2022年高考数学大一轮复习 第二章 第四节 二次函数与幂函数课件PPT

课时跟踪检测（八）  二次函数与幂函数

[素养落实练]

1．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为(　　)

A．1,3　　　　　　　 　  B．－1,1

C．－1,3  D．－1,1,3

解析：选A　当α＝－1时，函数y＝x－1的定义域为{x|x≠0}，不是R，所以α＝－1不成立；当α＝时，函数y＝x的定义域为{x|x≥0}，不是R，所以α＝不成立；当α＝1或α＝3时，满足函数y＝xα的定义域为R，故选A.

2．(2021·秦皇岛模拟)函数y＝的值域为(　　)

A．R  B．[0，＋∞)

C．   D．

解析：选D　∵函数y＝＝，－2＋∈，

∴函数y＝的值域为，即.

3.如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)可能是(　　)

A．y＝x2  B．y＝

C．y＝x  D．y＝x－2

解析：选B　由图象知，幂函数f(x)的性质为：

(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

(2)当0<x<1时，f(x)>1，且f(x)<；

当x>1时，0<f(x)<1，且f(x)>.

所以f(x)可能是y＝ .故选B.

4．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　)

A．在x轴上截得的线段的长度是2

B．与y轴交于点(0,3)

C．顶点是(－2，－2)

D．过点(3,0)

解析：选ABD  易知二次函数与x轴两交点为(1,0)，(3,0)，故在x轴上截得的线段长为2，A正确.

将0代入二次函数得y＝3，故B正确．

因为图象过点(1,0)且关于直线x＝2对称，另一个对称点为(3,0)，故D正确．

5．已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<c<b  B．a<b<c

C．b<c<a  D．b<a<c

解析：选A　因为f(x)＝(m－1)xn是幂函数，所以m－1＝1⇒m＝2，所以f(x)＝xn.因为点(2,8)在函数f(x)＝xn的图象上，所以8＝2n⇒n＝3.故f(x)＝x3.又a＝f＝＝<1，b＝f(ln π)＝(ln π)3>1，c＝f(2)＝2＝>a，故a<c<b.故选A.

6．(2020·莆田模拟)若函数f(x)＝x2＋a|x|在区间[3,4]和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．[4,6]  B．[－6，－4]

C．[2,3]  D．[－3，－2]

解析：选D　f(x)＝x2＋a|x|，∵f(－x)＝(－x)2＋a|－x|＝x2＋a|x|＝f(x)，∴f(x)为实数集上的偶函数，∵f(x)在区间[3,4]和[－2，－1]上均为增函数，∴f(x)在[3,4]上递增，在[1,2]上递减，∴函数f(x)＝x2＋a|x|，x>0的对称轴x＝－a∈[2,3]，得a∈[－3，－2]，故选D.

7．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________．

解析：设f(x)＝xα，则4α＝，所以α＝－.

因此f(x)＝x，从而a＝4(a＋3) ，解得a＝.

答案：

8．(2021·北师大实验中学高三期中)函数f(x)满足下列性质：

(1)定义域为R，值域为[1，＋∞)；

(2)图象关于x＝2对称；

(3)对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0.

请写出函数f(x)的一个解析式________(只要写出一个即可)．

解析：由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式f(x)＝(x－2)2＋1，此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足(2)，因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0，等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f(x)＝(x－2)2＋1满足(3)，又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足(1)，故答案为f(x)＝x2－4x＋5.

答案：f(x)＝x2－4x＋5

9．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.

解析：由已知有－3－m＋m2－m＝0，

即m2－2m－3＝0，∴m＝3或m＝－1.

当m＝3时，函数f(x)＝x－1，此时x∈[－6,6]，

而f(x)在x＝0处无意义，故舍去．

当m＝－1时，函数f(x)＝x3，此时x∈[－2,2]，

∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.

综上可得，f(m)＝－1.

答案：－1

10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列6个代数式：ab，ac，a＋b＋c，a－b＋c,2a＋b,2a－b中，其值为正的式子的个数是________．

解析：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知：二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，a<0；对称轴x＝－且0<－<1，则b>0，b<－2a，即ab<0,2a＋b<0,2a－b<0.

二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，Δ＝b2－4ac>0.

不妨设两个交点的横坐标分别为：x1，x2，则x1>0，x2>0，即x1＋x2＝－>0，x1x2＝>0，所以ac>0.

由图象可知，x＝1时，y>0；x＝－1时，y<0.

令x＝1，则y＝a＋b＋c>0；

令x＝－1，则y＝a－b＋c<0.

综上所述，ac，a＋b＋c这2个代数式的值为正．

答案：2

11．(2020·怀化期末)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．

(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．

解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，

解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.

所以F(x)＝

所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.

(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，

从而|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0,1]上恒成立，

即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．

又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.

所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．

12．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2.

(1)若函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围；

(2)若x∈[－5,5]，记y＝f(x)的最大值为g(a)，求g(a)的表达式．

解：(1)∵函数f(x)＝x2＋2ax＋2，

∴对称轴x＝－a，根据二次函数的性质得出：

当－a≤－5或－a≥5时，f(x)在[－5,5]上单调，即a≥5或a≤－5.

故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

(2)对称轴x＝－a，当－a≤0，即a≥0时，最大值g(a)＝f(5)＝27＋10a；

当－a>0，即a<0时，最大值g(a)＝f(－5)＝27－10a.

综上，g(a)＝

13．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．

解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，

则由f(x＋1)－f(x)＝2x，

得2ax＋a＋b＝2x.

所以2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，

因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.

(2)因为当x∈[－1,1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，所以在[－1,1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立，即x2－3x＋1>m在区间[－1,1]上恒成立．

令g(x)＝x2－3x＋1＝2－，

因为g(x)在[－1,1]上的最小值为g(1)＝－1，

所以m<－1.

故实数m的取值范围为(－∞，－1)．

[梯度拔高练]

1．若幂函数y＝x|m－1|与y＝x3m－m2(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为(　　)

A．0  B．1和2

C．2  D．0和3

解析：选C　由题意可得解得m＝2，故选C.

2．已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)  B．[－1,4)

C．[－1，＋∞)  D．[－1,6]

解析：选C　不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2，3]恒成立，

等价于a≥－22，对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立．

令t＝，则1≤t≤3，∴a≥t－2t2在[1,3]上恒成立．

∵y＝－2t2＋t＝－22＋，∴t＝1时，ymax＝－1，∴a≥－1，故选C.

3．(多选)已知函数f(x)＝3x2－6x－1，则(　　)

A．函数f(x)有两个不同的零点

B．函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增

C．当a＞1时，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值为8，则a＝3

D．当0＜a＜1时，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值为8，则a＝

解析：选ACD　因为二次函数对应的一元二次方程的判别式Δ＝(－6)2－4×3×(－1)＝48＞0，

所以函数f(x)有两个不同的零点，A正确．

因为二次函数f(x)图象的对称轴为x＝1，且图象开口向上，

所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，B不正确．

令t＝ax，则f(ax)＝g(t)＝3t2－6t－1＝3(t－1)2－4.

当a＞1时，≤t≤a，故g(t)在上先减后增，

又＞1，故最大值为g(a)＝3a2－6a－1＝8，解得a＝3(负值舍去)．

同理当0＜a＜1时，a≤t≤，g(t)在上的最大值为g＝－－1＝8，

解得a＝(负值舍去)．故C、D正确．

4．(2021·唐山模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝ax2＋2x＋a－1，若对任意的实数x1∈[0，＋∞)，总存在实数x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　因为对任意的实数x1∈[0，＋∞)，总存在实数x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以函数f(x)的值域是函数g(x)的值域的子集．

当0≤x<1时，f(x)＝x2－x＋1，此时f(x)∈；

当x≥1时，f(x)＝log2(x＋1)单调递增，f(x)∈[1，＋∞)，

所以函数f(x)的值域为.

对于函数g(x)＝ax2＋2x＋a－1，

当a＝0时，函数g(x)＝2x－1在[0，＋∞)上单调递增，此时g(x)的值域为[－1，＋∞)，满足⊆[－1，＋∞)；

当a≠0时，要使函数f(x)的值域是函数g(x)的值域的子集，则二次函数的图象开口必须向上，即a>0，此时函数g(x)的对称轴为x＝－<0，故函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，此时g(x)的值域为[a－1，＋∞)，

由⊆[a－1，＋∞)得，a－1≤，即0<a≤.综上可得：实数a的取值范围为.