2022年高考数学大一轮复习 第十章 第七节第一课时 研透高考命题的“三大题型”课件PPT

课时跟踪检测（六十七）  研透高考命题的“三大题型”

1．(2021·重庆模拟)某组织在某市征集志愿者参加志愿活动，现随机抽出60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意参加志愿活动和不愿意参加志愿活动的男女生比例情况，具体数据如图所示．

(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为愿意参加志愿活动与性别有关.

(2)现用分层抽样的方法从愿意参加志愿活动的市民中选取7名志愿者，再从中抽取2人作为队长，求抽取的2人至少有一名女生的概率．

参考数据及公式：

K2＝(n＝a＋b＋c＋d)．

解：(1)列联表如下：

因为K2＝≈6.59<6.635，

所以没有99%的把握认为愿意参加志愿活动与性别有关．

(2)用分层抽样的方法从愿意参加志愿活动的市民中选取7名志愿者，则女生4人，男生3人，分别编号为{1,2,3,4}，{a，b，c}，从中任取两人的所有基本事件如下：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1，a}，{1，b}，{1，c}，{2,3}，{2,4}，{2，a}，{2，b}，{2，c}，{3,4}，{3，a}，{3，b}，{3，c}，{4，a}，{4，b}，{4，c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，共有21种情况，其中满足两人中至少有一人是女生的基本事件有18个，故抽取的2人至少有一名女生的概率P＝＝.

2．某工厂的一台某型号机器有2种工作状态：正常状态和故障状态．若机器处于故障状态，则停机检修．为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1 000个产品的质量指标值，得出如图1所示频率分布直方图．由统计结果可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为这1 000个产品的质量指标值的平均数，σ2近似为这1 000个产品的质量指标值的方差s2(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)．若产品的质量指标值全部在(μ－3σ，μ＋3σ)之内，就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态．

(1)下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10件测得的质量指标值：

29　45　55　63　67　73　78　87　93　113

请判断该机器是否出现故障．

(2)若机器出现故障，有2种检修方案可供选择：

方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700元；

方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200元．

现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号机器近100单常规检修在第i(i＝1,2，…，7)天检修的单数，得到如图2所示柱状图，将第i天常规检修单数的频率代替概率．已知该机器正常工作一天可收益200元，故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？

附：≈13.71，≈14.42，≈15.10.

解：(1)由图1可估计1 000个产品质量指标值的平均数和方差s2分别为

＝40×0.04＋50×0.08＋60×0.24＋70×0.30＋80×0.20＋90×0.10＋100×0.04＝70，

s2＝(－30)2×0.04＋(－20)2×0.08＋(－10)2×0.24＋02×0.30＋102×0.20＋202×0.10＋302×0.04＝188，

依题意知，μ＝70，σ＝≈13.71，

所以μ－3σ≈28.87，μ＋3σ≈111.13，

所以产品质量指标值允许落在的范围为(28.87,111.13)．

又抽取产品质量指标值出现了113，不在(28.87,111.13)之内，

故可判断该机器处于故障状态．

(2)方案一：若安排加急检修，工厂需要支付检修费和损失收益之和为700＋200＝900元；

方案二：若安排常规检修，工厂需要支付检修费为200元，

设损失收益为X元，则X的可能取值为200,400,600,800,1 000,1 200,1 400，

X的分布列为

E(X)＝200×0.07＋400×0.18＋600×0.25＋800×0.20＋1 000×0.15＋1 200×0.12＋1 400×0.03＝14＋72＋150＋160＋150＋144＋42＝732元，

故需要支付检修费和损失收益之和为200＋732＝932元．

因为900<932，所以若机器出现故障，选择加急检修更为适合．

3．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y(单位：元)与生产该产品的数量x(单位：千件)有关，经统计得到如下数据：

根据以上数据，绘制了如图所示的散点图，观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y＝a＋和指数函数模型y＝cedx分别对两个变量的关系进行拟合，已求得用指数函数模型拟合的回归方程为＝96.54e－0.2x，ln y与x的相关系数r1＝－0.94.

(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程．

(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本．

(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产，即产品全部售出)．根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据(2)的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元？请说明理由．

参考数据：

参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.

相关系数r＝.

解：(1)令u＝，则y＝a＋可转化为y＝a＋bu，

因为＝＝45，

所以＝＝＝＝100，

则＝－＝45－100×0.34＝11，所以＝11＋100u，

所以y关于x的回归方程为＝11＋.

(2)y与的相关系数r2＝＝≈≈0.99，

因为|r1|<|r2|，

所以用反比例函数模型拟合效果更好．

当x＝10时，y＝＋11＝21(元)，

所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元．

(3)①若产品单价为100元，记企业利润为X千元，

订单为9千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为611千元；

订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为690千元，则企业利润X的分布列为

所以E(X)＝611×0.8＋690×0.2＝626.8(千元)．

②若产品单价为90元，记企业利润为Y千元，

订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为590千元；

订单为11千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为659千元，

则企业利润Y的分布列为

所以E(Y)＝590×0.3＋659×0.7＝638.3(千元)．

由于626.8<638.3，故企业要想获得更高利润，产品单价应选择90元．

4．(2020·湖北汉阳一中高三一模)2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0<p<1)，某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为X(0≤X≤a)，假设每位密切接触者不再接触其他患者．

(1)求一天内被感染人数为X的概率P(X)与a，p的关系式和X的数学期望．

(2)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有 a位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的数学期望记为En(n≥2)．

①求数列{En}的通项公式，并证明数列{En}为等比数列；

②若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln(1＋p)－p，当p′取最大值时，计算此时p′所对应的E6′值和此时p对应的E6值，并根据计算结果说明戴口罩的必要性．(取a＝10)结果保留整数，参考数据：ln 5≈1.6, ln 3≈1.1，ln 2≈0.7，≈0.3，≈0.7

解：(1)由题意，被感染人数服从二项分布：X～B(a，p)，

则P(X)＝CpX(1－p)a－X(0≤X≤a)，

X的数学期望E(X)＝ap.

(2)①第n天被感染人数为(1＋ap)n－1，

第n－1天被感染人数为(1＋ap)n－2，

由题目中均值的定义可知，

En＝(1＋ap)n－1－(1＋ap)n－2＝ap(1＋ap)n－2

则＝1＋ap，且E2＝ap.

∴{En}是以ap为首项，1＋ap为公比的等比数列．

②令f(p)＝ln(1＋p)－p，

则f′(p)＝－＝.

∴f(p)在上单调递增，在上单调递减．

f(p)max＝f＝ln－＝ln 3－ln 2－≈1.1－0.7－0.3＝0.1.

当a＝10时，En＝10p(1＋10p)n－2，

则E6′＝10×0.1×(1＋10×0.1)4＝16，

E6＝10×0.5×(1＋10×0.5)4＝6 480.

∵E6>E6′，

∴戴口罩很有必要．