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    难点详解沪科版九年级数学下册第24章圆专题练习试题(含解析)

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    初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试复习练习题

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    这是一份初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试复习练习题,共34页。
    沪科版九年级数学下册第24章圆专题练习
    考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
    考生注意:
    1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
    2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
    3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
    第I卷(选择题 30分)
    一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
    1、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的,这种图形的运动是( )

    A.平移 B.翻折 C.旋转 D.以上三种都不对
    2、如图,PA是的切线,切点为A,PO的延长线交于点B,若,则的度数为( ).

    A.20° B.25° C.30° D.40°
    3、如图,在中,,,,将绕点顺时针旋转得到,当点的对应点恰好落在边上时,的长为( )

    A.3 B.4 C.5 D.6
    4、如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8.把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C',点B'恰好落在AC边上,则CC'=(  )

    A.10 B.2 C.2 D.4
    5、已知⊙O的直径为10cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系是( )
    A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切
    6、如图,四边形内接于,如果它的一个外角,那么的度数为( )

    A. B. C. D.
    7、如图,A,B,C是正方形网格中的三个格点,则是( )

    A.优弧 B.劣弧 C.半圆 D.无法判断
    8、如图,在中,,,若以点为圆心,的长为半径的圆恰好经过的中点,则的长等于( )

    A. B. C. D.
    9、如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠ADC=130°,则∠AOC的度数为( )

    A.25° B.80° C.130° D.100°
    10、下列语句判断正确的是(  )
    A.等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形
    B.等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形
    C.等边三角形是中心对称图形,但不是轴对称图形
    D.等边三角形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形
    第Ⅱ卷(非选择题 70分)
    二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
    1、两直角边分别为6、8,那么的内接圆的半径为____________.
    2、如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径,那么此扇形叫做“完美扇形”.已知某个“完美扇形”的周长等于6,那么这个扇形的面积等于_____.
    3、如图,在Rt△ABC,∠B=90°,AB=BC=1,将△ABC绕着点C逆时针旋转60°,得到△MNC,那么BM=______________.

    4、如图,PA,PB分别切⊙O于点A,B,Q是优弧上一点,若∠P=40°,则∠Q的度数是________.

    5、如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-2x+4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B,将直线AB绕点B顺时针旋转45°,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式为_______.

    三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
    1、在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1.
    对于线段AB,给出如下定义:若线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′,则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”,直线l称为“反射轴”.
    (1)如图,线段CD,EF,GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有    ;
    (2)已知A点坐标为(0,2),B点坐标为(1,1),
    ①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”,求反射轴l与y轴的交点M的坐标.
    ②若将“反射线段”AB沿直线y=x的方向向上平移一段距离S,其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为yM,求S.
    (3)已知点M,N是在以原点为圆心,半径为2的圆上的两个动点,且满足MN=1,若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”,当M点在圆上运动一周时,求反射轴l未经过的区域的面积.
    (4)已知点M,N是在以(2,0)为圆心,半径为的圆上的两个动点,且满足MN,若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”,当M点在圆上运动一周时,请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围.

    2、请阅读下列材料,并完成相应的任务:
    阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一,他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.阿拉伯Al-Binmi (973-1050 年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据Al-Binmi详本出版了俄文版《阿基米德全集》.第一题就是阿基米德折弦定理.阿基米德折弦定理:如图1,和是的两条弦(即折线是圆的一条折弦),, 是的中点,则从向所作垂线的垂足是折弦的中点,即.
    下面是运用“截长法”证明的部分证明过程.
    证明:如图2,在上截取,连接和.
    是的中点,



    任务:
    (1)请按照上面的证明思路,写出该证明部分;
    (2)填空:如图3,已知等边内接于,,为上一点,,于点,则的周长是_________.

    3、在中,,,过点A作BC的垂线AD,垂足为D,E为线段DC上一动点(不与点C重合),连接AE,以点A为中心,将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF,连接BF,与直线AD交于点G.

    (1)如图,当点E在线段CD上时,
    ①依题意补全图形,并直接写出BC与CF的位置关系;
    ②求证:点G为BF的中点.
    (2)直接写出AE,BE,AG之间的数量关系.
    4、如图,AB是的直径,CD是的一条弦,且于点E.

    (1)求证:;
    (2)若,,求的半径.
    5、如图,已知弓形的长,弓高,(,并经过圆心O).

    (1)请利用尺规作图的方法找到圆心O;
    (2)求弓形所在的半径的长.

    -参考答案-
    一、单选题
    1、C
    【详解】
    解:根据图形可知,这种图形的运动是旋转而得到的,
    故选:C.
    【点睛】
    本题考查了图形的旋转,熟记图形的旋转的定义(把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度,叫做图形的旋转)是解题关键.
    2、B
    【分析】
    连接OA,如图,根据切线的性质得∠PAO=90°,再利用互余计算出∠AOP=50°,然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数.
    【详解】
    解:连接OA,如图,

    ∵PA是⊙O的切线,
    ∴OA⊥AP,
    ∴∠PAO=90°,
    ∵∠P=40°,
    ∴∠AOP=50°,
    ∵OA=OB,
    ∴∠B=∠OAB,
    ∵∠AOP=∠B+∠OAB,
    ∴∠B=∠AOP=×50°=25°.
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.
    3、A
    【分析】
    先根据旋转的性质可得,再根据等边三角形的判定与性质可得,然后根据线段的和差即可得.
    【详解】
    由旋转的性质得:,

    是等边三角形,



    故选:A.
    【点睛】
    本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点,熟练掌握旋转的性质是解题关键.
    4、D
    【分析】
    首先运用勾股定理求出AC的长度,然后结合旋转的性质得到AB= AB',BC= B'C',从而求出B'C,即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解.
    【详解】
    解:∵在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,
    ∴,
    由旋转性质可知,AB= AB'=6,BC= B'C'=8,
    ∴B'C=10-6=4,
    在Rt△B'C'C中,,
    故选:D.
    【点睛】
    本题考查勾股定理,以及旋转的性质,掌握旋转变化的基本性质,熟练运用勾股定理求解是解题关键.
    5、B
    【分析】
    圆的半径为 圆心O到直线l的距离为 当时,直线与圆相切,当时,直线与圆相离,当时,直线与圆相交,根据原理直接作答即可.
    【详解】
    解: ⊙O的直径为10cm,圆心O到直线l的距离为5cm,
    ⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离,
    直线l与⊙O的位置关系为相切,
    故选B
    【点睛】
    本题考查的是直线与圆的位置关系的判定,掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.
    6、D
    【分析】
    由平角的性质得出∠BCD=116°,再由内接四边形对角互补得出∠A=64°,再由圆周角定理即可求得∠BOD=2∠A=128°.
    【详解】


    ∵四边形内接于

    又∵
    ∴.
    故选:D.
    【点睛】
    本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理,圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角;在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
    7、B
    【分析】
    根据三点确定一个圆,圆心的确定方法:任意两点中垂线的交点为圆心即可判断.
    【详解】
    解;如图,分别连接AB、AC、BC,取任意两条线段的中垂线相交,交点就是圆心.

    故选:B.
    【点睛】
    本题考查已知圆上三点求圆心,取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键.
    8、D
    【分析】
    连接CD,由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD,然后可得△CDB是等边三角形,则有BD=BC=5cm,进而根据勾股定理可求解.
    【详解】
    解:连接CD,如图所示:

    ∵点D是AB的中点,,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    在Rt△ACB中,由勾股定理可得;
    故选D.
    【点睛】
    本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理,熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键.
    9、D
    【分析】
    根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数,根据圆周角定理计算即可.
    【详解】
    解:∵四边形ABCD内接于⊙O,
    ∴∠B+∠ADC=180°,
    ∵∠ADC=130°,
    ∴∠B=50°,
    由圆周角定理得,∠AOC=2∠B=100°,
    故选:D.
    【点睛】
    本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
    10、A
    【分析】
    根据等边三角形的对称性判断即可.
    【详解】
    ∵等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形,
    ∴B,C,D都不符合题意;
    故选:A.
    【点睛】
    本题考查了等边三角形的对称性,熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键.
    二、填空题
    1、5
    【分析】
    直角三角形外接圆的直径是斜边的长.
    【详解】
    解:由勾股定理得:AB==10,
    ∵∠ACB=90°,
    ∴AB是⊙O的直径,
    ∴这个三角形的外接圆直径是10,
    ∴这个三角形的外接圆半径长为5,

    故答案为:5.
    【点睛】
    本题考查了三角形的外接圆与外心,知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键;外心是三边垂直平分线的交点,外心到三个顶点的距离相等.
    2、2
    【分析】
    根据扇形的面积公式S=,代入计算即可.
    【详解】
    解:∵“完美扇形”的周长等于6,
    ∴半径r为=2,弧长l为2,
    这个扇形的面积为:==2.
    答案为:2.
    【点睛】
    本题考查了扇形的面积公式,扇形面积公式与三角形面积公式十分类似,为了便于记忆,只要把扇形看成一个曲边三角形,把弧长l看成底,R看成底边上的高即可.
    3、
    【分析】
    设BN与AC交于D,过M作MF⊥BA于F,过M作ME⊥BC于E,连接AM,先证明△EMC≌△FMA得ME=MF,从而可得∠CBD=45°,∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°,再在Rt△BCD、Rt△CDM中,分别求出BD和DM,即可得到答案.
    【详解】
    解:设BN与AC交于D,过M作MF⊥BA于F,过M作ME⊥BC于E,连接AM,如图:

    ∵△ABC绕着点C逆时针旋转60°,
    ∴∠ACM=60°,CA=CM,
    ∴△ACM是等边三角形,
    ∴CM=AM①,∠ACM=∠MAC=60°,
    ∵∠B=90°,AB=BC=1,
    ∴∠BCA=∠CAB=45°,AC==CM,
    ∴∠BCM=∠BCA+∠ACM=105°,∠BAM=∠CAB+∠MAC=105°,
    ∴∠ECM=∠MAF=75°②,
    ∵MF⊥BA,ME⊥BC,
    ∴∠E=∠F=90°③,
    由①②③得△EMC≌△FMA,
    ∴ME=MF,
    而MF⊥BA,ME⊥BC,
    ∴BM平分∠EBF,
    ∴∠CBD=45°,
    ∴∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°,
    Rt△BCD中,BD=BC=,
    Rt△CDM中,DM=CM =,
    ∴BM=BD+DM=,
    故答案为:.
    【点睛】
    本题考查等腰三角形性质、等边三角形的性质及判定,解题的关键是证明∠CDB=90°.
    4、70°度
    【分析】
    连接OA、OB,根据切线性质可得∠OAP=∠OBP=90°,再根据四边形的内角和为360°求得∠AOB,然后利用圆周角定理求解即可.
    【详解】
    解:连接OA、OB,
    ∵PA,PB分别切⊙O于点A,B,
    ∴∠OAP=∠OBP=90°,又∠P=40°,
    ∴∠AOB=360°-90°-90°-40°=140°,
    ∴∠Q=∠AOB=70°,
    故答案为:70°.

    【点睛】
    本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理,熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键.
    5、##
    【分析】
    先求出点A、B的坐标,过点A作AF⊥AB,交直线BC于点F,过点F作EF⊥x轴,垂足为E,然后由全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,求出点F的坐标,再利用待定系数法,即可求出答案.
    【详解】
    解:∵一次函数y=-2x+4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B两点,
    ∴令,则;令,则,
    ∴点A为(2,0),点B为(0,4),
    ∴,;
    过点A作AF⊥AB,交直线BC于点F,过点F作EF⊥x轴,垂足为E,如图,

    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴△ABF是等腰直角三角形,
    ∴AF=AB,
    ∴△ABO≌△FAE(AAS),
    ∴AO=FE,BO=AE,
    ∴,,
    ∴,
    ∴点F的坐标为(,);
    设直线BC为,则
    ,解得:,
    ∴直线BC的函数表达式为;
    故答案为:;
    【点睛】
    本题考查了一次函数的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,以及旋转的性质,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确的作出辅助线,从而进行解题.
    三、解答题
    1、(1)EF、CD;(2)①;②;(3);(4)或
    【分析】
    (1)的半径为1,则的最长的弦长为2,根据两点的距离可得,进而即可求得答案;
    (2)①根据定义作出图形,根据轴对称的方法求得对称轴,反射线段经过对应圆心的中点,即可求得的坐标;②由①可得当时,yM,设当取得最大值时,过点作轴,根据题意,分别为沿直线y=x的方向向上平移一段距离S 后的对应点,则,根据余弦求得进而代入数值列出方程,解方程即可求得的最大值,进而求得的范围;
    (3)根据圆的旋转对称性,找到所在的的圆心,如图,以为边在内作等边三角形,连接,取的中点,过作的垂线,则即为反射轴,反射轴l未经过的区域是以为圆心为半径的圆,反射轴l是该圆的切线,求得半径为,根据圆的面积公式进行计算即可;
    (4)根据(2)的方法找到所在的圆心,当M点在圆上运动一周时,如图,取的中点,的中点,即的中点在以为圆心,半径为的圆上运动,进而即可求得反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围
    【详解】
    (1)的半径为1,则的最长的弦长为2
    根据两点的距离可得

    故符合题意的“反射线段”有EF、CD;
    故答案为:EF、CD
    (2)①如图,过点作轴于点,连接

    A点坐标为(0,2),B点坐标为(1,1),
    ,且,
    的半径为1,
    ,且
    线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”,,

    ②由①可得当时,yM

    如图,设当取得最大值时,过点作轴,根据题意,分别为沿直线y=x的方向向上平移一段距离S 后的对应点,则,



    过中点,作直线交轴于点,则即为反射轴

    yM,





    解得(舍)

    (3)

    的半径为1,则是等边三角形,
    根据圆的旋转对称性,找到所在的的圆心,如图,以为边在内作等边三角形,连接,取的中点,过作的垂线,则即为反射轴,
    反射轴l未经过的区域是以为圆心为半径的圆,反射轴l是该圆的切线



    当M点在圆上运动一周时,求反射轴l未经过的区域的面积为.
    (4)如图,根据(2)的方法找到所在的圆心,



    ,是等腰直角三角形
    ,


    当M点在圆上运动一周时,如图,取的中点,的中点,
    是的中位线
    ,
    即的中点在以为圆心,半径为的圆上运动
    若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”,则为的切线
    设与轴交于点


    同理可得

    反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围为或
    【点睛】
    本题考查了中心对称与轴对称,圆的相关知识,切线的性质,三角形中位线定理,余弦的定义,掌握轴对称与中心对称并根据题意作出图形是解题的关键.
    2、
    (1)证明见解析;
    (2).
    【分析】
    (1)首先证明,进而得出,再利用等腰三角形的性质得出,即可得出答案;
    (2)首先证明,进而得出,以及,进而求出的长即可得出答案.
    (1)
    证明:如图2,在上截取,连接,,和.

    是的中点,

    在和中



    又,


    (2)
    解:如图3,截取,连接,,,

    由题意可得:,

    ∴,
    在和中




    ,则,


    ∵,


    故答案为:.
    【点睛】
    此题主要考查了圆与三角形综合,涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质,正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键.
    3、(1)①BC⊥CF;证明见详解;②见详解;(2)2AE2=4AG2+BE2.证明见详解.
    【分析】
    (1)①如图所示,BC⊥CF.根据将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF,得出AE=AF,∠EAF=90°,可证△BAE≌△CAF(SAS),得出∠ABE=∠ACF=45°,可得∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°即可;
    ②根据AD⊥BC,BC⊥CF.可得AD∥CF,可证△BDG∽△BCF,可得,得出即可;
    (2)2AE2=4AG2+BE2,延长BA交CF延长线于H,根据等腰三角形性质可得AD平分∠BAC,可得∠BAD=∠CAD=,可证△BAG∽△BHF,得出HF=2AG,再证△AEC≌△AFH(AAS),得出EC=FH=2AG,利用勾股定理得出,即即可.
    【详解】
    解:(1)①如图所示,BC⊥CF.
    ∵将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF,
    ∴AE=AF,∠EAF=90°,
    ∴∠EAC+∠CAF=90°,
    ∵,,
    ∴∠BAE+∠EAC=90°,∠ABC=∠ACB=45°,
    ∴∠BAE=∠CAF,
    在△BAE和△CAF中,

    ∴△BAE≌△CAF(SAS),
    ∴∠ABE=∠ACF=45°,
    ∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
    ∴BC⊥CF;

    ②∵AD⊥BC,BC⊥CF.
    ∴AD∥CF,
    ∴∠BDG=∠BCF=90°,∠BGD=∠BFC,
    ∴△BDG∽△BCF,
    ∴,
    ∵,AD⊥BC,
    ∴BD=DC=,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴BG=GF;
    (2)2AE2=4AG2+BE2.延长BA交CF延长线于H,
    ∵AD⊥BC,AB=AC,
    ∴AD平分∠BAC,
    ∴∠BAD=∠CAD=,
    ∵BG=GF,AG∥HF,
    ∴∠BAG=∠H=45°,∠AGB=∠HFB,
    ∴△BAG∽△BHF,
    ∴,
    ∴HF=2AG,
    ∵∠ACE=45°,
    ∴∠ACE =∠H,
    ∵∠EAC+∠CAF=90°,∠CAF+∠FAH=90°,
    ∴∠EAC=∠FAH,
    在△AEC和△AFH中,

    ∴△AEC≌△AFH(AAS),
    ∴EC=FH=2AG,
    在Rt△AEF中,根据勾股定理,
    在Rt△ECF中,即.

    【点睛】
    本题考查图形旋转性质,三角形完全判定与性质,等腰直角三角形性质,三角形相似判定与性质,勾股定理,掌握图形旋转性质,三角形完全判定与性质,等腰直角三角形性质,三角形相似判定与性质,勾股定理是解题关键.
    4、(1)见解析;(2)3
    【分析】
    (1)根据∠D=∠B,∠BCO=∠B,代换证明;
    (2)根据垂径定理,得CE=,,利用勾股定理计算即可.
    【详解】
    (1)证明:
    ∵OC=OB,
    ∴∠BCO=∠B;
    ∵,
    ∴∠B=∠D;
    ∴∠BCO=∠D;

    (2)解:∵AB是⊙O的直径,且CD⊥AB于点E,
    ∴CE=CD,
    ∵CD=,
    ∴CE=,
    在Rt△OCE中,,
    ∵OE=1,
    ∴,
    ∴;
    ∴⊙O的半径为3.
    【点睛】
    本题考查了圆周角定理,垂径定理,勾股定理,结合图形,熟练运用三个定理是解题的关键.
    5、
    (1)见解析
    (2)10
    【分析】
    (1)作BC的垂直平分线,与直线CD的交点即为圆心;
    (2)连接OA,根据勾股定理列出方程即可求解.
    (1)
    解:如图所示,点O即是圆心;
    (2)
    解:连接OA,
    ∵,并经过圆心O,,
    ∴,
    ∵,

    解得,,
    答:半径为10.

    【点睛】
    本题考查了垂径定理和确定圆心,解题关键是熟练作图确定圆心,利用垂径定理和勾股定理求半径.

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