2022年高考数学大一轮复习 第二章 第九节 函数模型及其应用课件PPT

课时跟踪检测（十三）  函数模型及其应用

[素养落实练]

1．(2021·苏州一中高三模拟)人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，其中0 dB是人能听到的等级最低的声音．一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)＝10lg，则90 dB的声音与60 dB的声音强度之比为(　　)

A．100　　　　　　　　　　 B．1 000

C．   D．

解析：选B　设90 dB的声音与60 dB的声音强度分别为x1，x2，则由f(x1)＝90，即10lg＝90，解得x1＝10－3；由f(x2)＝60，即10lg＝60，解得x2＝10－6.因此所求强度之比为＝＝1 000.

2．(多选)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是(　　)

A．出租车行驶2 km，乘客需付费8元

B．出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元

C．出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元

D．某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用

解析：选CD　出租车行驶2 km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误；出租车行驶4 km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15元，B错误；出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45元，C正确；乘出租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.3元，乘坐两次需付费26.6元，26.6＞25.45，D正确．

3．1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法．若试管内某种病毒细胞的总数y和天数t的函数关系为：y＝2t－1，且该种病毒细胞的个数超过108时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为(参考数据：lg 2≈0.30)(　　)

A．25   B．26

C．27   D．28

解析：选C　取y＝2t－1＝108，故t－1＝log2108＝8log210，即t＝8log210＋1＝8＋1≈27.6，故该种病毒细胞实验最多进行的天数为27.

4．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　)

A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min

B．甲从家到公园的时间是30 min

C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快

D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x

解析：选BD　在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确．

5．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0<t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________．

解析：日销售金额y＝(－t＋35)(t＋10)＝－2＋350＋，

∵t∈N，∴t＝12或13时，ymax＝506.

答案：506

6．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2(N0表示碳14原有的质量)，则经过5 730年后，碳14的质量变为原来的______；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到______年之间．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)

解析：∵N＝N0·2，∴当T＝5 730时，N＝N0·2－1＝N0，

∴经过5 730年后，碳14的质量变为原来的.

由题意可知2>，两边同时取以2为底的对数得：log22>log2，

∴>＝≈－1.2，∴T<6 876，

∴推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到6 876年之间．

答案：　6 876

7．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.60x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

解：(1)由题意得：y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，

整理得：y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1)．

(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，

必须y－(12－10)×10 000>0(0<x<1)，

即－6 000x2＋2 000x>0(0<x<1)，解得0<x<.

所以投入成本增加的比例应在内．

8．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)＝x2＋x＋150万元．

(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？

解：(1)由总成本p(x)＝万元，可得每台机器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1≥2 ＋1＝2.

当且仅当x＝，即x＝300时，上式等号成立．

∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．

(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量

q(m)＝

当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为

160m(60－m)＝－160m2＋9 600m，

∴当m＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．

当m＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．

∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．

若传统人工分拣144 000件，则需要人数为＝120(人)．

∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%＝75%.

9．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数R(x)＝其中x(台)是仪器的月产量．

(1)将利润表示为月产量的函数f(x)．

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)

解：(1)月产量为x台，则总成本为(20 000＋100x)元，从而

f(x)＝R(x)－(20 000＋100x)

＝

(2)由(1)可知，当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，

∴当x＝300时，f(x)max＝25 000；

当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，

∴f(x)<60 000－100×400<25 000，

∴当x＝300时，f(x)max＝25 000，

即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．

[梯度拔高练]

1．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．

解析：由题意知，容积V＝(a－2x)2x＝4x3－4ax2＋a2x，0＜x＜，则V′＝12x2－8ax＋a2＝(2x－a)(6x－a)．

由V′＝0，得x＝或x＝(舍去)，

由V′＞0，得x∈；由V′＜0，得x∈，

所以x＝为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝a3.

答案：a3

2．已知某条有轨电车运行时，发车时间间隔t(单位：分钟)满足：2≤t≤20，t∈N.经测算，电车载客量p(t)与发车时间间隔t满足：p(t)＝其中t∈N.

(1)求p(5)，并说明p(5)的实际意义．

(2)若该线路每分钟的净收益为Q＝－60(元)，问：当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求每分钟最大净收益．

解：(1)因为p(t)＝

所以p(5)＝400－2(10－5)2＝350.

p(5)的实际意义是当电车的发车时间间隔为5分钟时，载客量为 350.

(2)将p(t)＝

代入Q＝－60中可得

Q＝

化简即可得Q＝

当2≤t<10时，Q＝180－≤180－2＝60，当且仅当t＝5时等号成立；

当10≤t≤20时，Q＝－60≤－60＋90＝30，当t＝10时等号成立．

综上可知，当发车时间间隔为5 min时，该线路每分钟的收益最大，最大为60元．