第六章 第三节 等比数列及其前n项和课件PPT

课时跟踪检测（三十六）  等比数列及其前n项和

[素养落实练]

1．(2021·衡阳一模)在等比数列{an}中，a1a3＝a4＝4，则a6的所有可能值构成的集合是(　　)

A．{6}　　　　　　　 B．{－8,8}

C．{－8}  D．{8}

解析：选D　因为a1a3＝a＝4，a4＝4，所以a2＝2，

所以q2＝＝2，所以a6＝a2q4＝2×4＝8，

故a6的所有可能值构成的集合是{8}，故选D.

2．(2020·皖西南联盟期末)在等比数列{an}中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，则a2＝(　　)

A．   B．

C．  D．4

解析：选A　由题得解得q2＝3.

由a2＋a2q2＝1，得a2＝.故选A.

3．(多选)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　)

A．q＝2  B．an＝2n

C．S10＝2 047  D．an＋an＋1<an＋2

解析：选ABD　由题意2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(负值舍去)，选项A正确；

an＝2×2n－1＝2n，选项B正确；

Sn＝＝2n＋1－2，所以S10＝2 046，选项C错误；

an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an>3an，选项D正确．

4．正项等比数列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，且a5与a9的等差中项为4，则{an}的公比是(　　)

A．1  B．2

C.  D.

解析：选D　设公比为q，由正项等比数列{an}中，

a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，

可得a＋2a3a7＋a＝(a3＋a7)2＝16，即a3＋a7＝4，

由a5与a9的等差中项为4，得a5＋a9＝8，

则q2(a3＋a7)＝4q2＝8，解得q＝(舍负)，故选D.

5．(多选)(2020·厦门模拟)在公比为q的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正确的是(　　)

A．q＝3  B．数列{Sn＋2}是等比数列

C．S5＝121  D．2lg an＝lg an－2＋lg an＋2(n≥3)

解析：选ACD　因为a1＝1，a5＝27a2，所以有a1·q4＝27a1·q⇒q3＝27⇒q＝3，因此选项A正确；

因为Sn＝＝(3n－1)，所以Sn＋2＝(3n＋3)，

因为＝＝1＋≠常数，所以数列{Sn＋2}不是等比数列，故选项B不正确；

因为S5＝(35－1)＝121，所以选项C正确；

an＝a1·qn－1＝3n－1>0，

因为当n≥3时，lg an－2＋lg an＋2＝lg(an－2·an＋2)

＝lg a＝2lg an，所以选项D正确．

6．已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9>b9且a10>b10，有以下四个结论：

①a9a10<0；②a9>a10；③b10>0；④b9>b10.

其中正确的为(　　)

A．①②  B．③④

C．①③  D．①④

解析：选D　∵等比数列{an}的公比q＝－，

∴a9和a10异号，∴a9a10<0，故①正确；

但不能确定a9和a10的大小关系，故②不正确；

∵a9和a10异号，a9>b9且a10>b10，

∴b9和b10中至少有一个数是负数，

又∵b1＝12>0，∴d<0，∴b9>b10，故④正确；

∴b10一定是负数，即b10<0，故③不正确．故选D.

7．(2021·珠海质检)已知公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则log2a15＝________.

解析：等比数列{an}的各项都是正数，且公比为，

a2a12＝16，所以aq12＝16，所以a1q6＝22，

所以a15＝a1q14＝a1q6(q2)4＝26，

则log2a15＝log226＝6.

答案：6

8．(2021·安庆模拟)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为________．

解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.

由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.

答案：2

9．已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

解析：因为＝an，令m＝1，则＝an，

即＝a1＝2，所以{an}是首项a1＝2，

公比q＝2的等比数列，Sn＝＝2n＋1－2.

答案：2n＋1－2

10．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.

解：(1)设{an}的公比为q.

由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8.

解得q＝2或q＝(舍去)．所以a1＝2.

所以{an}的通项公式为an＝2n.

(2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m<2n＋1时，bm＝n.

所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.

11．(2021·重庆诊断测试)已知数列{an}是等比数列，公比q<1，前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设m∈Z，若Sn<m恒成立，求m的最小值．

解：(1)由a2＝2，S3＝7得

解得或(舍去)，

所以an＝4·n－1＝n－3.

(2)由(1)可知，Sn＝＝＝8<8.

因为an>0，所以Sn单调递增．

又S3＝7，所以当n≥4时，Sn∈(7,8)．

又Sn<m恒成立，m∈Z，

所以m的最小值为8.

[梯度拔高练]

1．如图，方格蜘蛛网是由一组正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为3∶4.现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为1米，按由外到内的顺序制作，则完整的正方形的个数最多为(参考数据：lg≈0.15)(　　)

A．6个  B．7个

C．8个  D．9个

解析：选B　记由外到内的第n个正方形的周长为an，

则a1＝4×1，a2＝4×，…，an＝4×n－1.

∴a1＋a2＋…＋an＝4×＝14×.

令a1＋a2＋…＋an≤13，解得n≤1＋≈7.667，

故可制作完整的正方形的个数最多为7个．

2．(多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是(　　)

A．此人第六天只走了5里路

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里

C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里

D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

解析：选BCD　根据题意此人每天行走的路程成等比数列，

设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列．

所以S6＝＝＝378，解得a1＝192.

a6＝a1q5＝192×5＝6，故A错误；

由a1＝192，则S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，故B正确；

a2＝a1q＝192×＝96，而S6＝94.5,96－94.5＝1.5，故C正确；

a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×＝336，

则后3天走的路程为378－336＝42，而且336÷42＝8，故D正确．

3．已知数列{an}是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行、第二行、第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an＝________(n∈N*).

解析：观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18，即{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＝2×3n－1.

答案：2×3n－1

4．(2020·长沙二模)Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.

(1)求an及Sn.

(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意可得

解得a1＝1，q＝3，

所以an＝3n－1，Sn＝＝.

(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，

因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，

所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，

解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝3，

故存在常数λ＝，使得数列是等比数列．