2022高考数学一轮复习第三章函数概念与基本初等函数第9讲函数与方程学案

这是一份2022高考数学一轮复习第三章函数概念与基本初等函数第9讲函数与方程学案，共9页。
第9讲　函数与方程最新考纲考向预测结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.命题趋势利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.核心素养直观想象、逻辑推理 1．函数的零点(1)函数零点的定义：一般地，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点x1，x2x1无 常用结论有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．常见误区1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)(2)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．(多选)(易错题)下列说法中正确的是(　　)A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标解析：选BD.根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误．3．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)A．(1，2)　　　　　　　 B．(2，3)C.和(3，4) D．(4，＋∞)解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.4．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有________个．解析：依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．答案：35．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x∈(－1，1)，使得f(x)＝0，则实数a的取值范围是________．解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)　　　　　　函数零点所在区间的判断 (一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)【解析】　方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，函数f(x)＝log3x＋x－2有惟一零点，且零点在区间(1，2)内．方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.【答案】　B 判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象　 1．已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)解析：选B.因为a>1，0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．2．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　)A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：选D.令f(x)＝0得x＝ln x.作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图，显然y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．　　　　　　函数零点个数的判断 (一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　)A．3 B．2C．1 D．0【解析】　方法一(方程法)：由f(x)＝0，得或解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．方法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．【答案】　B 判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．　 1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.2．函数f(x)＝3x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.由题意知f(x)单调递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝3＋1－2＝2>0，即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0，1)内连续不断，所以f(x)在区间(0，1)内有一个零点．3．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为(　　)A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象．如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.故选C.　　　　　　函数零点的应用 (1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C. D.(2)(2020·苏北四市高三质量检测)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．【解析】　(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.【答案】　(1)D　(2)[－1，＋∞) 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．　 1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)A．(1，3)　 　 B．(1，2)  C．(0，3)　 　 D．(0，2)解析：选C.由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以即解得0<a<3，故选C.2．若函数f(x)＝|2x－4|－a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a的取值范围为(　　)A．(0，4) B．(0，＋∞)C．(3，4) D．(3，＋∞)解析：选C.令g(x)＝|2x－4|，其图象如图所示，若f(x)＝|2x－4|－a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a∈(3，4)．思想方法系列6　破解嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．类型一　嵌套函数零点个数的判断 (2021·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝，则函数g(x)＝f2(x)－f(x)的零点个数为(　　)A．4　　　　　　　　　 B．5C．6 D．7【解析】　因为当x∈(0，2]时，f(x)＝(x－1)2，当x>2时，f(x)＝f(x－2)＋1，所以将f(x)在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f(x)在(2，4]上的图象．同理可得到f(x)在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f(x)的图象关于y轴对称得到f(x)在(－∞，0)上的图象，从而得到f(x)在其定义域内的图象，如图所示：令g(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝1，由图可知直线y＝0与y＝1和函数y＝f(x)的图象共有6个交点，所以函数g(x)共有6个零点．故选C.【答案】　C 破解此类问题的主要步骤(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．　 类型二　求嵌套函数零点中的参数 函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．　【解析】　设t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．【答案】　[－1，＋∞) (1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数．(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．　 设定义域为R的函数f(x)＝若b<0，则关于x的方程[f(x)]2＋bf(x)＝0的不同实数根共有(　　)A．4个 B．5个C．7个 D．8个解析：选C.由[f(x)]2＋bf(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝－b.所以方程[f(x)]2＋bf(x)＝0的根的个数即为函数y＝f(x)与函数y＝0，y＝－b(b<0)的图象的交点个数．作出函数f(x)的图象如图所示，结合图象可知，f(x)＝0有3个实数根，f(x)＝－b(b<0)有4个实数根，所以[f(x)]2＋bf(x)＝0共有7个不同的实数根．故选C.