，g′(x)＝1－>1－a>0，此时，g(x)min>g(1)＝1－a.

综上，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．

4．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．

解析：当x∈时，f(x)≥2 ＝4，

当且仅当x＝2时，f(x)min＝4；

当x∈[2,3]时，g(x)为增函数，故g(x)min＝22＋a＝4＋a.

依题意可得f(x)min≥g(x)min，解得a≤0.

答案：(－∞，0]