2022高考数学一轮复习第二章不等式第1讲相等关系与不等关系学案

第1讲　相等关系与不等关系

1．实数大小与运算性质之间的关系

a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．

2．等式的性质

(1)对称性：若a＝b，则b＝a．

(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c．

(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c．

(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd．

3．不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a.

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a>c.

(3)可加性：a＞b⇔a＋c>b＋c；

a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d.

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；

a>b，c<0⇒ac<bc；

a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.

(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．

(6)可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．

常用结论

1．倒数性质

(1)a>b，ab>0⇒<；

(2)a<0<b⇒<；

(3)a>b>0，d>c>0⇒>.

2．有关分数的性质

若a>b>0，m>0，则

(1)<；>(b－m>0)；

(2)>；<(b－m>0)．

常见误区

1．在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变；

2．求范围乱用不等式的加法原理致错．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　)

(2)若>1，则a>b.(　　)

(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)

(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)

(5)a>b>0，c>d>0⇒>.(　　)

(6)若ab>0，则a>b⇔<.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√

2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)

A．A≤B B．A≥B

C．A<B D．A>B

解析：选B.由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.

3．(易错题)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)

A.－>0 B．－<0

C.> D．<

解析：选D.因为c<d<0，所以0<－d<－c，

又0<b<a，

所以－bd<－ac，即bd>ac，

又因为cd>0，所以>，即>.

4．已知1<a<4，2<b<8，则的取值范围为________．

解析：因为1<a<4，2<b<8，

又因为<<，

所以<<＝2，即<<2.

答案：

　　　　　　比较两个数(式)的大小

[题组练透]

1．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)

A．p<q B．p≤q

C．p>q D．p≥q

解析：选B.(作差法)p－q＝＋－a－b

＝＋＝(b2－a2)·

＝＝，

因为a<0，b<0，

所以a＋b<0，ab>0.

若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；

若a≠b，则p－q<0，故p<q.

综上，p≤q.故选B.

2．已知a>b>0，m>0，则(　　)

A.＝

B.>

C.<

D.与的大小关系不确定

解析：选C.－＝＝.

因为a>b>0，m>0.

所以b－a<0，a＋m>0，

所以<0.

即－<0.

所以<.

3．若a＝，b＝，比较a与b的大小．

解：因为a＝＞0，b＝＞0，

所以＝·＝＝＝log89＞1，

所以a＞b.

比较两个数(式)大小的方法

[注意]　(1)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．

(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．

　　　　　　不等式的性质

(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)

A．若＞1，则a＞b

B．若＞，则a＞b

C．若a3＞b3且ab＜0，则＞

D．若a2＞b2且ab＞0，则＜

(2)(多选)下列命题为真命题的是(　　)

A．若a>b>0，则ac2>bc2

B．若a<b<0，则a2>ab>b2

C．若a>b>0且c<0，则>

D．若a>b且>，则ab<0

【解析】　(1)A中，只有b＞0时正确，故A错误；

B中，当c＜0时，a＜b，故B错误；

C中，若a3＞b3，ab＜0，则a＞0＞b，所以＞，故C正确；

D中，当a＜0，b＜0时，＜不成立，故D错误．

综上所述，故选C.

(2)当c＝0时，不等式不成立，所以A命题是假命题；⇒a2>ab，⇒ab>b2，所以a2>ab>b2，所以B命题是真命题；a>b>0⇒a2>b2>0⇒0<<，因为c<0，所以>，所以C命题是真命题；>⇒－>0⇒>0，因为a>b，所以b－a<0，ab<0，所以D命题是真命题，故选BCD.

【答案】　(1)C　(2)BCD

不等式性质应用问题的常见类型及解题策略

(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．

(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．

1．(2020·无锡市高三上学期期末考试)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．a2<－ab　　 B．|a|<|b|

C.> D．>

解析：选C.通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，所以A，B，D不一定成立，因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一定成立，故选C.

优解：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立．故选C.

2．已知a<b<c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)

A．a2<b2<c2 B．a|b|<c|b|

C．ba<ca D．ca<cb

解析：选D.因为a<b<c且a＋b＋c＝0，所以a<0，c>0，b的符号不确定，对于b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变．

　　　　　　不等式性质的应用

已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．

【解析】　因为－1<x<4，2<y<3，

所以－3<－y<－2，

所以－4<x－y<2.

由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，

4<2y<6，

所以1<3x＋2y<18.

【答案】　(－4，2)　(1，18)

【引申探究】

1．(变条件)若将本例条件改为“－1<x<y<3”，求x－y的取值范围．

解：因为－1<x<3，－1<y<3，

所以－3<－y<1，所以－4<x－y<4.

又因为x＜y，所以x－y<0，

所以－4<x－y<0，

故x－y的取值范围为(－4，0)．

2．(变问法)若本例的条件不变，求2x－3y的取值范围．

解：因为－1<x<4，2<y<3.

所以－2<2x<8，－9<－3y<－6.

即－11<2x－3y<2.

故2x－3y的取值范围为(－11，2)

利用待定系数法求代数式的取值范围

已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范围．

(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；

(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；

(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．

1．若6<a<10，≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是(　　)

A．[9，18] B．(15，30)

C．[9，30] D．(9，30)

解析：选D.因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，因为6<a<10，所以9<c<30.故选D.

2．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．

解析：由－<α<，－<－β<，α<β，

得－π<α－β<0.

答案：(－π，0)

高考新声音系列1　高考中的开放性试题

(2020·高考北京卷)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．

【解析】　易知当y＝sin(x＋φ)，y＝cos x同时取得最大值1时，函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x取得最大值2，故sin(x＋φ)＝cos x，则φ＝＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为.

【答案】　(答案不惟一)

此类题目在近两年北京卷试题中都有出现，条件开放，有助于学生多角度思维发挥，提升学生的逻辑思维能力．

1．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题”的一组有序数对(a，b)为________．

解析：由a－b＝ab，得－＝1，

又a，b为正数，

所以有序数对可以为，，，等都符合题意．

答案：(答案不惟一)

2．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a＋b>c”说法不正确的一组整数a，b，c的值依次为________．

解析：因为a>b>c，所以a>c，b>c，则a＋b>2c.2c与c的大小关系不确定，当c＝0时，2c＝c；当c>0时，2c>c；当c<0时，2c<c.不妨令a＝－1，b＝－2，c＝－3，则a＋b＝c.所以a＋b>c不一定正确．

答案：－1，－2，－3(答案不惟一)