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2021-2022学年广东省阳江市江城区九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年广东省阳江市江城区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省阳江市江城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的．
1．（3分）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣5 D．x1＝x2＝25
2．（3分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．90° C．40° D．60°
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣1
C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+1
7．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝3OB，则△ABC与△DEF的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
8．（3分）杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程正确的是（ ）
A．5000（1+x）2＝30000
B．5000（1﹣x）2＝30000
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
9．（3分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（3分）若ab＜0，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）在平面直角坐标系中、点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标为 ．
12．（4分）二次函数y＝x2+1的顶点坐标为 ．
13．（4分）中心角为30°的正多边形边数为 ．
14．（4分）国庆期间，小明从《长津湖》、《我和我的父辈》、《皮皮鲁与鲁西西》三部电影中随机选择一部观看，则选择《长津湖》观看的概率为 ．
15．（4分）如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ．
16．（4分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，若OB＝5，AB＝8，则AC的长为 ．
17．（4分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点B'处，点C的对应点为点C'，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：x2﹣6x﹣16＝0．
19．（6分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m+3＝0总有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若它的一个实数根是2，求m的值．
20．（6分）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点为P（2，m）．
（1）求反比例函数y＝函数表达式；
（2）根据图象，直接写出当﹣4＜x＜﹣1时，反比例函数y＝的y取值范围．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，雅礼集团某校组织全体学生进行了党史知识学习，并举行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，学生的得分为整数，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级（81—90分）为一等奖，C级（71—80分）为二等奖，D级（70分及以下）为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽取的部分学生人数是 人；
（2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 ，并把条形统计图补充完整；
（3）九年级一班有4名获特等奖的学生小明、小亮、小聪、小军，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小军被选中的概率．
22．（8分）钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD＝70°，∠BCD＝45°．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．）
23．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．
（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．
（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在半径为4的⊙O中，E为的中点，OE交BC于F，D为⊙O上一点，DE交AC于G，AD＝AG．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，求ED的长．
25．（10分）综合与探究：
已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是y轴右侧抛物线上一个动点．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）如图1，当点D在第四象限时，求出△BCD面积的最大值，并求出这时点D坐标；
（3）当∠DAB＝∠ABC时，求出点D的坐标．
2021-2022学年广东省阳江市江城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的．
1．（3分）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣5 D．x1＝x2＝25
【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．
【解答】解：x2﹣25＝0，
则x2＝25，
解得：x1＝5，x2＝﹣5．
故选：B．
2．（3分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，底层是一个较大的正方形，上层左边是一个小正方形（左齐）．
故选：A．
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．90° C．40° D．60°
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，即可求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，
故选：A．
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【解答】解：由勾股定理得，
AB＝＝10，
∴cosA＝＝＝，
故选：A．
6．（3分）若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣1
C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+1
【分析】根据向下平移纵坐标减写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（0，1），
∴所得抛物线对应的函数关系式为y＝2x2+1．
故选：D．
7．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝3OB，则△ABC与△DEF的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，得出△OBC∽△OEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
故选：D．
8．（3分）杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程正确的是（ ）
A．5000（1+x）2＝30000
B．5000（1﹣x）2＝30000
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
【分析】直接利用已知分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而得出等式求出答案．
【解答】解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程为：
5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000．
故选：D．
9．（3分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．
【解答】解：∵D是反比例函数y2＝（x＞0）的图象上一点，
∴△AOD的面积为＝1．
∵点B在函数 的图象上，四边形OABC为矩形，
∴矩形ABCO的面积为4．
∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积﹣△AOD的面积＝4﹣1＝3．
故选：B．
10．（3分）若ab＜0，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据ab的符号判定反比例函数图象和一次函数所在的象限．
【解答】解：∵ab＜0，
∴反比例函数y＝的图象在二、四象限，故A、C选项不合题意，
∵ab＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故B选项不合题意，D选项符合题意，
故选：D．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）在平面直角坐标系中、点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标为 （﹣2，4） ．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，4）．
故答案为：（﹣2，4）．
12．（4分）二次函数y＝x2+1的顶点坐标为 （0，1） ．
【分析】利用顶点式即可直接找到顶点坐标．
【解答】解：由顶点式可知 y＝x2+1的顶点为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
13．（4分）中心角为30°的正多边形边数为 12 ．
【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．
【解答】解：因为360°÷30°＝12．
所以这个正多边形的边数为12．
故答案为：12．
14．（4分）国庆期间，小明从《长津湖》、《我和我的父辈》、《皮皮鲁与鲁西西》三部电影中随机选择一部观看，则选择《长津湖》观看的概率为 ．
【分析】根据概率公式求解即可．
【解答】解：小明从《长津湖》、《我和我的父辈》、《皮皮鲁与鲁西西》三部电影中随机选择一部观看，则选择《长津湖》观看的概率为．
15．（4分）如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ．
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝＝，
故答案为：．
16．（4分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，若OB＝5，AB＝8，则AC的长为 4 ．
【分析】根据垂径定理即可求得AE＝BE＝4，然后利用勾股定理即可求得OE的长，可得CE的长，最后根据勾股定理可得出答案．
【解答】解：如图，
∵CD⊥AB，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，
由勾股定理得：AC＝＝＝4．
故答案为：4．
17．（4分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点B'处，点C的对应点为点C'，则阴影部分的面积为 + ．
【分析】连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝2，求出△ABB′是等边三角形，求出∠ABF＝60°，解直角三角形求出BF和AF，再根据阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）求出答案即可．
【解答】解：连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，则∠AFB＝90°，如图，
∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B落在扇形BAC的弧上的点B'处，点C的对应点为点C'，
∴扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝2，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝＝1，由勾股定理得：AF＝＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）
＝﹣（﹣）
＝+，
故答案为：+．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：x2﹣6x﹣16＝0．
【分析】解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因为﹣16＝﹣8×2，﹣6＝﹣8+2，所以x2﹣6x﹣16＝（x﹣8）（x+2），这样即达到了降次的目的．
【解答】解：原方程变形为（x﹣8）（x+2）＝0
x﹣8＝0或x+2＝0
∴x1＝8，x2＝﹣2．
19．（6分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m+3＝0总有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若它的一个实数根是2，求m的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝32﹣4×（﹣m+3）＞0，然后解不等式即可；
（2）将方程的一根2代入方程，计算可求解m值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝32﹣4×（﹣m+3）＝4m﹣3＞0，
解得m＞；
（2）∵方程的一个实数根是2，
∴可把x＝2代入原方程，得22﹣3×2﹣m+3＝0，
解得 m＝1．
所以m的值为1．
20．（6分）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点为P（2，m）．
（1）求反比例函数y＝函数表达式；
（2）根据图象，直接写出当﹣4＜x＜﹣1时，反比例函数y＝的y取值范围．
【分析】（1）将点P（2，m）代入y＝2x，求出P（2，4），将点P代入y＝即可求出反比例函数表达式；
（2）直接根据反比例函数的图象即可得出结论．
【解答】解：（1）将点P（2，m）代入y＝2x，
∴m＝4，
∴点P坐标为（2，4），
将点P（2，4）代入y＝，
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数为y＝；
（2）当﹣4＜x＜﹣1时，反比例函数图象在第三象限，
∵x＝﹣4时，y＝，当x＝﹣1时，y＝＝﹣8，
∴当﹣4＜x＜﹣1时，y的取值范围是﹣8＜y＜﹣2．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，雅礼集团某校组织全体学生进行了党史知识学习，并举行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，学生的得分为整数，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级（81—90分）为一等奖，C级（71—80分）为二等奖，D级（70分及以下）为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽取的部分学生人数是 60 人；
（2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 108° ，并把条形统计图补充完整；
（3）九年级一班有4名获特等奖的学生小明、小亮、小聪、小军，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小军被选中的概率．
【分析】（1）由C级的人数除以所占百分比即可；
（2）由360°乘以B级所占的比例得扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数，再求出D级的人数，条形统计图补充完整即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，小军被选中的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽样测试的人数为：24÷40%＝60（人），
故答案为：60；
（2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是：360°×＝108°，
条形图中，D级的人数为：60﹣3﹣18﹣24＝15（人），
把条形统计图补充完整如图：
故答案为：108°；
（3）把小明、小亮、小伟、小军分别记为A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小军被选中的结果有6种，
则小军被选中的概率为：＝．
22．（8分）钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD＝70°，∠BCD＝45°．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．）
【分析】设CD＝x米，根据正切的定义分别求出AD、BD，再根据AB的长列出方程，解方程可得答案．
【解答】解：设CD＝x米，
Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
∴AD＝2.75x米，
Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝x米，
∴2.75x+x＝3641，
解得x≈971，
答：执法船距离小黄鱼岛D的距离CD约为971米．
23．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．
（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．
（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．
【分析】（1）由旋转得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，可求出∠BCE的度数，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DEC的度数；
（2）证明△DBE≌△DBC，得△DBE和△DBC都是直角三角形，且∠DBE＝∠DBC＝30°，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得CD＝BD，ED＝BD，而F是BD的中点，则CF＝BD，EF＝BD，于是可得CD＝ED＝CF＝EF，所以四边形CDEF是菱形．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
由旋转得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，
∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEC＝∠BCE﹣∠D＝75°﹣60°＝15°．
（2）四边形CDEF是菱形，
理由如下：
如图2，∵△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α得到△DBE，
∴∠CBE＝α＝60°，∠DBE＝∠ABC＝30°，∠DEB＝∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠DBE＝∠DBC，
∵BD＝BD，BE＝BC，
∴△DBE≌△DBC（SAS），
∴∠BED＝∠BCD＝90°，
∴CD＝BD，ED＝BD，
∵F为BD的中点，
∴CF＝BD，EF＝BD，
∴CD＝ED＝CF＝EF，
∴四边形CDEF是菱形．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在半径为4的⊙O中，E为的中点，OE交BC于F，D为⊙O上一点，DE交AC于G，AD＝AG．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，求ED的长．
【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，只要连接OD，再证∠ADO＝90°即可；
（2）作OH⊥ED于H，根据垂径定理得到DE＝2DH，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵E为的中点，
∴OE⊥BC于F，
∴∠AGD+∠ODE＝∠EGF+∠OED＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠AGD＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ODE＝90°．
即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥ED于H，
∴DE＝2DH，
∵∠ADG＝∠AGD，
∴AG＝AD，
∵∠A＝60°，
∴∠ADG＝60°，
∴∠ODE＝30°，
∵OD＝4，
∴DH＝OD＝2，
∴DE＝2DH＝4．
25．（10分）综合与探究：
已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是y轴右侧抛物线上一个动点．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）如图1，当点D在第四象限时，求出△BCD面积的最大值，并求出这时点D坐标；
（3）当∠DAB＝∠ABC时，求出点D的坐标．
【分析】（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，解方程求出x的值，即可求出A、B、C三点的坐标；
（2）作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，先求出直线BC的解析式，设D（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则E（x，x﹣3），用含x的代数式表示DE的长及△BCD的面积，再根据二次函数的性质求出△BCD面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）分两种情况讨论，一是点D在x轴的下方，二是点D在x轴的上方，分别求出直线AD的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出点D的坐标即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3；
当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（2）如图1，作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设D（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则E（x，x﹣3），
则DE＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵S△BCD＝DE•OF+DE•BF＝DE•OB＝DE，
∴S△BCD＝（﹣x2+3x）＝（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△BCD最大＝，
此时，D（，），
∴△BCD面积的最大值是，这时点D的坐标为（，）．
（3）∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°，
如图2，点D在x轴的下方，且∠DAB＝∠ABC＝45°，
设AD交y轴于点G，
∵∠AOG＝90°，
∴∠OGA＝∠OAG＝45°，
∴OG＝OA＝1，
∴G（0，﹣1），
设直线AD的解析式为y＝mx﹣1，则﹣m﹣1＝0，
解得m＝﹣1，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，
由得，，
∴D（2，﹣3）；
如图3，点D在x轴的上方，且∠DAB＝∠ABC＝45°，
设AD交y轴于点H，
∵∠AOH＝90°，
∴∠OAH＝∠OHA＝45°，
∴OH＝OA＝1，
∴H（0，1），
∵AD∥BC，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
由得，，
∴D（4，5），
综上所述，点D的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．
2021-2022学年广东省阳江市江城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的．
1．（3分）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣5 D．x1＝x2＝25
2．（3分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．90° C．40° D．60°
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣1
C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+1
7．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝3OB，则△ABC与△DEF的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
8．（3分）杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程正确的是（ ）
A．5000（1+x）2＝30000
B．5000（1﹣x）2＝30000
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
9．（3分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（3分）若ab＜0，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）在平面直角坐标系中、点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标为 ．
12．（4分）二次函数y＝x2+1的顶点坐标为 ．
13．（4分）中心角为30°的正多边形边数为 ．
14．（4分）国庆期间，小明从《长津湖》、《我和我的父辈》、《皮皮鲁与鲁西西》三部电影中随机选择一部观看，则选择《长津湖》观看的概率为 ．
15．（4分）如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ．
16．（4分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，若OB＝5，AB＝8，则AC的长为 ．
17．（4分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点B'处，点C的对应点为点C'，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：x2﹣6x﹣16＝0．
19．（6分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m+3＝0总有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若它的一个实数根是2，求m的值．
20．（6分）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点为P（2，m）．
（1）求反比例函数y＝函数表达式；
（2）根据图象，直接写出当﹣4＜x＜﹣1时，反比例函数y＝的y取值范围．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，雅礼集团某校组织全体学生进行了党史知识学习，并举行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，学生的得分为整数，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级（81—90分）为一等奖，C级（71—80分）为二等奖，D级（70分及以下）为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽取的部分学生人数是 人；
（2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 ，并把条形统计图补充完整；
（3）九年级一班有4名获特等奖的学生小明、小亮、小聪、小军，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小军被选中的概率．
22．（8分）钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD＝70°，∠BCD＝45°．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．）
23．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．
（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．
（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在半径为4的⊙O中，E为的中点，OE交BC于F，D为⊙O上一点，DE交AC于G，AD＝AG．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，求ED的长．
25．（10分）综合与探究：
已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是y轴右侧抛物线上一个动点．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）如图1，当点D在第四象限时，求出△BCD面积的最大值，并求出这时点D坐标；
（3）当∠DAB＝∠ABC时，求出点D的坐标．
2021-2022学年广东省阳江市江城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的．
1．（3分）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣5 D．x1＝x2＝25
【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．
【解答】解：x2﹣25＝0，
则x2＝25，
解得：x1＝5，x2＝﹣5．
故选：B．
2．（3分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，底层是一个较大的正方形，上层左边是一个小正方形（左齐）．
故选：A．
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．90° C．40° D．60°
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，即可求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，
故选：A．
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【解答】解：由勾股定理得，
AB＝＝10，
∴cosA＝＝＝，
故选：A．
6．（3分）若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣1
C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+1
【分析】根据向下平移纵坐标减写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（0，1），
∴所得抛物线对应的函数关系式为y＝2x2+1．
故选：D．
7．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝3OB，则△ABC与△DEF的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，得出△OBC∽△OEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
故选：D．
8．（3分）杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程正确的是（ ）
A．5000（1+x）2＝30000
B．5000（1﹣x）2＝30000
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
【分析】直接利用已知分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而得出等式求出答案．
【解答】解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程为：
5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000．
故选：D．
9．（3分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．
【解答】解：∵D是反比例函数y2＝（x＞0）的图象上一点，
∴△AOD的面积为＝1．
∵点B在函数 的图象上，四边形OABC为矩形，
∴矩形ABCO的面积为4．
∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积﹣△AOD的面积＝4﹣1＝3．
故选：B．
10．（3分）若ab＜0，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据ab的符号判定反比例函数图象和一次函数所在的象限．
【解答】解：∵ab＜0，
∴反比例函数y＝的图象在二、四象限，故A、C选项不合题意，
∵ab＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故B选项不合题意，D选项符合题意，
故选：D．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）在平面直角坐标系中、点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标为 （﹣2，4） ．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，4）．
故答案为：（﹣2，4）．
12．（4分）二次函数y＝x2+1的顶点坐标为 （0，1） ．
【分析】利用顶点式即可直接找到顶点坐标．
【解答】解：由顶点式可知 y＝x2+1的顶点为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
13．（4分）中心角为30°的正多边形边数为 12 ．
【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．
【解答】解：因为360°÷30°＝12．
所以这个正多边形的边数为12．
故答案为：12．
14．（4分）国庆期间，小明从《长津湖》、《我和我的父辈》、《皮皮鲁与鲁西西》三部电影中随机选择一部观看，则选择《长津湖》观看的概率为 ．
【分析】根据概率公式求解即可．
【解答】解：小明从《长津湖》、《我和我的父辈》、《皮皮鲁与鲁西西》三部电影中随机选择一部观看，则选择《长津湖》观看的概率为．
15．（4分）如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ．
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝＝，
故答案为：．
16．（4分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，若OB＝5，AB＝8，则AC的长为 4 ．
【分析】根据垂径定理即可求得AE＝BE＝4，然后利用勾股定理即可求得OE的长，可得CE的长，最后根据勾股定理可得出答案．
【解答】解：如图，
∵CD⊥AB，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，
由勾股定理得：AC＝＝＝4．
故答案为：4．
17．（4分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点B'处，点C的对应点为点C'，则阴影部分的面积为 + ．
【分析】连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝2，求出△ABB′是等边三角形，求出∠ABF＝60°，解直角三角形求出BF和AF，再根据阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）求出答案即可．
【解答】解：连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，则∠AFB＝90°，如图，
∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B落在扇形BAC的弧上的点B'处，点C的对应点为点C'，
∴扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝2，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝＝1，由勾股定理得：AF＝＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）
＝﹣（﹣）
＝+，
故答案为：+．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：x2﹣6x﹣16＝0．
【分析】解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因为﹣16＝﹣8×2，﹣6＝﹣8+2，所以x2﹣6x﹣16＝（x﹣8）（x+2），这样即达到了降次的目的．
【解答】解：原方程变形为（x﹣8）（x+2）＝0
x﹣8＝0或x+2＝0
∴x1＝8，x2＝﹣2．
19．（6分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m+3＝0总有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若它的一个实数根是2，求m的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝32﹣4×（﹣m+3）＞0，然后解不等式即可；
（2）将方程的一根2代入方程，计算可求解m值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝32﹣4×（﹣m+3）＝4m﹣3＞0，
解得m＞；
（2）∵方程的一个实数根是2，
∴可把x＝2代入原方程，得22﹣3×2﹣m+3＝0，
解得 m＝1．
所以m的值为1．
20．（6分）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点为P（2，m）．
（1）求反比例函数y＝函数表达式；
（2）根据图象，直接写出当﹣4＜x＜﹣1时，反比例函数y＝的y取值范围．
【分析】（1）将点P（2，m）代入y＝2x，求出P（2，4），将点P代入y＝即可求出反比例函数表达式；
（2）直接根据反比例函数的图象即可得出结论．
【解答】解：（1）将点P（2，m）代入y＝2x，
∴m＝4，
∴点P坐标为（2，4），
将点P（2，4）代入y＝，
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数为y＝；
（2）当﹣4＜x＜﹣1时，反比例函数图象在第三象限，
∵x＝﹣4时，y＝，当x＝﹣1时，y＝＝﹣8，
∴当﹣4＜x＜﹣1时，y的取值范围是﹣8＜y＜﹣2．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，雅礼集团某校组织全体学生进行了党史知识学习，并举行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，学生的得分为整数，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级（81—90分）为一等奖，C级（71—80分）为二等奖，D级（70分及以下）为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽取的部分学生人数是 60 人；
（2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 108° ，并把条形统计图补充完整；
（3）九年级一班有4名获特等奖的学生小明、小亮、小聪、小军，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小军被选中的概率．
【分析】（1）由C级的人数除以所占百分比即可；
（2）由360°乘以B级所占的比例得扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数，再求出D级的人数，条形统计图补充完整即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，小军被选中的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽样测试的人数为：24÷40%＝60（人），
故答案为：60；
（2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是：360°×＝108°，
条形图中，D级的人数为：60﹣3﹣18﹣24＝15（人），
把条形统计图补充完整如图：
故答案为：108°；
（3）把小明、小亮、小伟、小军分别记为A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小军被选中的结果有6种，
则小军被选中的概率为：＝．
22．（8分）钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD＝70°，∠BCD＝45°．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．）
【分析】设CD＝x米，根据正切的定义分别求出AD、BD，再根据AB的长列出方程，解方程可得答案．
【解答】解：设CD＝x米，
Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
∴AD＝2.75x米，
Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝x米，
∴2.75x+x＝3641，
解得x≈971，
答：执法船距离小黄鱼岛D的距离CD约为971米．
23．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．
（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．
（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．
【分析】（1）由旋转得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，可求出∠BCE的度数，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DEC的度数；
（2）证明△DBE≌△DBC，得△DBE和△DBC都是直角三角形，且∠DBE＝∠DBC＝30°，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得CD＝BD，ED＝BD，而F是BD的中点，则CF＝BD，EF＝BD，于是可得CD＝ED＝CF＝EF，所以四边形CDEF是菱形．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
由旋转得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，
∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEC＝∠BCE﹣∠D＝75°﹣60°＝15°．
（2）四边形CDEF是菱形，
理由如下：
如图2，∵△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α得到△DBE，
∴∠CBE＝α＝60°，∠DBE＝∠ABC＝30°，∠DEB＝∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠DBE＝∠DBC，
∵BD＝BD，BE＝BC，
∴△DBE≌△DBC（SAS），
∴∠BED＝∠BCD＝90°，
∴CD＝BD，ED＝BD，
∵F为BD的中点，
∴CF＝BD，EF＝BD，
∴CD＝ED＝CF＝EF，
∴四边形CDEF是菱形．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在半径为4的⊙O中，E为的中点，OE交BC于F，D为⊙O上一点，DE交AC于G，AD＝AG．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，求ED的长．
【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，只要连接OD，再证∠ADO＝90°即可；
（2）作OH⊥ED于H，根据垂径定理得到DE＝2DH，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵E为的中点，
∴OE⊥BC于F，
∴∠AGD+∠ODE＝∠EGF+∠OED＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠AGD＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ODE＝90°．
即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥ED于H，
∴DE＝2DH，
∵∠ADG＝∠AGD，
∴AG＝AD，
∵∠A＝60°，
∴∠ADG＝60°，
∴∠ODE＝30°，
∵OD＝4，
∴DH＝OD＝2，
∴DE＝2DH＝4．
25．（10分）综合与探究：
已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是y轴右侧抛物线上一个动点．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）如图1，当点D在第四象限时，求出△BCD面积的最大值，并求出这时点D坐标；
（3）当∠DAB＝∠ABC时，求出点D的坐标．
【分析】（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，解方程求出x的值，即可求出A、B、C三点的坐标；
（2）作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，先求出直线BC的解析式，设D（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则E（x，x﹣3），用含x的代数式表示DE的长及△BCD的面积，再根据二次函数的性质求出△BCD面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）分两种情况讨论，一是点D在x轴的下方，二是点D在x轴的上方，分别求出直线AD的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出点D的坐标即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3；
当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（2）如图1，作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设D（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则E（x，x﹣3），
则DE＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵S△BCD＝DE•OF+DE•BF＝DE•OB＝DE，
∴S△BCD＝（﹣x2+3x）＝（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△BCD最大＝，
此时，D（，），
∴△BCD面积的最大值是，这时点D的坐标为（，）．
（3）∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°，
如图2，点D在x轴的下方，且∠DAB＝∠ABC＝45°，
设AD交y轴于点G，
∵∠AOG＝90°，
∴∠OGA＝∠OAG＝45°，
∴OG＝OA＝1，
∴G（0，﹣1），
设直线AD的解析式为y＝mx﹣1，则﹣m﹣1＝0，
解得m＝﹣1，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，
由得，，
∴D（2，﹣3）；
如图3，点D在x轴的上方，且∠DAB＝∠ABC＝45°，
设AD交y轴于点H，
∵∠AOH＝90°，
∴∠OAH＝∠OHA＝45°，
∴OH＝OA＝1，
∴H（0，1），
∵AD∥BC，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
由得，，
∴D（4，5），
综上所述，点D的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．
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