2022高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算学案

这是一份2022高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算学案，共9页。
第1讲　集合的概念与运算最新考纲考向预测1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.命题趋势集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.核心素养 数学抽象、数学运算1．集合与元素(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A．(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R，无理数集可表示为∁RQ.2．集合间的基本关系子集：A中任意一个元素均为B中的元素．符号语言：A⊆B或B⊇A.相等：集合A与集合B中的所有元素都相同．符号语言：A⊆B且B⊆A⇔A＝B.真子集：A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素．符号语言：AB或BA.空集：空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．符号语言：∅⊆A，∅B(B≠∅)．3．集合的基本运算交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记为A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记为A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．补集：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁SA，即∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．常用结论1．并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.2．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.3．补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．常见误区1．忽视集合中元素的互异性致误；2．集合运算中端点取值把握不准致误；3．忘记空集的情况致误．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(　　)(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.(　　)(3)若AB，则A⊆B且A≠B.(　　)(4)N*NZ.(　　)(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×2．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)A．1 B．3C．6 D．9解析：选C.当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．3．(2020·新高考卷Ⅰ改编)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝________，A∩B＝________．解析：A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝{x|1≤x＜4}，A∩B＝{x|2＜x≤3}．答案：{x|1≤x＜4}　{x|2＜x≤3}4．(易错题)已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________．解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以∁UA＝{－1}．答案：{－1}5．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是________．解析：由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.答案：{a|a≥2}　　　　　　集合的含义及表示[题组练透]1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)A．5个　 B．4个C．3个 D．无数个解析：选C.依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)A．1 B．－1C．2 D．－2解析：选C.因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.3．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为(　　)A．0 B．C．1 D．2解析：选BD.因为集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，所以或解得或所以m＋n＝或m＋n＝2.故选BD.4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－.当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.答案：－与集合中元素有关问题的求解策略　 　　　　　　集合间的基本关系 (1)(2021·新高考八省联考模考)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝(　　)A．∅　　　 B．MC．N D．R(2)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，－3]∪[2，＋∞)  B．[－1，2]C．[－2，1]  D．[2，＋∞)【解析】　(1)因为∁RM⊆N，所以M⊇∁RN，据此可得M∪(∁RN)＝M.　故选B.(2)集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因为B⊆A，所以有所以－2≤a≤1.【答案】　(1)B　(2)C[提醒]　题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．　 1．(多选)已知集合M＝{x|x<2}，N＝{x|x2－x<0}，则下列正确的是(　　)A．M∪N＝R B．N⊆MC．N∪∁RM＝R D．M∩N＝N解析：选BD.因为N＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，则N⊆M，故BD正确．2．已知集合A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　)A．7 B．8C．15 D．16解析：选A.方法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．方法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．3．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．解析：由题易得M＝{a}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1.答案：0或1或－1　　　　　　集合的基本运算角度一　集合的运算 (1)(多选)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则(　　)A．M∪N＝{x|－3≤x<4}B．M∩N＝{x|－2≤x<4}C．(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D．M∩(∁UN)＝(－3，－2)(2)(2020·高考江苏卷)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，则A∩B＝__________．【解析】　(1)由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，所以N＝{x|－2≤x≤4}，则M∪N＝{x|－3≤x≤4}，A错误；M∩N＝{x|－2≤x<4}，B正确；由于∁UM＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C正确；由于∁UN＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M∩(∁UN)＝[－3，－2)，D错误．故选BC.(2)由交集的定义可得A∩B＝{0，2}．【答案】　(1)BC　(2){0，2}集合基本运算的求解策略　 角度二　利用集合的运算求参数 (1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　)A．－4 B．－2C．2 D．4(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为(　　)A．0 B．1C．2 D．4【解析】　(1)方法一：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B.方法二：由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意．故选B.(2)根据集合并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.【答案】　(1)B　(2)D利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒]　在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)A．2　　 B．3C．4 D．6解析：选C.由题意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.2．(2021·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(七))若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所示的集合为(　　)A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}解析：选D.∁UA＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，记所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．3．(2021·武昌区高三调研)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|a－2<x<a}，若A∩B＝{x|－1<x<0}，则A∪B＝(　　)A．(－1，2) B．(0，2)C．(－2，1) D．(－2，2)解析：选D.由x2－x－2<0得－1<x<2，即A＝{x|－1<x<2}．因为B＝{x|a－2<x<a}，A∩B＝{x|－1<x<0}，所以a＝0，所以B＝{x|－2<x<0}，所以A∪B＝(－2，2)，故选D.核心素养系列1　数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象． (1)定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　)A．6 B．7C．8 D．9(2)(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是(　　)A．数域必含有0，1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D．数域必为无限集【解析】　(1)由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，}，则∪B＝{0，，，，1，，2}，共有7个元素，故选B.(2)当a＝b时，a－b＝0，＝1∈P，故可知A正确；当a＝1，b＝2时，∉Z不满足条件，故可知B不正确；当M比Q多一个元素i时，则会出现1＋i∉M，所以它也不是一个数域，故可知C不正确；根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D正确．【答案】　(1)B　(2)AD解决集合的新定义问题的两个关键点(1)准确转化，即解决新定义问题时，首先要读懂题意，对题目进行恰当的转化，切忌与已有概念混淆；(2)方法选取，即对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法等方法，并结合集合的相关性质求解．1．若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)A．1 B．3C．7 D．31解析：选B.因为x∈A，且∈A，所以－1∈A，2∈A且∈A，所以集合M的非空子集中具有伙伴关系的集合有{－1}，，，共3个．故选B.2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)