第八章 第八节第四课时 圆锥曲线与圆、向量的综合课件PPT

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课时跟踪检测（五十八）  圆锥曲线与圆、向量的综合1．(2021·菏泽模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以M(－a，b)，N(a，b)，F2和F1为顶点的梯形的高为，面积为3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B为椭圆C上的任意两点，若直线AB与圆O：x2＋y2＝相切，求△AOB面积的取值范围．解：(1)由题意得b＝，等腰梯形MNF2F1的面积为×＝3，则a＋c＝3.又a2－c2＝3，解得a＝2，c＝1，所以椭圆方程为＋＝1.(2)当圆O的切线AB的斜率存在时，设直线AB：y＝kx＋m，切点为H，连接OH，则OH⊥AB.联立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.又因为直线AB与圆O相切，所以点O到直线AB的距离d＝＝ ＝，得m2＝，|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·＝ ＝ .①当k≠0时，因为16k2＋24＋≥2＋24＝48，当且仅当k＝±时，等号成立，所以|AB|≤ ＝.易知|AB|>，所以<|AB|≤ .②当k＝0时，|AB|＝，由①②可知≤|AB|≤.又d＝，所以S△AOB＝|AB|·d＝|AB|∈.当圆O的切线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，代入椭圆方程，可得|AB|＝，则S△AOB＝××＝.综上可知，△AOB面积的取值范围为.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于P，Q两点；当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时，△F1PQ的周长为4，且l与椭圆C的另一个交点的横坐标为.(1)求椭圆C的方程；(2)点M为△POQ内一点，O为坐标原点，满足＋＋＝0，若点M恰好在圆O：x2＋y2＝上，求实数m的取值范围．解：(1)由题意知4a＝4，∴a＝，直线AF2的方程为y＝(x－c)．设直线AF2与椭圆C的另一个交点为，则解得c＝1或c＝2(舍去)，∴b2＝1.故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∵＋＋＝0，∴点M为△POQ的重心，∴M.∵点M在圆O：x2＋y2＝上，∴(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4.由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，又Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，∴1＋2k2>m2.∴x1＋x2＝－，x1x2＝，∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.∴(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝2＋2＝4，整理得m2＝.又1＋2k2>m2，∴1＋2k2>，解得k≠0，∴m2＝＝1＋＝1＋>1，解得m>1或m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．已知点E在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点F2，与y轴相交于A，B两点，且△ABE是边长为2的正三角形．(1)求椭圆C的方程．(2)已知圆O：x2＋y2＝，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，问：|PM|·|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解：(1)由题意可知EF2⊥x轴，则E，又△ABE是边长为2的正三角形，则解得a2＝9，b2＝6，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x＝ ，由(1)知，M，N，＝，＝，∴·＝0，∴OM⊥ON，此时|PM|·|PN|＝|OP|2＝r2＝.当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y＝kx＋m.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝ ，即5m2＝18(k2＋1)．联立得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－18＝0，得Δ＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝.∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)·＋km·＋m2＝＝＝0，∴OM⊥ON，∴|PM|·|PN|＝|OP|2＝r2＝.综上所述，|PM|·|PN|＝为定值．4．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．解：(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝|x1－x2|＝·＝2(t2＋1)．设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝，d2＝.因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).设M为线段AB的中点，则M.因为⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.所以四边形ADBE的面积为3或4.5．(2021·石家庄模拟)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和圆C2：x2＋y2＝r2(r>0)，F1，F2分别为椭圆C1的左、右焦点，点B(0，)在椭圆C1上，当直线BF1与圆C2相切时，r＝.(1)求椭圆C1的方程； (2)若直线l：y＝kx＋m(k>0，m>0)与x轴交于点Q，且与椭圆C1和圆C2都相切，切点分别为M，N，记△F1F2M和△QF2N的面积分别为S1和S2，求的最小值．解：(1)由题意可知b＝. ①设F1(－c,0)，则由BF1与圆C2相切时，r＝，得＝，即c＝. ②将①②代入a2＝b2＋c2解得a＝2.所以椭圆C1的方程为＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋m代入＋＝1得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由直线l与椭圆C1相切得Δ＝0，即m2＝4k2＋3，且则△F1F2M的面积S1＝|F1F2|·y1＝.由直线l与圆C2相切，设O为坐标原点，连接ON，则ON：y＝－x，与y＝kx＋m联立得直线l：y＝kx＋m(k>0，m>0)与x轴交于点Q，则Q.则△QF2N的面积S2＝|QF2|·y2＝.从而＝＝2k＋≥2当且仅当k＝时等号成立，所以的最小值为2.