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第八章 第五节第二课时 直线与椭圆的位置关系课件PPT
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课时跟踪检测(五十二) 直线与椭圆的位置关系[素养落实练]1.若直线mx+ny=4与⊙O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是( )A.至多为1 B.2C.1 D.0解析:选B 由题意知>2,即<2,∴点P(m,n)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2.2.已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )A. B.-C.2 D.-2解析:选B 设弦所在直线的斜率为k,弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,由两式相减,得+=0,所以=-,所以k==-.经检验,k=-满足题意.故弦所在直线的斜率为-.3.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A. B.C. D.解析:选B 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.联立解得交点坐标为(0,-2),,不妨设A点的纵坐标yA=-2,B点的纵坐标yB=,则S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=×1×=.故选B.4.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于( )A.-3 B.-C.-或-3 D.±解析:选B 依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan 45°(x-1),即y=x-1,代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点坐标分别为(0,-1),,所以·=-.同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·=-.5.(多选)已知点P是椭圆C:+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=上的动点,点M,则( )A.椭圆C的离心率为B.椭圆C中以M为中点的弦所在直线方程为6x+24y-11=0C.圆D在椭圆C的内部D.PQ的最小值为解析:选ABC 对于A,由椭圆C:+y2=1得a=,b=1,c==,则离心率为==,故A正确;对于B,设以M为中点的弦交椭圆于点(x1,y1),(x2,y2),则=,=,+y=1,+y=1,两式相减得+(y1-y2)(y1+y2)=0,则可得=-,即斜率为-,则直线方程为y-=-,整理得6x+24y-11=0,故B正确; 对于C,设P(x,y)(-≤x≤),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-=2+>,所以圆D在椭圆C的内部,故C正确;对于D,由C选项可得|PQ|的最小值为 - =,故D错误.6.过点M(-2,0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为________.解析:过点M(-2,0)的直线m的方程为y-0=k1(x+2),代入椭圆方程化简得(2k+1)x2+8kx+8k-2=0,所以x1+x2=,所以点P,直线OP的斜率k2=-,所以k1k2=-.答案:-7.如图,点A,B分别是椭圆+=1(0<b<5)的长轴的左、右端点,F为椭圆的右焦点,直线PF的方程为x+y-4=0,且·=0,设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,则椭圆上的点到点M的距离d的最小值为________.解析:依题意得直线AP的方程为x-y+5=0,直线PF与x轴的交点为(4,0),即F(4,0),∴b2=25-16=9,即椭圆方程为+=1.设M(m,0)(-5≤m≤5),则M到直线AP的距离为,又|MB|=|5-m|,∴=|5-m|,∵-5≤m≤5,∴=5-m,解得m=3,∴M(3,0).设椭圆上的点(x,y)(x∈[-5,5])到M(3,0)的距离为d,则d2=(x-3)2+y2=(x-3)2+9=x2-6x+18=2+,∵x∈[-5,5],∴当x=时,d2最小,此时dmin=.答案:8.已知椭圆C:+=1,过椭圆C上一点P(1,)作倾斜角互补的两条直线PA,PB,分别交椭圆C于A,B两点,则直线AB的斜率为________.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),同时设PA的方程为y-=k(x-1),代入椭圆方程化简,得(k2+2)x2-2k(k-)x+k2-2k-2=0,显然1和x1是这个方程的两解,因此x1=,y1=.由-k代替x1和y1中的k,得x2=,y2=,所以=.故直线AB的斜率为.答案:9.(2021·湖南名校一联)顺次连接椭圆C:+=1(a>b>0)的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为2的菱形.(1)求椭圆C的方程;(2)过点Q(0,-2)的直线l与椭圆C交于A,B两点,kOA·kOB=-1,其中O为坐标原点,求|AB|.解:(1)由题可知,2ab=2,a2+b2=3,解得a=,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线l斜率不存在时,明显不符合题意,故设l的方程为y=kx-2,将其代入方程+y2=1 ,整理得(1+2k2)x2-8kx+6=0.由Δ=64k2-24(2k2+1)>0,解得k2>,所以x1+x2=,x1x2=.则kOA·kOB===-1,解得k2=5.所以|AB|==.10.(2021·张家口模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点,求△PAB面积的最大值.解:(1)∵e2===,∴a2=4b2.又椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(2,1),∴+=1,∴a2=8,b2=2.故所求椭圆方程为+=1.(2)设l的方程为y=x+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得x2+2mx+2m2-4=0.∵Δ=4m2-8m2+16>0,解得|m|<2.∴x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4.则|AB|= ×=.又点P到直线l的距离d==,∴S△PAB=d|AB|=××=≤=2.当且仅当m2=2,即m=±时等号成立,此时S△PAB取得最大值.∴△PAB面积的最大值为2. [梯度拔高练]1.如图,过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若<k<,则椭圆C的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.解析:选C 由题意可知,|AF|=a+c,|BF|=,于是k=.又<k<,所以<<,化简可得<<,解得<e<,故选C.2.(多选)已知F1,F2是椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M,N是左、右顶点,e为椭圆C的离心率,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,若·=0,3=2,|AF1|=2|AF2|,设直线AB的斜率为k,直线AM和直线AN的斜率分别为k1,k2,直线BM和直线BN的斜率分别为k3,k4,则下列结论一定正确的是( )A.e= B.k=C.k1·k2=- D.k3·k4=解析:选AC ∵·=0,∴AF1⊥BF1,过点F2作F1B的平行线,交AF1于点E,∴AF1⊥EF2.设|F2A|=2t,|F1A|=4t,又3=2,∴|AB|=5t,∵AF1⊥BF1,∴|F1B|=3t,∴12t=4a,∴a=3t.∴|BF1|=|BF2|=3t=a,∴B(0,b).在△EF1F2中,|EF1|=|AF1|=,|EF2|=|BF1|=,|F1F2|=2c,∵|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2,∴c=,b==,椭圆离心率e==,故A正确;k==2,故B错误;设A(x,y),易得M(-a,0),N(a,0),则k1·k2=·===-=-,故C正确;同理k3·k4=-=-,故D错误.3.(2020·广东七校联考)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,直线l:y=x与椭圆C相交于A,B两点,若|AB|=2c,则椭圆C的离心率为________.解析:设直线l与椭圆C在第一象限内的交点为A(x1,y1),则y1=x1,由|AB|=2c,可知|OA|==c(O为坐标原点),即=c,所以x1=c,所以A.把点A的坐标代入椭圆方程得+=1,又a2=b2+c2,整理得8e4-18e2+9=0,即(4e2-3)(2e2-3)=0,又0<e<1,所以e=.答案:4.已知直线l经过椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点(1,0),交椭圆C于点A,B,点F为椭圆C的左焦点,△ABF的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线m与直线l的倾斜角互补,且交椭圆C于点M,N,|MN|2=4|AB|,求证:直线m与直线l的交点P在定直线上.解:(1)由已知,得∴∴b2=3,∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)证明:若直线l的斜率不存在,则直线m的斜率也不存在,这与直线m与直线l相交于点P矛盾,∴直线l的斜率存在.设l:y=k(x-1)(k≠0),m:y=-k(x+t),A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN).将直线m的方程代入椭圆方程得,(3+4k2)x2+8k2tx+4(k2t2-3)=0,∴xM+xN=-,xMxN=,∴|MN|2=(1+k2)·.同理,|AB|=·=.由|MN|2=4|AB|得t=0,此时,Δ=64k4t2-16(3+4k2)(k2t2-3)>0,∴直线m:y=-kx,∴P,即点P在定直线x=上.