2022高考数学一轮复习第二章不等式第3讲基本不等式学案

这是一份2022高考数学一轮复习第二章不等式第3讲基本不等式学案，共10页。学案主要包含了引申探究等内容，欢迎下载使用。
第3讲　基本不等式最新考纲考向预测1.探索并了解基本不等式的证明过程.命题趋势本讲是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，难度中等.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.核心素养数学运算、逻辑推理1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．常见误区1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错；2．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　)(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．(易错题)若x<0，则x＋(　　)A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2解析：选D.因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝　(　　)A．1＋ B．1＋C．3 D．4解析：选C.当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.4．设0<x<1，则函数y＝2x(1－x)的最大值为________．解析：y＝2x(1－x)≤2＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．答案：5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，由题知0<x<10，则面积S＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立．故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.答案：25　　　　　　利用基本不等式求最值技法一　配凑法求最值 (1)(2021·宿州模拟)已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则2a＋3b＝(　　)A．9　　 B．7C．5 D．3(2)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．　【解析】　(1)因为x>－1，所以x＋1>0，所以y＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时取等号，所以y取得最小值b＝1，此时x＝a＝2，所以2a＋3b＝7.(2)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．【答案】　(1)B　(2)通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　 技法二　常数代换法求最值 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．【解析】　＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．【答案】　9【引申探究】1．(变问法)若本例中的条件不变，则＋的最小值为________．　解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．答案：42．(变条件)若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为________．解析：由4a＋b＝4得a＋＝1，＝＝＝＋＋＋≥＋2＝＋.当且仅当4a＝b时取等号．答案：＋常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．　 技法三　消元法求最值 (2020·高考江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是__________．【解析】　方法一：由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是.方法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤＝(x2＋y2)2，则x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2 ＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是，【答案】　消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．　 1．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为(　　)A．－9 B．9C．10 D．0解析：选B.＝5＋＋x2y2≥5＋2＝9，　当且仅当xy＝±时，上式取得等号，可得最小值为9.2．(2021·湖北八校第一次联考)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为(　　)A．12 B．16C．20 D．24解析：选B.由题意知x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋9≥1＋2＋9＝16，当且仅当，即时取等号，故选B.3．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　)A．0 B．C．2 D．解析：选C.z＝x2＋4y2－3xy≥2(x·2y)－3xy＝xy，当且仅当x＝2y时等号成立，此时取得最小值，于是x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝2y(2－y)≤2·＝2，当且仅当y＝1时等号成立，综上可得，当x＝2，y＝1，z＝2时，x＋2y－z取得最大值2.　　　　　　利用基本不等式解决实际问题 经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝当该型号汽车的速度为________km/h时，每小时耗油量最少，最少为每小时________L.【解析】　当x∈[50，80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.当x∈[80，120]时，函数y＝12－单调递减，故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.因为9<10，所以当x＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少，最少为每小时9 L.【答案】　65　9应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；(3)还原为实际问题，写出答案．　 某人准备在一块占地面积为1 800 m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，其中a∶b＝1∶2，则S的最大值为________．解析：由题意可得xy＝1 800，b＝2a，x>3，y>3，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)＝1 808－3x－y＝1 808－3x－×＝1 808－≤1 808－2＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最大值，所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1 568.答案：1 568思想方法系列2　应用基本不等式的常见技巧基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：技巧一　加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f(x)＝＋x(x<3)的最大值是(　　)A．－4 B．1C．5 D．－1[思路点拨]　由于已知条件x＜3，x－3＜0，先将f(x)转化为f(x)＝－＋3，再用基本不等式求最值．【解析】　因为x<3，所以3－x>0，所以f(x)＝－＋3≤－2＋3＝－1.当且仅当＝3－x，即x＝1时等号成立，所以f(x)的最大值是－1.【答案】　D技巧二　平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值． 若x>0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值．[思路点拨]　由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值．【解】　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·＝3×.当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为.技巧三　展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值． 已知a>0，b>0且a＋b＝2，求的最小值．[思路点拨]　由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值．【解】　由题得＝＋＋＋1＝＋＋1＝＋1，因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以2≥2，所以ab≤1，所以≥1.所以≥4(当且仅当a＝b＝1时取等号)，所以的最小值是4.技巧四　形如型函数变形后使用基本不等式若y＝中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值． 求函数y＝(x≠－1)的值域．[思路点拨]　将(x＋5)(x＋2)用(x＋1)来表示再变形为f(x)＝Ax＋＋C的形式，然后运用基本不等式求解．【解】　因为y＝＝＝＝x＋1＋＋5，当x＋1>0时，即x>－1时，y≥2＋5＝9(当且仅当x＝1时取等号)；当x＋1<0，即x<－1时，y≤5－2＝1(当且仅当x＝－3时取等号)．所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．技巧五　用“1”的代换法求最值 若a，b为常数，且0<x<1，求f(x)＝＋的最小值．[思路点拨]　根据待求式的特征及0<x<1知x>0，1－x>0.又1＝x＋(1－x)，因此可考虑利用“1”的代换法．【解】　因为0<x<1，所以1－x>0.所以＋＝(x＋1－x)＝·[x＋(1－x)]＋·[x＋(1－x)]＝a2＋＋＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.当且仅当＝时，等号成立．所以＋≥(a＋b)2.故函数f(x)的最小值为(a＋b)2.技巧六　代换减元求最值 (2021·天津模拟)已知a>0，b>0，c>0，若点P(a，b) 在直线x＋y＋c＝2上，则＋的最小值为________．[思路点拨]　本题由已知条件求出a，b，c的关系，再利用均值不等式求最值．【解析】　因为P(a，b)在x＋y＋c＝2上，所以a＋b＋c＝2，a＋b＝2－c>0，＋＝＋＝＋－1，设则m＋n＝2，＋＝＋＝×＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，当且仅当m2＝2n2，即c＝2－2时，等号成立，所以＋－1≥3＋2－1＝2＋2，即＋的最小值为2＋2.【答案】　2＋2