高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习09《导数与函数的单调性、极值、最值》 (教师版)

刷题增分练 9　导数与函数的单调性、极值、最值

刷题增分练⑨                  小题基础练提分快

一、选择题

1．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是(　　)

A．25，－2  B．50,14       C．50，－2  D．50，－14

答案：C

解析：因为f(x)＝2x3＋9x2－2，所以f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[－4，－3)或x∈(0,2]时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈(－3，0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是50，－2.

2．设函数f(x)＝xex＋1，则(　　)

A．x＝1为f(x)的极大值点

B．x＝1为f(x)的极小值点

C．x＝－1为f(x)的极大值点

D．x＝－1为f(x)的极小值点

答案：D

解析：由题意得，f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，所以x＝－1为f(x)的极小值点，故选D.

3．设函数f(x)＝2(x2－x)lnx－x2＋2x，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)

A.       B.      C．(1，＋∞)   D．(0，＋∞)

答案：B

解析：由题意可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(2x－1)lnx＋2(x2－x)·－2x＋2＝(4x－2)·lnx.由f′(x)<0可得(4x－2)lnx<0，

所以或解得<x<1，

故函数f(x)的单调递减区间为，选B.

4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(　　)

答案：D

解析：不存在选项D的图象所对应的函数，因在定义域内，若上面的曲线是y＝f′(x)的图象，则f′(x)≥0，f(x)是增函数，与图象不符；反之若下面的曲线是y＝f′(x)的图象，则f′(x)≤0，f(x)是减函数，也与图象不符，故选D.

5．函数f(x)＝e2x＋2sin－6在[0,2π]上(　　)

A．先减后增  B．单调递减

C．先增后减  D．单调递增

答案：D

解析：因为f(x)＝e2x＋2sin－6，所以f(x)＝e2x＋2cosx－6.所以可得f′(x)＝2e2x－2sinx＝2(e2x－sinx)，又x∈[0,2π]，所以f′(x)＝2(e2x－sinx)≥2(1－sinx)≥0，据此可得，f(x)在[0,2π]上单调递增．故选D.

6．已知函数f(x)的定义域为(x1，x2)，导函数f′(x)在(x1，x2)内的图象如图所示，则函数f(x)在(x1，x2)内极值点的个数为(　　)

A．2  B．3     C．4  D．5

答案：A

解析：由f′(x)的图象可知，其与x轴有4个交点，但是只有2个满足由正变负或由负变正的条件，所以f(x)在(x1，x2)内极值点的个数为2.故选A.

7．函数y＝在[0,2]上的最大值是(　　)

A.         B.            C．0       D.

答案：A

解析：易知y′＝，x∈[0,2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得1<x≤2，所以函数y＝在[0,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y＝在[0,2]上的最大值是y|x＝1＝，故选A.

8．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)

A．－1     B．－2e－3            C．5e－3    D．1

答案：A

解析：f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.

∵x＝－2是f(x)的极值点，∴f′(－2)＝0，

即(4－2a－4＋a－1)·e－3＝0，得a＝－1.

∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1.

由f′(x)>0，得x<－2或x>1；由f′(x)<0，得－2<x<1.

∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)的极小值点为1，

∴f(x)的极小值为f(1)＝－1.

二、非选择题

9．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．

答案：

解析：易知函数f(x)＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝，令f′(x)<0，得0<x<1，令f′(x)>0得x>1，故函数f(x)＝x2－lnx的最小值为f(1)＝.

10．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．

答案：

解析：由题意知，y′＝3x2＋2x＋m.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，则对于方程3x2＋2x＋m＝0，Δ＝4－12m≤0，即m≥，故实数m的取值范围是.

11．已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是________．

答案：和(2，＋∞)

解析：函数求导可得f′(x)＝2x－5＋＝(x>0)，

令f′(x)＝>0，即(2x－1)(x－2)>0，解得x>2或0<x<，

故函数f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)．

12．已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．

答案：－

解析：f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)

＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．

∵ cosx＋1≥0，∴ 当cosx<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当cosx>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴ 当cosx＝，f(x)有最小值．

又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，

∴ 当sinx＝－时，f(x)有最小值，

即f(x)min＝2××＝－.

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一、选择题

1．函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是(　　)

A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间

B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间

C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值

D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值

答案：C

解析：由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，选C.

2．若函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．[0，＋∞)　　 B．(－∞，0]

C．(－∞，0)     D．(0，＋∞)

答案：C

解析：由题意知x>0，f′(x)＝1＋，要使函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则方程1＋＝0在x>0上有解，即x＝－a，所以a<0.故选C.

3．正项等比数列{an}中的a2，a4 034是函数f(x)＝x3－mx2＋x＋1(m<－1)的极值点，则lna2 018的值为(　　)

A．1  B．－1

C．0  D．与m的值有关

答案：C

解析：函数f(x)＝x3－mx2＋x＋1(m<－1)的导数为f′(x)＝x2－2mx＋1(m<－1)，由题意a2，a4 034是函数f(x)的极值点，所以a2·a4 034＝1，则a2 018＝1(负值舍去)，则lna2 018＝0.故选C.

4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)

A．－4  B．－2           C．4    D．2

答案：D

解析：根据导数求解．

由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，

∴ 当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，

∴ f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴ f(x)在x＝2处取得极小值，∴ a＝2.

5．若函数f(x)＝2x2＋lnx－ax在定义域上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)

A．(4，＋∞)  B．[4，＋∞)

C．(－∞，4)  D．(－∞，4]

答案：D

解析：由已知得f′(x)＝4x＋－a(x>0)，因为函数f(x)是定义域上的单调递增函数，所以当x>0时，4x＋－a≥0恒成立．因为当x>0时，函数g(x)＝4x＋≥4，当且仅当x＝时取等号，所以g(x)∈[4，＋∞)，所以a≤4，即实数a的取值范围是(－∞，4]，故选D.

6．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)

A.       B．(0,1)      C．(－∞，0)  D.

答案：A

解析：∵f(x)＝x(lnx－ax)，∴f′(x)＝lnx－2ax＋1，∴f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点．令f′(x)＝0，得2a＝.设g(x)＝，则g′(x)＝，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．

∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，

∴g(x)max＝g(1)＝1，∴0<2a<1，∴0<a<.故选A.

7．若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则f(x)在R上的极小值为(　　)

A．2b－      B.b－      C．0          D．b2－b3

答案：A

解析：由题意得f′(x)＝(x－b)(x－2)．因为f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，所以－3<b<1.由f′(x)>0，解得x>2或x<b；由f′(x)<0，解得b<x<2.所以f(x)的极小值f(2)＝2b－.故选A.

8．若函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内无极值，则正整数a的最小值为(　　)

A．1  B．2           C．3  D．4

答案：B

解析：由题意知，y′＝3x2－2a，因为a>0，令y′＝0，即3x2－2a＝0，

解得x＝±，当x∈∪时，

y′>0，当x∈时，y′<0.所以y＝x3－2ax＋a的单调递增区间为，，单调递减区间为，

当x＝－时原函数取得极大值，当x＝时，原函数取得极小值，要满足原函数在(0,1)内无极值，需满足≥1，解得a≥.所以正整数a的最小值为2，故选B.

二、非选择题

9．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上为单调函数，则k的取值范围是________．

答案：(－∞，0]∪[1，＋∞)

解析：在区间(1，＋∞)上，0<<1，f′(x)＝k－.当函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上为单调增函数时，k≥恒成立，则k≥1；当函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上为单调减函数时，k≤恒成立，则k≤0，所以k≥1或k≤0.

10．已知函数f(x)＝x3＋x2＋(1－a2)x在(0,1)内存在最小值，则a的取值范围为________．

答案：(－2，－1)∪(1,2)

解析：由题知f′(x)＝x2＋2x＋(1－a2)，令f′(x)＝0可得x＝a－1或x＝－a－1.

当a＝0时，f′(x)≥0在R上恒成立，f(x)在R上单调递增，在(0,1)内不存在最小值；

当a>0时，f(x)在(－∞，－a－1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(－a－1，a－1)上单调递减，根据题意此时0<a－1<1，得到1<a<2；

当a<0时，f(x)在(－a－1，＋∞)和(－∞，a－1)上单调递增，在(a－1，－a－1)上单调递减，根据题意此时0<－a－1<1，得到－2<a<－1.

综上，a的取值范围为(－2，－1)∪(1,2)．

11．已知函数f(x)＝aex－ln x－1.

(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.

解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.

由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.

从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.

当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.

所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．

(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1.

设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.

当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0.

所以x＝1是g(x)的最小值点．

故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.

因此，当a≥时，f(x)≥0.