2022年高考数学大一轮复习 第二章 第八节 函数与方程课件PPT

课时跟踪检测（十二）  函数与方程

[素养落实练]

1．(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法错误的是(　　)

A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定有零点

B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点

C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点

D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点

解析：选ABD　由题知f(0)·f(1)＜0，所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点，又f(1)·f(2)＞0，因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点．

2．函数f(x)＝2x＋x－5的零点所在区间为(　　)

A．(2,3)　　　　　　　　 B．(1,2)

C．(0,1)  D．(－1,0)

解析：选B　因为f(1)＝2＋1－5＝－2<0，f(2)＝4＋2－5＝1>0，所以f(1)·f(2)<0，根据零点存在性定理可得函数的零点所在区间为(1,2)．

3．已知函数f(x)＝则f(x)的零点个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选C　当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2；

当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.

综上，f(x)的零点个数为2.

4．已知f(x－2)＝ln x－，且f(x0)＝0，则x0所在的区间为(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(4,5)

解析：选A　f(x－2)＝ln x－，则f(x)＝ln(x＋2)－，根据单调性的性质可知f(x)＝ln(x＋2)－是定义域上的增函数，故f(x)在定义域内最多有一个零点．

又f(0)＝ln 2－1<0，f(1)＝ln 3－>0，

所以存在x0∈(0,1)，使得f(x0)＝0，故选A.

5．已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m的取值范围是(　　)

A．(－5，－4)   B.

C.  D．(－5，－2)

解析：选C　令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，只需即解不等式组可得－<m<－4，即m的取值范围为，故选C.

6．(多选)关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的有(　　)

A．存在实数k，使得方程无实根

B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根

C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根

D．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根

解析：选AB　设t＝x2－2x，方程化为关于t的二次方程t2＋2t＋k＝0(*)．

当k＞1时，方程(*)无实根，故原方程无实根．

当k＝1时，可得t＝－1，则x2－2x＝－1，原方程有两个相等的实根x＝1.

当k＜1时，方程(*)有两个实根t1，t2(t1＜t2)，由t1＋t2＝－2可知，t1＜－1，t2＞－1.

因为t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x2－2x＝t1无实根，x2－2x＝t2有两个不同的实根．综上可知：A、B项正确，C、D项错误．

7．已知函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k＝______.

解析：由题意有函数f(x)＝2lg x＋x－4在(0，＋∞)为增函数，又∵f(3)＝2lg 3＋3－4＝2lg 3－1＝lg 9－1<0，f(4)＝2lg 4＋4－4＝2lg 4>0，即f(3)f(4)<0，则函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(3,4)上，即k＝3.

答案：3

8．函数f(x)＝cos x－在[0，＋∞)的零点个数为_________．

解析：问题函数f(x)＝cos x－在[0，＋∞)的零点个数，可以转化为曲线y＝cos x与y＝(x∈[0，＋∞))的交点个数问题．在同一直角坐标系内，画出函数y＝cos x，y＝(x∈[0，＋∞))的图象如图所示．

由图象可知：当x∈[0，＋∞)时，两个函数只有一个交点．

答案：1

9．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝函数f(x)＝－ex＋2e，g(x)＝ex，h(x)＝min{f(x)，g(x)}，若函数Q(x)＝h(x)－k有两个零点，则k的取值范围为________．

解析：因为f(x)＝－ex＋2e单调递减，g(x)＝ex单调递增，

且f(1)＝e＝g(1)，

故h(x)＝min{f(x)，g(x)}＝

作出函数h(x)的图象如图所示．

函数Q(x)＝h(x)－k有两个零点等价于函数h(x)与直线y＝k图象有2个交点，由图可知，k∈(0，e)．

答案：(0，e)

10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．

解：显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，

故当0<x≤2时，方程可变形为1－m＝x＋.

又∵y＝x＋在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，

∴y＝x＋在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，

∴1－m≥2，∴m≤－1，

故实数m的取值范围是(－∞，－1]．

11．(2021·徐州一中测试)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.

(1)写出函数y＝f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．

解：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝x2＋2x.

又因为f(x)是奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.

所以f(x)＝

(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，

即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．

作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，

故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，

只需－1＜a＜1，

故实数a的取值范围为(－1,1)．

12．设函数f(x)＝(x>0)．

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；

(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

解：(1)f(x)＝＝

作出其图象如图所示．

(2)由图象可知f(x)在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，

由0<a<b且f(a)＝f(b)，

得0<a<1<b，

且－1＝1－，所以＋＝2.

(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．即m的取值范围是(0,1)．

[梯度拔高练]

1．函数f(x)＝若方程f(x)＝－2x＋m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，4)  B．(－∞，4]

C．(－2,4)  D．(－2,4]

解析：选A　令g(x)＝－2x＋m，画出f(x)与g(x)的图象如图所示，平移直线，当直线经过(1,2)时只有一个交点，此时m＝4，向右平移，不再符合条件，故m<4.

2．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)，对任意的x∈R都有f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x<0时，f(x)＝log2(－x)，则函数g(x)＝f(x)－2在(0,8)内所有零点之和为(　　)

A．6  B．8

C．10  D．12

解析：选D　函数g(x)＝f(x)－2在(0,8)内零点之和就是f(x)＝2在(0,8)内所有的根的和，就是y＝f(x)与y＝2交点横坐标的和．函数y＝f(x)的图象如图所示，由图可知x1＋x2＝2，x3＋x4＝10，所以x1＋x2＋x3＋x4＝12.

3．(多选)定义域和值域均为[－a，a](常数a＞0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，则下列说法正确的有(　　)

A．方程f(g(x))＝0有两正数解和一负数解

B．方程g(f(x))＝0最多只有三个解

C．方程f(f(x))＝0可能存在五个解

D．方程g(g(x))＝0有且仅有一个解

解析：选ABCD　设f(x)的零点分别为x1，x2，x3，则x1＜x2＜0＜x3，设g(x)的零点为x4，x4＞0.f(g(x))＝0，即g(x)＝x1，有一个解为正数，g(x)＝x2，有一个解为正数，g(x)＝x3，有一个解为负数，故A正确；g(f(x))＝0，则f(x)＝x4，根据图象知：函数最多有三个交点，故B正确；f(f(x))＝0，即f(x)＝x1，可能为一个解，f(x)＝x2，可能为三个解，f(x)＝x3，可能为一个解，故C正确；g(g(x))＝0，故g(x)＝x4，方程有且仅有一个解，故D正确．

4．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝2f(x)－2kx－1有三个零点，则实数k的取值范围为(　　)

A.

B.∪

C.

D.∪

解析：选D　由g(x)＝2f(x)－2kx－1＝0得f(x)＝kx＋，所以函数y＝f(x)的图象与直线y＝kx＋有三个交点．作出函数f(x)的图象如图所示，

直线y＝kx＋恒过定点P，当直线与x轴平行时满足题意，将直线绕点P逆时针转动，当直线过点A(－1,0)时，kPA＝，此时正好不满足题意，故0≤k<.

由图设直线PC与曲线y＝＋1(x<－1)相切，切点为C(x0，y0)，y′＝－，

则k＝－＝＝，解得x0＝－4，所以k＝－.

综上可得，当k＝－或0≤k<时，直线y＝kx＋与函数f(x)的图象有三个交点．