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2021年辽宁省沈阳市中考数学试卷
展开2021年辽宁省沈阳市中考数学试卷
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的,每小题2分,共20分)
1.(2分)9的相反数是( )
A. B.﹣ C.9 D.﹣9
2.(2分)如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
3.(2分)据报道,截至2021年5月24日16时,沈阳市新冠疫苗累计接种3270000次,将数据3270000用科学记数法表示为( )
A.32.7×105 B.0.327×107 C.3.27×105 D.3.27×106
4.(2分)下列计算结果正确的是( )
A.a4•a2=a8 B.6a﹣2a=4a
C.a6÷a2=a3 D.(﹣a2b)2=﹣a4b2
5.(2分)如图,直线a,b被直线c所截,若a∥b,∠1=70°,则∠2的度数是( )
A.70° B.100° C.110° D.120°
6.(2分)信息技术课上,在老师的指导下,小好同学训练打字速度(字/min),数据整理如下:15,17,23,15,17,17,19,21,21,18,对于这组数据,下列说法正确的是( )
A.众数是17 B.众数是15 C.中位数是17 D.中位数是18
7.(2分)如图,△ABC与△A1B1C1位似,位似中心是点O,若OA:OA1=1:2,则△ABC与△A1B1C1的周长比是( )
A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:
8.(2分)一次函数y=﹣3x+1的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.(2分)下列说法正确的是( )
A.任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数一定是奇数
B.“从一副扑克牌中任意抽取一张,抽到大王”是必然事件
C.了解一批冰箱的使用寿命,采用抽样调查的方式
D.若平均数相同的甲、乙两组数据,s甲2=0.3,s乙2=0.02,则甲组数据更稳定
10.(2分)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=2,∠ACB=60°,连接OA,OB,则的长是( )
A. B. C.π D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,合计18分)
11.(3分)分解因式:ax2+2ax+a= .
12.(3分)不等式组的解集是 .
13.(3分)化简:()•(x+4)= .
14.(3分)如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A是反比例函数y=(k≠0)图象上的一点,过点A分别作AM⊥x轴于点M,AN⊥y轴于点N.若四边形AMON的面积为12,则k的值是 .
15.(3分)某超市购进一批单价为8元的生活用品,如果按每件9元出售,那么每天可销售20件.经调查发现,这种生活用品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少4件,那么将销售价定为 元时,才能使每天所获销售利润最大.
16.(3分)如图,△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5.四边形ABEF是正方形,点D是直线BC上一点,且CD=1.P是线段DE上一点,且PD=DE.过点P作直线l与BC平行,分别交AB,AD于点G,H,则GH的长是 .
三、解答题(第17小题6分,第18、19题各8分,共22分)
17.(6分)计算:(π﹣2021)0﹣3tan30°+|1﹣|+()﹣2.
18.(8分)如图,在菱形ABCD中,点M,N分别是边BC,DC上的点,BM=BC,DN=DC.连接AM,AN,延长AN交线段BC延长线于点E.
(1)求证:△ABM≌△ADN;
(2)若AD=4,则ME的长是 .
19.(8分)某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型,泡沫型三种型号(分别用A,B,C依次表示这三种型号).小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液,上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.
(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 .
(2)请你用列表法或画树状图法,求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率.
四、解答题(每小题8分,共16分)
20.(8分)学史明理,学史增信,学史崇德,学史力行,在建党100周年之际,某校对全校学生进行了一次党史知识测试,成绩评定共分为A,B,C,D四个等级,随机抽取了部分学生的成绩进行调查,将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图.
根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)在这次调查中一共抽取了 名学生;
(2)请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图;
(3)扇形统计图中,D等级对应的圆心角度数是 度;
(4)根据抽样调查的结果,请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级.
21.(8分)某校团体操表演队伍有6行8列,后又增加了51人,使得团体操表演队伍增加的行、列数相同,求增加了多少行或多少列?
五、解答题(本题10分)
22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AD与⊙O交于点A,点E是半径OA上一点(点E不与点O,A重合).连接DE交⊙O于点C,连接CA,CB.若CA=CD,∠ABC=∠D.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若AB=13,CA=CD=5,则AD的长是 .
六、解答题(本题10分)
23.(10分)如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,直线y=kx+15(k≠0)经过点C(3,6),与x轴交于点A,与y轴交于点B.线段CD平行于x轴,交直线y=x于点D,连接OC,AD.
(1)填空:k= ,点A的坐标是( , );
(2)求证:四边形OADC是平行四边形;
(3)动点P从点O出发,沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动,直到点D为止;动点Q同时从点D出发,沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动,直到点O为止.设两个点的运动时间均为t秒.
①当t=1时,△CPQ的面积是 .
②当点P,Q运动至四边形CPAQ为矩形时,请直接写出此时t的值.
七、解答题(本题12分)
24.(12分)在△ABC中,AB=AC,△CDE中,CE=CD(CE≥CA),BC=CD,∠D=α,∠ACB+∠ECD=180°,点B,C,E不共线,点P为直线DE上一点,且PB=PD.
(1)如图1,点D在线段BC延长线上,则∠ECD= ,∠ABP= (用含α的代数式表示);
(2)如图2,点A,E在直线BC同侧,求证:BP平分∠ABC;
(3)若∠ABC=60°,BC=+1,将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转,当BP⊥DE时,直线PC交BD于点G,点M是PD中点,请直接写出GM的长.
八、解答题(本题12分)
25.(12分)如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点B坐标是(3,0).抛物线与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线的顶点,连接PC.
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标.
(2)直线BC与抛物线对称轴交于点D,点Q为直线BC上一动点.
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时,求点Q的坐标;
②在①的条件下,当点Q在x轴上方时,过点Q作直线l垂直于AQ,直线y=x﹣交直线l于点F,点G在直线y=x﹣上,且AG=AQ时,请直接写出GF的长.
2021年辽宁省沈阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的,每小题2分,共20分)
1.(2分)9的相反数是( )
A. B.﹣ C.9 D.﹣9
【分析】根据相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案.
【解答】解:9的相反数是﹣9,
故选:D.
【点评】此题主要考查了相反数,解题的关键是掌握相反数的概念.
2.(2分)如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【分析】利用主视图的定义进行判断即可,即从几何体的正面观察得出视图.
【解答】解:从几何体的正面看,底层是四个小正方形,上层的左端是一个小正方形.
故选:B.
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图,正确把握观察的角度是解题的关键.画简单组合体的三视图要循序渐进,通过仔细观察和想象,再画它的三视图.
3.(2分)据报道,截至2021年5月24日16时,沈阳市新冠疫苗累计接种3270000次,将数据3270000用科学记数法表示为( )
A.32.7×105 B.0.327×107 C.3.27×105 D.3.27×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,且n比原来的整数位数少1,据此判断即可.
【解答】解:3270000=3.27×106.
故选:D.
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,确定a与n的值是解题的关键.
4.(2分)下列计算结果正确的是( )
A.a4•a2=a8 B.6a﹣2a=4a
C.a6÷a2=a3 D.(﹣a2b)2=﹣a4b2
【分析】依据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则进行判断即可得出结论.
【解答】解:A.a4•a2=a6,故本选项错误;
B.6a﹣2a=4a,故本选项正确;
C.a6÷a2=a4,故本选项错误;
D.(﹣a2b)2=a4b2,故本选项错误;
故选:B.
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则的运用,关键是掌握合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.
5.(2分)如图,直线a,b被直线c所截,若a∥b,∠1=70°,则∠2的度数是( )
A.70° B.100° C.110° D.120°
【分析】由已知条件a∥b,可得∠1=∠3=70°,由平角的性质可得∠2+∠3=180°代入计算即可得出答案.
【解答】解:如图,
∵a∥b,
∴∠1=∠3=70°,
∵∠2+∠3=180°,
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°.
故选:C.
【点评】本题主要考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键.
6.(2分)信息技术课上,在老师的指导下,小好同学训练打字速度(字/min),数据整理如下:15,17,23,15,17,17,19,21,21,18,对于这组数据,下列说法正确的是( )
A.众数是17 B.众数是15 C.中位数是17 D.中位数是18
【分析】根据中位数、众数的概念求解可得.
【解答】解:以上数据重新排列为:15,15,17,17,17,18,19,21,21,23,
∴众数为17、中位数为=17.5,
故选:A.
【点评】本题考查的是众数和中位数的概念;熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键.
7.(2分)如图,△ABC与△A1B1C1位似,位似中心是点O,若OA:OA1=1:2,则△ABC与△A1B1C1的周长比是( )
A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A1B1C1,AC∥A1C1,进而得出△AOC∽△A1OC1,根据相似三角形的性质解答即可.
【解答】解:∵△ABC与△A1B1C1位似,
∴△ABC∽△A1B1C1,AC∥A1C1,
∴△AOC∽△A1OC1,
∴==,
∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1:2,
故选:A.
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质,掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键.
8.(2分)一次函数y=﹣3x+1的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质,可以判断该函数的图象经过哪几个象限,不经过哪个象限,本题得以解决.
【解答】解:∵一次函数y=﹣3x+1,k=﹣3,b=1,
∴该函数图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,
故选:C.
【点评】本题考查一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质解答.
9.(2分)下列说法正确的是( )
A.任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数一定是奇数
B.“从一副扑克牌中任意抽取一张,抽到大王”是必然事件
C.了解一批冰箱的使用寿命,采用抽样调查的方式
D.若平均数相同的甲、乙两组数据,s甲2=0.3,s乙2=0.02,则甲组数据更稳定
【分析】依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断,即可得出结论.
【解答】解:A.任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数不一定是奇数,故原说法错误,不合题意;
B.“从一副扑克牌中任意抽取一张,抽到大王”是随机事件,故原说法错误,不合题意;
C.了解一批冰箱的使用寿命,适合采用抽样调查的方式,说法正确,符合题意;
D.若平均数相同的甲、乙两组数据,s甲2=0.3,s乙2=0.02,则乙组数据更稳定,故原说法错误,不合题意;
故选:C.
【点评】本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念,方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则各数据与平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.
10.(2分)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=2,∠ACB=60°,连接OA,OB,则的长是( )
A. B. C.π D.
【分析】过点O作OD⊥AB于D,根据垂径定理求出AD,根据圆周角定理求出∠AOB,根据正弦的定义求出OA,根据弧长公式计算,得到答案.
【解答】解:过点O作OD⊥AB于D,
则AD=DB=AB=,
由圆周角定理得:∠AOB=2∠ACB=120°,
∴∠AOD=60°,
∴OA===2,
∴的长==,
故选:D.
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心,掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,合计18分)
11.(3分)分解因式:ax2+2ax+a= a(x+1)2 .
【分析】先提取公因式,再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.
【解答】解:ax2+2ax+a,
=a(x2+2x+1)﹣﹣(提取公因式)
=a(x+1)2.﹣﹣(完全平方公式)
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解,注意要分解彻底.
12.(3分)不等式组的解集是 ≤x<6 .
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
【解答】解:解不等式x﹣5<1,得:x<6,
解不等式3x﹣5≥0,得:x≥,
则不等式组的解集为≤x<6,
故答案为:≤x<6.
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
13.(3分)化简:()•(x+4)= 1 .
【分析】先根据分式的减法法则算减法,再算乘法即可.
【解答】解:()•(x+4)
=•(x+4)
=•(x+4)
=1,
故答案为:1.
【点评】本题考查了分式的混合运算,能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键,注意运算顺序.
14.(3分)如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A是反比例函数y=(k≠0)图象上的一点,过点A分别作AM⊥x轴于点M,AN⊥y轴于点N.若四边形AMON的面积为12,则k的值是 ﹣12 .
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=12,然后根据反比例函数的性质确定k的值.
【解答】解:∵四边形AMON的面积为12,
∴|k|=12,
∵反比例函数图象在二四象限,
∴k<0,
∴k=﹣12,
故答案为:﹣12.
【点评】本题考查了反比例函数函数k的几何意义:在反比例函数y=图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.
15.(3分)某超市购进一批单价为8元的生活用品,如果按每件9元出售,那么每天可销售20件.经调查发现,这种生活用品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少4件,那么将销售价定为 11 元时,才能使每天所获销售利润最大.
【分析】根据题意列出二次函数关系式,根据二次函数的性质即可得到结论.
【解答】解:设销售单价定为x元(x≥9),每天所获利润为y元,
则y=[20﹣4(x﹣9)]•(x﹣8)
=﹣4x2+88x﹣448
=﹣4(x﹣11)2+36,
所以将销售定价定为11元时,才能使每天所获销售利润最大,
故答案为11.
【点评】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的函数关系式,利用二次函数的性质解答.
16.(3分)如图,△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5.四边形ABEF是正方形,点D是直线BC上一点,且CD=1.P是线段DE上一点,且PD=DE.过点P作直线l与BC平行,分别交AB,AD于点G,H,则GH的长是 或 .
【分析】结合勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形,通过证明△GBM∽△BCA,△AGH∽△ABD,然后利用相似三角形的性质求解,注意对于点C的位置要进行分类讨论.
【解答】解:∵△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,
∴AC2+BC2=25,AB2=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,
①当点D位于C点左侧时,如图:
设直线l交BE于点M,
∵l∥BC,
∴,∠MGB=∠ABC,
又∵四边形ABEF是正方形,且PD1=D1E,
∴BE=AB=5,∠EBA=90°,
即,
解得:BM=,
∵∠MGB=∠ABC,∠EBA=∠ACB=90°,
∴△GBM∽△BCA,
∴,
∴,
解得:GB=,
∴AG=AB﹣GB=,
∵l∥BC,
∴△AGH∽△ABD1,
∴,
∵CD1=1,
∴BD1=BC﹣CD1=3,
∴,
解得:GH=;
②当点D位于C点右侧时,如图:
与①同理,此时CD2=BC+CD1=5,
∴,
解得:GH=,
综上,GH的长为或,
故答案为:或.
【点评】本题考查勾股定理逆定理,相似三角形的判定和性质,理解题意,证明出△GBM∽△BCA,特别注意分类思想的运用是解题关键.
三、解答题(第17小题6分,第18、19题各8分,共22分)
17.(6分)计算:(π﹣2021)0﹣3tan30°+|1﹣|+()﹣2.
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值,然后计算乘法,最后从左向右依次计算,求出算式的值是多少即可.
【解答】解:(π﹣2021)0﹣3tan30°+|1﹣|+()﹣2
=1﹣3×+﹣1+4
=1﹣+﹣1+4
=4.
【点评】此题主要考查了实数的运算,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
18.(8分)如图,在菱形ABCD中,点M,N分别是边BC,DC上的点,BM=BC,DN=DC.连接AM,AN,延长AN交线段BC延长线于点E.
(1)求证:△ABM≌△ADN;
(2)若AD=4,则ME的长是 .
【分析】(1)根据菱形的性质可得AB=AD=BC=CD,∠B=∠D,根据BM=BC,DN=DC,可得BM=DN,利用SAS即可证明;
(2)根据菱形的性质可证明△AND∽△ENC,根据相似的性质可求得CE的长度,进而可求ME.
【解答】解:(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠D,
∵BM=BC,DN=DC,
∴BM=DN,
在△ABM和△ADN中,
,
∴△ABM≌△ADN(SAS),
(2)∵四边形ABCD为菱形,
∴AD∥CE,
∴∠DAN=∠CEN,
∵∠AND=∠CNE,
∴△AND∽△ENC,
∴=,
∵DN=DC,
∴==,
∴=,
∴CE=,
∵BM=BC,
∴MC=BC=1,
∴ME=MC+CE=,
故答案为:.
【点评】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定,相似三角形的判定和性质,通过菱形的性质得到△AND∽△ENC是关键.
19.(8分)某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型,泡沫型三种型号(分别用A,B,C依次表示这三种型号).小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液,上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.
(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 .
(2)请你用列表法或画树状图法,求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率.
【分析】(1)直接根据概率公式求解即可;
(2)列表得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解即可.
【解答】解:(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是,
故答案为:;
(2)列表如下:
A
B
C
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
由表可知,共有9种等可能结果,其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果,
所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为=.
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
四、解答题(每小题8分,共16分)
20.(8分)学史明理,学史增信,学史崇德,学史力行,在建党100周年之际,某校对全校学生进行了一次党史知识测试,成绩评定共分为A,B,C,D四个等级,随机抽取了部分学生的成绩进行调查,将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图.
根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)在这次调查中一共抽取了 80 名学生;
(2)请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图;
(3)扇形统计图中,D等级对应的圆心角度数是 36 度;
(4)根据抽样调查的结果,请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级.
【分析】(1)根据A等级的人数以及所占的百分比即可求出本次调查中共抽取的学生数;
(2)根据(1)中的结果和扇形统计图中的数据,可以计算出B等级的人数,然后即可将条形统计图补充完整;
(3)根据D等级的人数以及抽取的学生数计算出D等级所对应的扇形圆心角的度数;
(4)求出C等级所占整体的百分比即可求出相应的人数.
【解答】解:(1)32÷40%=80(名),
故答案为:80;
(2)B等级的学生为:80×20%=16(名),
补全条形图如下,
(3)D等级所对应的扇形圆心角的度数为:360°×=36°;
(4)2000×=600(名),
答:估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为C等级.
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图,理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键.
21.(8分)某校团体操表演队伍有6行8列,后又增加了51人,使得团体操表演队伍增加的行、列数相同,求增加了多少行或多少列?
【分析】设增加了x行,则增加的列数为x,用增加后的总人数﹣原队伍的总人数=51列出方程求解即可.
【解答】解:设增加了x行,则增加的列数为x,
根据题意,得:(6+x)(8+x)﹣6×8=51,
整理,得:x2+14x﹣51=0,
解得x1=3,x2=﹣17(舍),
答:增加了3行3列.
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用,解题的关键是理解题意,找到题目蕴含的相等关系.
五、解答题(本题10分)
22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AD与⊙O交于点A,点E是半径OA上一点(点E不与点O,A重合).连接DE交⊙O于点C,连接CA,CB.若CA=CD,∠ABC=∠D.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若AB=13,CA=CD=5,则AD的长是 .
【分析】(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°,在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得∠CAD+∠BAC=90°,进而得出结论;
(2)根据等腰三角形的判定可得CE=CA=CD=5,再根据勾股定理和相似三角形求出答案即可.
【解答】解:(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°.
又∵CA=CD,
∴∠D=∠CAD,
又∵∠ABC=∠D,
∴∠CAD+∠BAC=90°,
即OA⊥AD,
∴AD是⊙O的切线;
(2)由(1)可得∠ABC+∠BAC=90°=∠D+∠DEA,
∵∠ABC=∠D,
∴∠BAC=∠DEA,
∴CE=CA=CD=5,
∴DE=10,
在Rt△ABC中,由勾股定理得,
BC===12,
∵∠ACB=∠DAE=90°,∠ABC=∠D,
∴△ABC∽△EDA,
∴=,
即=,
解得,AD=.
【点评】本题考查切线的判定,圆周角定理以及相似三角形,掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解决问题的前提.
六、解答题(本题10分)
23.(10分)如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,直线y=kx+15(k≠0)经过点C(3,6),与x轴交于点A,与y轴交于点B.线段CD平行于x轴,交直线y=x于点D,连接OC,AD.
(1)填空:k= ﹣3 ,点A的坐标是( 5 , 0 );
(2)求证:四边形OADC是平行四边形;
(3)动点P从点O出发,沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动,直到点D为止;动点Q同时从点D出发,沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动,直到点O为止.设两个点的运动时间均为t秒.
①当t=1时,△CPQ的面积是 12 .
②当点P,Q运动至四边形CPAQ为矩形时,请直接写出此时t的值.
【分析】(1)代入C点坐标即可得出k值确定直线的解析式,进而求出A点坐标即可;
(2)求出AD点坐标,根据CD=OA,CD∥OA,即可证四边形OADC是平行四边形;
(3)①作CH⊥OD于H,设出H点的坐标,根据勾股定理计算出CH的长度,根据运动时间求出PQ的长度即可确定△CPQ的面积;
②根据对角线相等确定PQ的长度,再根据P、Q的位置分情况计算出t值即可.
【解答】解:(1)∵直线y=kx+15(k≠0)经过点C(3,6),
∴3k+15=6,
解得k=﹣3,
即直线的解析式为y=﹣3x+15,
当y=0时,x=5,
∴A(5.0),
故答案为:﹣3,5,0;
(2)∵线段CD平行于x轴,
∴D点的纵坐标与C点一样,
又∵D点在直线y=x上,
当y=6时,x=8,
即D(8,6),
∴CD=8﹣3=5,
∵OA=5,
∴OA=CD,
又∵OA∥CD,
∴四边形OADC是平行四边形;
(3)①作CH⊥OD于H,
∵H点在直线y=x上,
∴设H点的坐标为(m,m),
∴CH2=(m﹣3)2+(m﹣6)2,DH2=(m﹣8)2+(m﹣6)2,
由勾股定理,得CH2+DH2=CD2,
即(m﹣3)2+(m﹣6)2+(m﹣8)2+(m﹣6)2=52,
整理得m=或8(舍去),
∴CH=3,
∵OD==10,
∴当t=1时,PQ=OD﹣t﹣t=10﹣1﹣1=8,
∴S△CPQ=PQ•CH=×8×3=12,
故答案为:12;
②∵OD=10,
当0≤t≤5时,PQ=10﹣2t,
当5≤t≤10时,PQ=2t﹣10,
当点P,Q运动至四边形CPAQ为矩形时,PQ=AC,
∵AC==2,
当0≤t≤5时,10﹣2t=2,
解得t=5﹣,
当5≤t≤10时,2t﹣10=2,
解得t=5+,
综上,当点P,Q运动至四边形CPAQ为矩形时t的值为5﹣或5+.
【点评】本题主要考查一次函数的性质,熟练掌握待定系数法求解析式,平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键.
七、解答题(本题12分)
24.(12分)在△ABC中,AB=AC,△CDE中,CE=CD(CE≥CA),BC=CD,∠D=α,∠ACB+∠ECD=180°,点B,C,E不共线,点P为直线DE上一点,且PB=PD.
(1)如图1,点D在线段BC延长线上,则∠ECD= 180°﹣2α ,∠ABP= α (用含α的代数式表示);
(2)如图2,点A,E在直线BC同侧,求证:BP平分∠ABC;
(3)若∠ABC=60°,BC=+1,将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转,当BP⊥DE时,直线PC交BD于点G,点M是PD中点,请直接写出GM的长.
【分析】(1)利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可.
(2)如图2中,连接BD.证明∠PBC=∠CDE=α,可得结论.
(3)分两种情形:如图3﹣1中,设BP交AC于J.图3﹣2中,设PC交BC于K,当BP⊥PC时,利用三角形的中位线定理,可得GM=PB,求出PB,可得结论.
【解答】(1)解:如图1中,
∵CE=CD,
∴∠D=∠E=α,
∴∠ECD=180°﹣2α,
∴∠ECB=∠E+∠D=2α,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=2α,
∵PB=PD,
∴∠PBD=∠D=α,
∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBD=α,
故答案为:180°﹣2α,α.
(2)证明:如图2中,连接BD.
∵CB=CD,PB=PD,
∴∠CBD=∠CDB,∠PBD=∠PDB,
∴∠PBC=∠PDC=α,
∵∠ABC=2α,
∴∠ABP=∠PBC=α,
∴PB平分∠ABC.
(3)解:如图3﹣1中,设BP交AC于J.
∵BP⊥PD,BP=PD,
∴△PBD是等腰直角三角形,
∵CB=CD,PB=PD,
∴PG垂直平分线段BD,
∴BG=DG,
∵PM=MD,
∴GM=PB,
∵∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ECD=180°﹣60°=120°,△ACB是等边三角形,
∵CE=CD,
∴∠CDE=30°,
∴∠PBC=∠PDC=30°,
∴∠BJC=90°,
∴CJ=BC=,BJ=CJ=,
∵∠CPD=∠CPJ=45°,
∴PJ=JC=,
∴PB=BJ+PJ=+2,
∴GM=.
如图3﹣2中,设PC交BC于K,当BP⊥PC时,同法可证GM=PB.
∵∠PBC=30°,∠GPB=∠PBC+∠PCB=45°,
∴∠PCB=∠PCD=15°,
∴∠KCE=120°﹣15°﹣15°=90°,
∵∠E=30°,CE=CB=+1,
∴CK==1+,
∴KB=BC﹣CK=,
∴PB=BK•cos30°=×=1,
∴GM=PB=,
综上所述,GM的长为或.
【点评】本题属于几何变换综合题,考查了等腰三角形的性质,线段的垂直平分线的性质,等腰直角三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,解直角三角形,三角形的中位线定理等知识,解题的关键是利用特殊三角形的性质解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.
八、解答题(本题12分)
25.(12分)如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点B坐标是(3,0).抛物线与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线的顶点,连接PC.
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标.
(2)直线BC与抛物线对称轴交于点D,点Q为直线BC上一动点.
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时,求点Q的坐标;
②在①的条件下,当点Q在x轴上方时,过点Q作直线l垂直于AQ,直线y=x﹣交直线l于点F,点G在直线y=x﹣上,且AG=AQ时,请直接写出GF的长.
【分析】(1)将(0,3)和(3,0)代入y=﹣x2+bx+c可得;
(2)①求出△PCD的面积,设Q(a,3﹣a)利用S△QAB=2S△PCD求得;
②利用AQ=AG列出方程,求出G点的坐标,根据联立直线BC和QF的关系式,求出F的坐标,从而求得GF.
【解答】解(1)由题意得,
,
∴b=2,
∴y=﹣x2+2x+3
=﹣((x﹣1)2+4,
∴P(1,4).
(2)①如图1,
作CE⊥PD于E,
∵C (0,3),B (3,0),
∴直线BC:y=﹣x+3,
∴D(1,2),可设Q(a,3﹣a),
∴CE=PE=DE,
∴△PCD是等腰直角三角形,
∴S△PCD=PD•CE=×2×1=1,
∴AB•|3﹣a|=2,
∴×4•|3﹣a|=2,
∴a=2或a=4.
∴Q(2,1)或(4,﹣1).
②如图2,
设G(m,m﹣),
由AG2=AQ2得,
(m+1)2+=(2+1)2+12,
化简,得
5m2+2m﹣16=0,
∴m1=﹣2,m2=,
∴G1(﹣2,﹣3),G2(,﹣),
作QH⊥AB于H,
∵AQ⊥QF,
∴△AHQ∽△QHM,
∴QH2=AH•HM,
即:12=3•HM,
∴HM=,
∴M(,0),
设直线QM是:y=kx+b,
∴,
∴k=﹣3,b=7,
∴y=﹣3x+7,
由得,
x=,y=﹣
∴F(,﹣)
∴G1F==,
G2F==.
【点评】本题考查了二次函数,一次函数图象和性质及相似三角形等知识,解决问题的关键将点的坐标化成长度,转化成图形的相似等知识.
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