第八章 第六节 双曲线课件PPT

课时跟踪检测（五十三）  双曲线

[素养落实练]

1．双曲线－x2＝1的渐近线方程为(　　)

A．y＝±4x　　　　　 B．y＝±x

C．y＝±2x  D．y＝±x

解析：选C　由题意可知，双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x.

2．(2021·青岛期末)已知离心率为2的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C．x2－＝1   D.－y2＝1

解析：选C　∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与椭圆＋＝1有公共焦点，

由椭圆＋＝1可得c2＝8－4＝4，∴c＝2，

∵双曲线离心率e＝＝2，∴a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，

∴双曲线的方程为：x2－＝1.

3．(多选)设方程＋＝1表示的曲线为C，则下列判断正确的是(　　)

A．当1<t<4时，曲线C表示椭圆

B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线

C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t<

D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4

解析：选BCD　由4－t＝t－1，得t＝，此时方程＋＝1表示圆，故A选项错误．由双曲线的定义可知(4－t)(t－1)<0，即t<1或t>4时，方程＋＝1表示双曲线，故B选项正确．由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满足4－t>t－1>0，解得1<t<，故C选项正确．当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线时，则解得t>4，故D选项正确．综上所述，正确的选项为B、C、D.

4．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)

A.                               B.

C．2                               D.

解析：选A　设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得2＋2＝a2，故＝，即e＝.

5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)是C上的点，且x＋y20＝b2，若＋＝0，且||＝3||，则C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±x  D．y＝±2x

解析：选C 　依题意，四边形MF1NF2为平行四边形，

因为||＝3||，且|MF1|－|MF2|＝2a, 故|MF2|＝a，

而x＋y＝b2，故|OM|＝b，而|OF2|＝c，故∠OMF2＝90°.

在△NMF2中，|MN|＝2b，|NF2|＝3a，|MF2|＝a，则(2b)2＋a2＝(3a)2，则b2＝2a2，

则双曲线C的渐近线方程为y＝±x.

6．已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)

A．(1，)  B．(1,2)

C．(，＋∞)  D．(2，＋∞)

解析：选D　由题意，圆心(1,0)到切线的距离d＝＝，解得k＝±，

因为圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，所以＞，所以e2＝1＋＞4，所以e＞2.

7．(多选)(2020·江苏如皋中学月考)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则下列说法正确的是(　　)

A．|F2P|＝b

B．双曲线的离心率为

C．双曲线的渐近线方程为y＝±x

D．点P在直线x＝a上

解析：选ABD　由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，

设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(a>0，b>0，c>0)，

因为过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，

所以|F2P|＝＝＝b，故A正确；

因为|OP|＝＝＝a，

所以|PF1|＝|OP|＝a，

cos∠F1OP＝cos(180°－∠F2OP)＝－cos∠F2OP＝－＝－，

在三角形OPF1中，根据余弦定理可知

cos∠F1OP＝＝＝－，

解得3a2＝c2，即离心率e＝或e＝－(舍去)，故B正确；

因为e＝ ＝，解得＝，所以渐近线的方程为y＝±x，故C错误；

因为点P在直线y＝x上，可设P(x，x)(x>0)，

由|OP|＝a可知，|OP|＝＝x＝a，

解得x＝a，故D正确．

8．已知直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，O为坐标原点，则·＝(　　)

A．3  B．4

C．5  D．与P的位置有关

解析：选A　设切点P(x0，y0)，则－y＝1，切线l的方程为x0x－y0y＝1.

由题意知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，

不妨设M为直线l与渐近线y＝x的交点，

由得

即交点M，，

同理可得N，所以·＝＝＝3，故选A.

9．(2020·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)

A．4  B．8

C．16  D．32

解析：选B　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.

10．(2021·宁波一模)在平面直角坐标系xOy中，以点F1(4,0)，F2(8,9)为焦点的动椭圆与双曲线－＝1的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为________．

解析：依题意知，F1(4,0)为双曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为F，则F(－4,0)，设点P为两曲线的交点，则由双曲线及椭圆的定义可知，

|PF|－|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，

则|PF|＋|PF2|＝2a＋4≥|FF2|＝

＝15，所以有a≥.

所以椭圆的通径为＝＝2a－，这里2c＝|F1F2|＝＝，

所以由函数的单调性可知，当a＝时，椭圆的通径最小，最小值为11－＝.

答案：

11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．

(1)求双曲线的方程；

(2)求证：·＝0；

(3)求△F1MF2的面积．

解：(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．

所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ.

因为双曲线过点(4，－)，

所以16－10＝λ，即λ＝6.

所以双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明：设＝(－2－3，－m)，

＝(2－3，－m)．

所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，

因为M点在双曲线上，

所以9－m2＝6，即m2－3＝0，

所以·＝0.

(3)因为△F1MF2的底边长F1F2＝4.

由(2)知m＝±.

所以△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝×4×＝6.

12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2x＋y＝0，且焦点到这条渐近线的距离为1.

(1)求此双曲线的方程；

(2)若点M在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．

解：(1)依题意得解得故双曲线的方程为－x2＝1.

(2)证明：因为点M在双曲线上，所以－＝1.所以m2＝，

又双曲线－x2＝1的焦点为F1(0，－)，F2(0，)，

所以·＝·＝2－()2＋m2＝－5＋＝0，

所以MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上．

[梯度拔高练]

1．(2021·黄石模拟)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)

A.　　　　 B.

C.   D.

解析：选A　由题意知a＝，b＝1，c＝，

设F1(－，0)，F2(，0)，

则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．

∵·<0，

∴(－－x0)(－x0)＋y<0，

即x－3＋y<0.

∵点M(x0，y0)在双曲线C上，

∴－y＝1，即x＝2＋2y，

∴2＋2y－3＋y<0，解得－<y0<.

2．已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝(　　)

A．1  B．2

C．4   D．

解析：选A如图，延长F1H交PF2于点Q，

由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，

根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2.

在△F1QF2中，易知OH为中位线，

所以|OH|＝1.故选A.

3．已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，过F2且倾斜角为锐角α的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若＝3，则α的值为(　　)

A．75°  B．30°

C．45°  D．60°

解析：选D　如图，记△AF1F2的内切圆圆心为C，内切圆在边AF1，AF2，F1F2上的切点分别为M，N，E，

易知C，E两点横坐标相等，

|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，

由|AF1|－|AF2|＝2a，即|AM|＋|F1M|－(|AN|＋|F2N|)＝2a，

得|F1M|－|F2N|＝2a，即|F1E|－|F2E|＝2a，

记C点的横坐标为x0，则E(x0,0)，

则x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a.

记△BF1F2的内切圆圆心为D，同理得点D的横坐标也为a，则CD⊥x轴，

由题意知∠DF2O＝，∠CF2O＝90°－，

在△CEF2中，tan∠CF2O＝tan＝，

在△DEF2中，tan∠DF2O＝tan＝，

所以＝＝3，即tan＝，

所以α＝60°，故选D.

4.青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一．如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的最小直径为16 cm，瓶口直径为20 cm，瓶高20 cm，则该双曲线的离心率为________．

解析：以花瓶最细处所在直线为x轴，花瓶的竖直对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意可知a＝8，图中的A点坐标为(10,10)．将a＝8，(10,10)代入双曲线方程，可得b＝，所以＝，所以e＝ ＝.

答案：

5．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2，求k的取值范围．

解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

则a2＝4－1＝3，c2＝4，

再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，

故双曲线C2的方程为－y2＝1.

(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，

得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.

由直线l与双曲线C2交于不同的两点，

得

所以k2＜1且k2≠.                                 ①

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)

＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.

又因为·＞2，

即x1x2＋y1y2＞2，

所以＞2，即＞0，解得＜k2＜3.                    ②

由①②得＜k2＜1，

故k的取值范围为∪.