2022年高考数学大一轮复习 第二章 第五节 指数与指数函数课件PPT

课时跟踪检测（九）  指数与指数函数

[素养落实练]

1．化简的结果是(　　)

A.　　　　　　　　　 B．x

C．1  D．x2

解析：选C　依题意，＝＝＝＝1.

2．(2021·广州模拟)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)

A．是奇函数，且在R上是增函数

B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数

D．是偶函数，且在R上是减函数

解析：选A　函数f(x)＝3x－x的定义域为R，且f(－x)＝3－x－－x＝－3x＋x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x，y＝－x在R上都是增函数，故函数f(x)在R上是增函数．

3．已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　　)

A．a>b>c  B．a>c>b

C．b>c>a  D．c>b>a

解析：选D　根据函数y＝0.3x单调递减知：a＝0.30.6<b＝0.30.5；根据函数y＝x0.5单调递增知：b＝0.30.5<c＝0.40.5，故c>b>a.

4．函数f(x)＝ 的定义域是(　　)

A．(－2，＋∞)  B．[－1，＋∞)

C．(－∞，－1)  D．(－∞，－2)

解析：选B　要使函数有意义，需满足32x－1－≥0，即32x－1≥3－3，因为y＝3x为增函数，所以2x－1≥－3，解得x≥－1.

5．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　)

A．f(－2)＞f(－1)  B．f(－1)＞f(－2)

C．f(1)＞f(2)  D．f(－4)＞f(3)

解析：选AD　由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝－|x|＝2|x|，故f(－2)＞f(－1)，f(2)＞f(1)，f(－4)＝f(4)＞f(3)，所以A、D正确．

6. (多选)如图，某湖泊蓝藻的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系满足y＝at，则下列说法正确的是(　　)

A．蓝藻面积每个月的增长率为200%

B．蓝藻每个月增加的面积都相等

C．第4个月时，蓝藻面积就会超过80 m2

D．若蓝藻面积蔓延到2 m2,4 m2,8 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有2t2＝t1＋t3

解析：选ACD　由题图可知，函数y＝at的图象经过点(1,3)，即a1＝3，则a＝3，∴y＝3t.∵3t＋1＝3×3t，∴蓝藻每个月的面积是上月的3倍，∴蓝藻面积每个月的增长率为200%，A正确，B错误；当t＝4时，y＝34＝81>80，∴C正确；若蓝藻面积蔓延到2 m2，4 m2，8 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则3t1＝2,3t2＝4,3t3＝8，∵42＝2×8，∴(3t2)2＝3t1×3t3，即3＝3，2t2＝t1＋t3，∴D正确．故选A、C、D.

7．下列说法中，正确的是________(填序号)．

①任取x>0，均有3x>2x；

②当a>0，且a≠1时，有a3>a2；

③y＝()－x是增函数；

④y＝2|x|的最小值为1；

⑤在同一平面直角坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称．

解析：任取x>0，均有3x>2x，即①正确；

当a>1时，a3>a2，当0<a<1时，a3<a2，②错误；

y＝()－x是减函数，③错误；

y＝2|x|的最小值为1，④正确；

在同一平面直角坐标系中，y＝2x与y＝2－x＝x的图象关于y轴对称，⑤正确．

故正确的是①④⑤.

答案：①④⑤

8．已知点P(a，b)在函数y＝的图象上，且a>1，b>1，则aln b的最大值为________．

解析：由题意知b＝，则aln b＝aln ，

令t＝a2－ln a(t>0)，

则ln t＝ln a2－ln a＝－(ln a)2＋2ln a＝－(ln a－1)2＋1≤1，

当ln a＝1时，“＝”成立，此时ln t＝1，

所以t＝e，即aln b的最大值为e.

答案：e

9．已知函数y＝a(a>0且a≠1)在区间[1,2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：令u＝，由于a>0且a≠1，内层函数u＝在区间[1,2]上为减函数，所以外层函数y＝au为增函数，则有a>1.由题意可知，不等式4－ax≥0对任意的x∈[1,2]恒成立，所以4－2a≥0，解得a≤2.综上所述，实数a的取值范围是(1,2]．

答案：(1,2]

10．设奇函数f(x)＝e－x－ex＋a，则不等式f(x)>a的解集为________．

解析：因为f(x)为奇函数，

所以f(0)＝1－ea＝0，即a＝0.

所以f(x)＝e－x－ex，

因为f(x)在R上为减函数，f(x)>a等价于f(x)>0，

结合图象可知不等式f(x)>a的解集为(－∞，0)．

答案：(－∞，0)

11．(2021·益阳模拟)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋2ax(－3≤x≤3)．

(1)若g(x)在[－3,3]上是单调函数，求a的取值范围；

(2)当a＝－1时，求函数y＝f(g(x))的值域．

解：(1)易知g(x)＝(x＋a)2－a2的图象的对称轴为x＝－a，

∵g(x)在[－3,3]上是单调函数，

∴－a≥3或－a≤－3，即a≤－3或a≥3.

∴a的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．

(2)当a＝－1时，f(g(x))＝2x2－2x(－3≤x≤3)，

令u＝x2－2x，y＝2u，

∵x∈[－3,3]，∴u＝(x－1)2－1∈[－1,15]．

而y＝2u是增函数，∴≤y≤215.

∴函数y＝f(g(x))的值域是.

12．已知函数f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．

(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．

解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，

∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．

对于定义域内任意x，有

f(－x)＝(－x)3＝(－x)3

＝(－x)3＝x3＝f(x)，

∴函数f(x)是偶函数．

(2)由(1)知f(x)为偶函数，

∴只需讨论x＞0时的情况，当x＞0时，要使f(x)＞0，

则x3＞0，即＋＞0，

即＞0，则ax＞1.

又∵x＞0，∴a＞1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.

13．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．

(1)求f(x)的表达式；

(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，

所以所以a2＝4，

又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x.

(2)由(1)知a＝2，b＝3，

则当x∈(－∞，1]时，x＋x－m≥0恒成立，

即m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．

又因为y＝x与y＝x在(－∞，1]上均为减函数，

所以y＝x＋x在(－∞，1]上也是减函数，

所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值，

所以m≤，即m的取值范围是.

[梯度拔高练]

1．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)

A．ln(y－x＋1)＞0  B．ln(y－x＋1)＜0

C．ln|x－y|＞0  D．ln|x－y|＜0

解析：选A　由2x－2y＜3－x－3－y，得2x－3－x＜2y－3－y，即2x－x＜2y－y.

设f(x)＝2x－x，则f(x)＜f(y)．

因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－x在R上为增函数，

所以f(x)＝2x－x在R上为增函数，

则由f(x)＜f(y)，得x＜y，所以y－x＞0，

所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞0，故选A.

2．(多选)已知函数f(x)＝，下面说法正确的有(　　)

A．f(x)的图象关于原点对称

B．f(x)的图象关于y轴对称

C．f(x)的值域为(－1,1)

D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0

解析：选AC　对于选项A，f(x)＝，定义域为R，

则f(－x)＝＝＝－f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故A正确；

对于选项B，计算f(1)＝＝，f(－1)＝＝－≠f(1)，

故f(x)的图象不关于y轴对称，故B错误；

对于选项C，f(x)＝＝1－，令1＋2x＝t，t∈(1，＋∞)，

则f(x)＝g(t)＝1－，易知1－∈(－1,1)，故f(x)的值域为(－1,1)，故C正确；

对于选项D，易知函数t＝1＋2x在R上单调递增，且y＝1－在t∈(1，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性，可知f(x)＝1－在R上单调递增，故∀x1，x2∈R，且x1≠x2，>0，故D错误．故选A、C.

3．设x，y∈R(　　)

A．若2x－4y＝x－2y，则x－2y>0

B．若2x－4y＝x－2y，则x－2y<0

C．若2x－y＝x－2×9y，则x－2y<0

D．若2x－y＝x－2×9y，则x－2y>0

解析：选B　由2x－4y＝x－2y，

得2x－x＝4y－2y＝22y－22y，

所以2x－x－＝－2y<0，

所以2x－x<22y－2y，

令f(x)＝2x－x，则f(x)在R上为增函数，

所以x<2y，即x－2y<0，所以B正确．

由2x－y＝x－2×9y，

得2x－x＝y－2×9y＝2－2y－2－2y，

所以2x－x<2－2y－－2y，

因为f(x)＝2x－x在R上为增函数，

所以x<－2y，即x＋2y<0，所以C、D不正确．

4．已知a>b>0，且ab＝1，如果把，2－(a＋b)，按从小到大的顺序排列，那么排在中间的数是(　　)

A.  B．2－(a＋b)

C.  D．不能确定

解析：选B　由a>b>0，且ab＝1，有a>1>b>0，b＝，

a·22a>2a·2b>2b·2b>b·2b·2b＝b·22b，

即a·22a>2a·2b＝2a＋b>b·22b，

即<<，

又＝b·，＝a·，所以有<<，

所以按从小到大的顺序排列，2－(a＋b)排在中间．

5．已知函数f(x)＝ex，若关于x的不等式[f(x)]2－2f(x)－a≥0在[0,1]上有解，则实数a的取值范围为________．

解析：由[f(x)]2－2f(x)－a≥0在[0,1]上有解，

可得存在x∈[0,1]，a≤[f(x)]2－2f(x)，即a≤e2x－2ex.

令g(x)＝e2x－2ex(0≤x≤1)，则a≤g(x)max.因为0≤x≤1，所以1≤ex≤e，

则当ex＝e，即x＝1时，g(x)max＝e2－2e，即a≤e2－2e，

故实数a的取值范围为(－∞，e2－2e]．

答案：(－∞，e2－2e]