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2021-2022学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共31页。试卷主要包含了选择题下列每小题都给出标号为A，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分：不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.
1．（3分）在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下（ ）
A．不能够确定谁的影子长
B．小刚的影子比小红的影子短
C．小刚跟小红的影子一样长
D．小刚的影子比小红的影子长
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A及边BC＝a，则Rt△ABC的斜边长应为（ ）
A．asinA B． C．acosA D．
3．（3分）已知点（x1、y1）、（x2、y2）都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
4．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（ ）
A．16cm B．8cm C．24cm D．4cm
6．（3分）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△BDE的位似中心是原点O，已知点A（1，0），B（3，0），则点D的坐标是（ ）
A．（6，0） B．（7，0） C．（9，0） D．（10，0）
8．（3分）已知一次函数y＝ax+c与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本题满分18分，共6小题，每小题3分）
9．（3分）计算tan60°+2cos45°的结果为 ．
10．（3分）一个不透明袋子中装有30个小球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后放回搅匀，并重复该过程，获得数据如下：
摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数
72
93
130
334
532
667
摸到白球的频率
0.3600
0.3100
0.3250
0.3340
0.3325
0.3335
该学习小组发现，摸到红球的频率在一个常数附近波动，由此估算出红球个数是 个．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为16，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 ．
12．（3分）在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝ ．
13．（3分）研究发现：近视眼镜的度数y（度）与近视眼焦距x（cm）的关系如表：
焦距x（cm）
…
10
20
25
50
…
度数y（度）
…
1000
500
400
200
…
已知y与x的函数关系是我们学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种，则y与x的函数关系式是 ．
14．（3分）如图，已知正方形ABCD，延长AB至点E使BE＝AB，连接CE、DE，DE与BC交于点N，取CE的中点F，连接BF，AF，AF交BC于点M，交DE于点O，则下列结论：
①DN＝EN；②OA＝OE；③CN：MN：BM＝3：1：2；④tan∠CED＝；⑤S四边形BEFM＝2S△CMF．
其中正确的是 .（只填序号）
三.作图题（本题满分6分）请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（6分）已知：如图，线段a和∠α．求作：矩形ABCD，使AB＝a，∠CAB＝∠α．
四.解答题（本题共8道小题，满分72分）
16．（10分）（1）解方程：2x2﹣4x＝3；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0有两个相等的实数根，求a的值．
17．（6分）小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的均匀的转盘做游戏（甲转盘被平均分成五份，乙转盘被平均分成三份），任意转动两个转盘各一次（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）．
（1）求甲转盘指针指向偶数区域的概率；
（2）若转得的两个数字之和为3、4或5，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法说明理由．
18．（6分）如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是55m2，则道路的宽应设计为多少m？
19．（8分）某数学测量小组准备测量体育场上旗杆AB的高度．如图所示，观礼台斜坡CD的长度为10米，坡角为26.5°，从斜坡的最高点C测得旗杆最高点A的仰角为37°，斜坡底端D与旗杆底端B的距离是9米，求旗杆AB的高度．（结果保留整数）
参考数据：sin26.5°≈，cos26.5°≈，tan26.5°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：△BOE≌△COD；
（2）若BC平分∠DBE，请判断并证明四边形BECD的形状．
21．（10分）为建立防控疫情的绿色长城，需要人人自觉养成“戴口跟、少聚集、勤消毒”的习惯．某品牌酒精消毒液的出厂价经过两次降价，价格由每箱50元降为32元．当出厂价降至每箱32元后，某批发商从该厂家购进一批这种消毒液，试销中发现：当每箱售价为40元时，周销量为600箱，且每箱的售价每涨5元，周销量就减少50箱．
（1）已知出厂价两次降价的百分率相同，直接写出这个百分率为 ；
（2）求出售这种消毒液一周的总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式；
（3）若要使该消毒液一周的销售额不低于24000元，且获利最多，求每箱售价应为多少元．
22．（12分）【基本模型】
条件：如图1，已知∠1为△ABD的外角，点C为BD上一点，AB2＝BC•BD．
结论∠1＝∠2+∠3．
证明：
∵AB2＝BC•BD，
∴．
又∵∠ABD为△ABC与△DBA的公共角，
∴△ABC∽△DBA．
∴∠BAC＝∠3
又∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1＝∠2+∠BAC．
∴∠1＝∠2+∠3．
提炼方法：在图1的几何模型中，只需满足AB2＝BC•BD，则∠1＝∠2+∠3．
【提出问题】
如图2，网格中每个小正方形的边长均为1，连接点A与B1，B2，⋯，记∠AB1O为∠1，∠AB2O为∠2，⋯，以此类推，记∠ABnO为∠n，记∠ABxO为∠x，记∠AByO为∠y．若∠n＝∠x+∠y（n、x、y均为正整数且n＜x＜y），则n、x、y的值满足什么关系？
【探究问题】
为了解决上面的问题，我们不妨从简单而又特殊的情况开始研究，进而实现方法的提炼，归纳与发现．
探究1：n＝1时，
如图2，我们借助“基本模型”中结论的证明过程，不难发现，对∠1、∠x、∠y之间角度关系的研究，可以借助对AB1、B1Bx、B1By之间长度关系的研究．
只需满足，则有∠1＝∠x+∠y．
如图3，由勾股定理得：，
∵AB12＝，
∴B1Bx•B1By＝1×2，
由于线段B1Bx、B1By的长是正整数，且n＜x＜y，
∴B1Bx＝1，B1By＝2，对照图形，容易发现：
∴n＝1时，，∠1＝∠2+∠3，2＝（x﹣1）（y﹣1）
即：当n＝1时，x、y的值满足关系式为2＝（x﹣1）（y﹣1）．
探究2：n＝2时，求x、y的值（需要写出必要的解答过程）
探究3：n＝3时
若∠3＝∠x+∠y，请直接写出x、y的值所有可能的组合： ．
【发现规律】
如图2，网格中每个小正方形的边长均为1，连接点A与B1，B2，⋯，记∠AB1O为∠1，∠AB2O为∠2，⋯，以此类推，记∠ABnO为∠n，记∠ABxO为∠x，记∠AByO为∠y．若∠n＝∠x+∠y（n、x、y均为正整数且n＜x＜y），
请直接写出n、x、y满足的关系式： （n、x、y均为正整数且n＜x＜y）．
【应用规律】
如图4，连接AB3，AB5，则tan∠B3AB5＝ ．
23．（12分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝16cm，CD＝8cm，DA＝6cm，动点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，动点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，过点P作PE⊥AC于E，垂足为点E，分别连接PC、CQ、EQ．（0＜t≤6）．
（1）如果以A、E、Q为顶点的三角形与以B、C、Q为顶点的三角形相似，求t的值；
（2）设四边形PCQE的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）设AE＝x，求y与x的函数关系式．
2021-2022学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分：不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.
1．（3分）在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下（ ）
A．不能够确定谁的影子长
B．小刚的影子比小红的影子短
C．小刚跟小红的影子一样长
D．小刚的影子比小红的影子长
【分析】根据太阳光时平行投影，路灯时中心投影，即可得出结论．
【解答】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，
所以无法判断谁的影子长．
故选：A．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A及边BC＝a，则Rt△ABC的斜边长应为（ ）
A．asinA B． C．acosA D．
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A及边BC＝a，
∴AB＝＝，
∴Rt△ABC的斜边长应为：，
故选：B．
3．（3分）已知点（x1、y1）、（x2、y2）都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
【分析】反比例函数的图象位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，又x1＜x2＜0，可得到点（x1，y1）和（x2，y2）在第三象限图象上的两点，可得y2＜y1＜0．
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2＜0，
∴可得y2＜y1＜0，
故选：A．
4．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图的定义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．
【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形是矩形，矩形中间有一条纵向的实线，实线的两侧有两条纵向的虚线．
故选：D．
5．（3分）如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（ ）
A．16cm B．8cm C．24cm D．4cm
【分析】正确理解小孔成像的原理，因为AB∥CD所以△ABO∽△CDO，则有 ＝而AB的值已知，所以可求出CD．
【解答】解：∵AB∥CD
∴△ABO∽△CDO
∴＝
又∵AB＝36
∴CD＝16．
故选：A．
6．（3分）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m
【分析】首先建立平面直角坐标系，可设函数关系式为y＝ax2．根据AB＝1.6，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2），利用待定系数法即可求解析式，再把y＝﹣0.5代入进而得出答案．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，
设函数关系式为y＝ax2，
A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2），
那么﹣2＝0.8×0.8×a，
即a＝﹣，
故y＝﹣x2；
当y＝﹣0.5时，﹣0.5＝﹣x2，
解得x＝±0.4，
∴水面的宽度为0.8m．
故选：C．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△BDE的位似中心是原点O，已知点A（1，0），B（3，0），则点D的坐标是（ ）
A．（6，0） B．（7，0） C．（9，0） D．（10，0）
【分析】连接OE，根据位似中心的概念得到点C在OE上，根据位似图形的概念得到AC∥BE，BC∥DE，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：连接OE，
∵△ABC与△BDE的位似中心是原点O，
∴点C在OE上，
∵点A（1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∵△ABC与△BDE是位似图形，
∴AC∥BE，BC∥DE，
∴＝＝，＝，
∴＝，
解得：OD＝9，
∴点D的坐标是（9，0），
故选：C．
8．（3分）已知一次函数y＝ax+c与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由一次函数y＝ax+c与反比例函数y＝的图象确定a、b的符号，然后根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：B．
二、填空题：（本题满分18分，共6小题，每小题3分）
9．（3分）计算tan60°+2cos45°的结果为 + ．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：tan60°+2cos45°
＝+2×
＝，
故答案为：+．
10．（3分）一个不透明袋子中装有30个小球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后放回搅匀，并重复该过程，获得数据如下：
摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数
72
93
130
334
532
667
摸到白球的频率
0.3600
0.3100
0.3250
0.3340
0.3325
0.3335
该学习小组发现，摸到红球的频率在一个常数附近波动，由此估算出红球个数是 10 个．
【分析】通过表格中数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.3335左右，估计得出答案．
【解答】解：由题意摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是0.3335，
由此估出红球有30×0.3335≈10（个）．
故答案为：10．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为16，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 ﹣8 ．
【分析】连接AC，交y轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线垂直且互相平分，得到三角形CDO面积为菱形面积的四分之一，根据菱形面积求出三角形CDO面积，利用反比例函数k的几何意义确定出k的值即可．
【解答】解：连接AC，交y轴于点D，
∵四边形ABCO为菱形，
∴AC⊥OB，且CD＝AD，BD＝OD，
∵菱形OABC的面积为16，
∴△CDO的面积为4，
∴|k|＝8，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴k＜0，则k＝﹣8，
故答案为：﹣8．
12．（3分）在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝ ．
【分析】证明点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，得BC＝AB，则AC＝AB﹣BC＝AB，即可得出答案．
【解答】解：∵点C把线段AB分成两部分，＝，
∴点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC＝AB，
∴AC＝AB﹣BC＝AB，
∴＝，
故答案为：．
13．（3分）研究发现：近视眼镜的度数y（度）与近视眼焦距x（cm）的关系如表：
焦距x（cm）
…
10
20
25
50
…
度数y（度）
…
1000
500
400
200
…
已知y与x的函数关系是我们学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种，则y与x的函数关系式是 y＝ ．
【分析】根据表格中两个变量的对应值，探索两个变量的乘积，进而得出两个变量的函数关系式．
【解答】解：由表格中两个变量的对应值可得，
10×1000＝10000＝20×500＝400×25＝50×200＝10000，
所以y与x成反比例关系，
所以y与x的函数关系式为y＝，
故答案为：y＝．
14．（3分）如图，已知正方形ABCD，延长AB至点E使BE＝AB，连接CE、DE，DE与BC交于点N，取CE的中点F，连接BF，AF，AF交BC于点M，交DE于点O，则下列结论：
①DN＝EN；②OA＝OE；③CN：MN：BM＝3：1：2；④tan∠CED＝；⑤S四边形BEFM＝2S△CMF．
其中正确的是 ①③④⑤ .（只填序号）
【分析】证明△NCD∽△NBE，根据相似三角形的性质列出比例式，得到DN＝EN，故①正确；由直角三角形的性质可得AN＝NE，即可得AO＞OE，故②错误；通过证明△ABF∽△ECD，可得∠CED＝∠FBG，作FG⊥AE于G，根据等腰直角三角形的性质，正切的定义求出tan∠FAG，可求tan∠CED＝，故④正确；根据三角形的面积公式计算，可判断⑤，设BM＝2x，MC＝4x，可求MN＝x，CN＝3x，可得CN：MN：BM＝3：1：2，故③正确；即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝BE，
∴AB＝CD＝BE，AB∥CD，
∴△NCD∽△NBE，
∴＝＝1，
∴CN＝BN，DN＝EN，故①正确；
如图，连接AN，
∵DN＝NE，∠DAE＝90°，
∴AN＝NE，
∵AO＞AN，NE＞OE，
∴AO＞OE，故②错误；
∵∠CBE＝90°，BC＝BE，F是CE的中点，
∴∠BCE＝45°，BF＝CE＝BE，FB＝FE，BF⊥EC，
∴∠BCE＝90°+45°＝135°，∠FBE＝45°，
∴∠ABF＝135°，
∴∠ABF＝∠ECD，
∵，
∴△ABF∽△ECD，
∴∠CED＝∠FBG，
如图，作FG⊥AE于G，则FG＝BG＝GE，
∴，
∴tan∠FAG＝，
∴tan∠CED＝，故④正确；
∵tan∠FAG＝，
∴＝，
∴，
∴S△FBM＝S△FCM，
∵F是CE的中点，
∴S△FBC＝S△FBE，
∴S四边形BEFM＝2S△CMF，故⑤正确；
∵，
∴设BM＝2x，MC＝4x，
∴BC＝6x，
∴CN＝BN＝3x，
∴MN＝x，
∴CN：MN：BM＝3：1：2，故③正确；
故答案为：①③④⑤．
三.作图题（本题满分6分）请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（6分）已知：如图，线段a和∠α．求作：矩形ABCD，使AB＝a，∠CAB＝∠α．
【分析】先作∠MAN＝∠α，再在AM上截取AB＝a，接着过B点作AM的垂线交AN于C，然后分别以A、C为圆心，BC、BA为半径画弧，两弧相交于D，则四边形ABCD满足条件．
【解答】解：如图，矩形ABCD为所作．
四.解答题（本题共8道小题，满分72分）
16．（10分）（1）解方程：2x2﹣4x＝3；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0有两个相等的实数根，求a的值．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝，然后利用直接开平方法解方程；
（2）根据根的判别式的意义得到Δ＝a2﹣4（a﹣1）＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：（1）2x2﹣4x＝3，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）根据题意得Δ＝a2﹣4（a﹣1）＝0，
解得a1＝a2＝2，
即a的值为2．
17．（6分）小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的均匀的转盘做游戏（甲转盘被平均分成五份，乙转盘被平均分成三份），任意转动两个转盘各一次（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）．
（1）求甲转盘指针指向偶数区域的概率；
（2）若转得的两个数字之和为3、4或5，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法说明理由．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到使小明、小亮获胜的结果数，再利用概率公式计算出两人获胜的概率，从而得出答案．
【解答】解：（1）甲转盘指针指向偶数区域的概率为；
（2）此游戏不公平，
理由：列表如下：
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
由表可知，共有15种等可能结果，其中两次数字之和为3，4或5的有8种结果，两次数字之和不是3，4或5的有7种结果，
所以小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
∴此游戏不公平．
18．（6分）如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是55m2，则道路的宽应设计为多少m？
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：设道路的宽应为x米，
由题意得，（13﹣x）（7﹣x）＝55．
解得x＝2或x＝18（舍去）．
答：道路的宽应设计为2m．
19．（8分）某数学测量小组准备测量体育场上旗杆AB的高度．如图所示，观礼台斜坡CD的长度为10米，坡角为26.5°，从斜坡的最高点C测得旗杆最高点A的仰角为37°，斜坡底端D与旗杆底端B的距离是9米，求旗杆AB的高度．（结果保留整数）
参考数据：sin26.5°≈，cos26.5°≈，tan26.5°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥BD延长线于点F，根据锐角三角函数定义出CF，DF，根据正切的定义求出AE，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥BD延长线于点F，
在Rt△CDF中，∠CDF＝26.5°，CD＝10米，
∴CF＝CD×sin26.5°≈10×≈4.5（米），DF＝CD•cos∠CDF＝10×＝9（米），
∴BF＝BD+DF＝9+9＝18（米），
在Rt△ACE中，∵CE＝BF＝18米，
∴AE＝CE•tan37°＝18×＝13.5（米），
∴AB＝AE+BE＝13.5+4.5＝18（米），
答：旗杆AB的高度为18米．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：△BOE≌△COD；
（2）若BC平分∠DBE，请判断并证明四边形BECD的形状．
【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质得到OE＝OD，BO＝CO，推出四边形BECD是平行四边形，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DBC＝∠DCB，求得BD＝DC，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
（2）解：四边形BECD是菱形；
证明：∵△BOE≌△COD，
∴OE＝OD，BO＝CO，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AE∥CD，
∴∠BCD＝∠CBE，
∵BC平分∠DBE，
∴∠DBC＝∠CBE，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝DC，
∴四边形BECD是菱形．
21．（10分）为建立防控疫情的绿色长城，需要人人自觉养成“戴口跟、少聚集、勤消毒”的习惯．某品牌酒精消毒液的出厂价经过两次降价，价格由每箱50元降为32元．当出厂价降至每箱32元后，某批发商从该厂家购进一批这种消毒液，试销中发现：当每箱售价为40元时，周销量为600箱，且每箱的售价每涨5元，周销量就减少50箱．
（1）已知出厂价两次降价的百分率相同，直接写出这个百分率为 20% ；
（2）求出售这种消毒液一周的总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式；
（3）若要使该消毒液一周的销售额不低于24000元，且获利最多，求每箱售价应为多少元．
【分析】（1）设降价的百分率是x，由题意列出方程可得答案；
（2）根据题意可得总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式；
（3）由销售额不低于24000元可得x的取值范围，再根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设降价的百分率是x，
由题意得，50（1﹣x）2＝32，
解得x1＝0.2，x2＝﹣1.8（舍去），
答：降价的百分率是20%，
故答案为：20%；
（2）由题意得，
W＝（x﹣32）[600﹣]
＝（x﹣32）（1000﹣10x）
＝﹣10x2+1320x﹣32000，
答：总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式为W＝﹣10x2+1320x﹣32000；
（3）x（1000﹣10x）≤24000，
解得40≤x≤60，
∵W＝﹣10x2+1320x﹣32000＝﹣10（x﹣66）2+11560，
∴当x＝60时，W最大＝11200（元）；
答：每箱售价应为60元．
22．（12分）【基本模型】
条件：如图1，已知∠1为△ABD的外角，点C为BD上一点，AB2＝BC•BD．
结论∠1＝∠2+∠3．
证明：
∵AB2＝BC•BD，
∴．
又∵∠ABD为△ABC与△DBA的公共角，
∴△ABC∽△DBA．
∴∠BAC＝∠3
又∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1＝∠2+∠BAC．
∴∠1＝∠2+∠3．
提炼方法：在图1的几何模型中，只需满足AB2＝BC•BD，则∠1＝∠2+∠3．
【提出问题】
如图2，网格中每个小正方形的边长均为1，连接点A与B1，B2，⋯，记∠AB1O为∠1，∠AB2O为∠2，⋯，以此类推，记∠ABnO为∠n，记∠ABxO为∠x，记∠AByO为∠y．若∠n＝∠x+∠y（n、x、y均为正整数且n＜x＜y），则n、x、y的值满足什么关系？
【探究问题】
为了解决上面的问题，我们不妨从简单而又特殊的情况开始研究，进而实现方法的提炼，归纳与发现．
探究1：n＝1时，
如图2，我们借助“基本模型”中结论的证明过程，不难发现，对∠1、∠x、∠y之间角度关系的研究，可以借助对AB1、B1Bx、B1By之间长度关系的研究．
只需满足，则有∠1＝∠x+∠y．
如图3，由勾股定理得：，
∵AB12＝，
∴B1Bx•B1By＝1×2，
由于线段B1Bx、B1By的长是正整数，且n＜x＜y，
∴B1Bx＝1，B1By＝2，对照图形，容易发现：
∴n＝1时，，∠1＝∠2+∠3，2＝（x﹣1）（y﹣1）
即：当n＝1时，x、y的值满足关系式为2＝（x﹣1）（y﹣1）．
探究2：n＝2时，求x、y的值（需要写出必要的解答过程）
探究3：n＝3时
若∠3＝∠x+∠y，请直接写出x、y的值所有可能的组合： ， ．
【发现规律】
如图2，网格中每个小正方形的边长均为1，连接点A与B1，B2，⋯，记∠AB1O为∠1，∠AB2O为∠2，⋯，以此类推，记∠ABnO为∠n，记∠ABxO为∠x，记∠AByO为∠y．若∠n＝∠x+∠y（n、x、y均为正整数且n＜x＜y），
请直接写出n、x、y满足的关系式： n＝（x﹣n）•（y﹣n2﹣1） （n、x、y均为正整数且n＜x＜y）．
【应用规律】
如图4，连接AB3，AB5，则tan∠B3AB5＝ ．
【分析】一个数可以写成1乘以这个数．
【解答】解：探究2，∵由勾股定理得：AB22＝12+22＝5，AB22＝B2Bx•B2By，
∴B2Bx＝1，B2By＝5，
∴x＝3，y＝7；
探究3，∵B3Bx•B3By＝12+32＝10，
10＝1×10或10＝2×5，
∴x＝3+1＝4，y＝3＝10＝13，
或x＝3+2＝5，y＝3+5＝8，
故答案是：或；
【发现规律】∵ABn＝12+n2＝1+n2＝1•（n2+1），
∴x＝n+1，y＝n+n2+1，
∴n＝（x﹣1）•（y﹣n2﹣1），
故答案是：n＝（x﹣n）•（y﹣n2﹣1）；
【应用规律】由探究3知：∠AB3B5＝∠AB8O，
∴tan∠AB3B5＝tan∠AB8O＝＝，
故答案是：．
23．（12分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝16cm，CD＝8cm，DA＝6cm，动点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，动点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，过点P作PE⊥AC于E，垂足为点E，分别连接PC、CQ、EQ．（0＜t≤6）．
（1）如果以A、E、Q为顶点的三角形与以B、C、Q为顶点的三角形相似，求t的值；
（2）设四边形PCQE的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）设AE＝x，求y与x的函数关系式．
【分析】（1）作CF⊥AB于点F，则∠AFC＝90°，先证明四边形AFCD是矩形，则AF＝CD＝8，得BF＝8，所以CF垂直平分AB，则CA＝CB，得∠CAB＝∠B，以A、E、Q为顶点的三角形与以B、C、Q为顶点的三角形相似分两种情况，一是△EAQ∽△CBQ，则＝，二是△EAQ∽△QBC时，则＝，分别列方程求出相应的t的值并进行检验，得到符合题意的t的值即可；
（2）作QG⊥AC于点G，则∠AGQ＝∠D＝90°，先证明△QAG∽△ACD，将线段AE、PE、CE、BQ、AQ的长分别用含t的代数式表示，再由S四边形PCQE＝S△PCE+S△QCE＝CE•PE+CE•QG，求出y关于t的函数关系式即可；
（3）在（1）、（2）的基础上，将线段AE、PE、CE、BQ、AQ的长分别用含x的代数式表示，再由S四边形PCQE＝S△PCE+S△QCE＝CE•PE+CE•QG，求出y关于x的函数关系式即可．
【解答】解：（1）如图1，作CF⊥AB于点F，则∠AFC＝90°，
∵AB∥CD，∠D＝90°，
∴∠DAF＝180°﹣∠D＝90°，
∴四边形AFCD是矩形，
∴AF＝CD＝8，
∵AB＝16，
∴BF＝AF＝8，
∴CB＝CA，
∴∠CAB＝∠B，
∵∠D＝90°，DA＝6，CD＝8，
∴CA＝＝＝10，
∴CB＝CA＝10，
∵PE⊥AC于E，
∴∠AEP＝∠D＝90°，
∵∠PAE＝∠CAD，
∴△PAE∽△CAD，
∴＝＝，
∴EA＝•AP＝AP＝AP＝t，PE＝•AP＝AP＝AP＝t，
当△EAQ∽△CBQ时，则＝，
∵BQ＝2t，AQ＝16﹣2t，
∴＝，
整理得3t2+50t﹣400＝0，
解得t1＝，t2＝（不符合题意，舍去）；
当△EAQ∽△QBC时，则＝，
∴＝，
整理得10t＝65，
解得t＝（不符合题意，舍去），
综上所述，t的值为．
（2）如图2，作QG⊥AC于点G，
∵∠AGQ＝∠D＝90°，∠QAG＝∠ACD，
∴△QAG∽△ACD，
∴＝，
∴QG＝•AQ＝AQ＝AQ＝（16﹣2t），
∵S四边形PCQE＝S△PCE+S△QCE＝CE•PE+CE•QG，
∴y＝（10﹣t）×t+（10﹣t）×（16﹣2t），
即y＝，
∴y与t的函数关系式为y＝（0＜t≤6）．
（3）如图2，由（1）得AE＝AP，PE＝AP，
∴AP＝AE＝x，PE＝×x＝x，
∵AP＝t，BQ＝2t，
∴BQ＝2AP＝2×x＝x，AQ＝16﹣x，
由（2）得QG＝AQ，
∴QG＝（16﹣x），
∵S四边形PCQE＝S△PCE+S△QCE＝CE•PE+CE•QG，用CE＝10﹣x，
∴y＝（10﹣x）×x+（10﹣x）×（16﹣x），
即y＝x2﹣x+48，
当点P与点D重合时，则x＝AE＝AP＝×6＝，
∴x的取值范围是0＜x≤，
∴y与x的函数关系式为y＝x2﹣x+48（0＜x≤）．
2021-2022学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分：不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.
1．（3分）在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下（ ）
A．不能够确定谁的影子长
B．小刚的影子比小红的影子短
C．小刚跟小红的影子一样长
D．小刚的影子比小红的影子长
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A及边BC＝a，则Rt△ABC的斜边长应为（ ）
A．asinA B． C．acosA D．
3．（3分）已知点（x1、y1）、（x2、y2）都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
4．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（ ）
A．16cm B．8cm C．24cm D．4cm
6．（3分）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△BDE的位似中心是原点O，已知点A（1，0），B（3，0），则点D的坐标是（ ）
A．（6，0） B．（7，0） C．（9，0） D．（10，0）
8．（3分）已知一次函数y＝ax+c与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本题满分18分，共6小题，每小题3分）
9．（3分）计算tan60°+2cos45°的结果为 ．
10．（3分）一个不透明袋子中装有30个小球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后放回搅匀，并重复该过程，获得数据如下：
摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数
72
93
130
334
532
667
摸到白球的频率
0.3600
0.3100
0.3250
0.3340
0.3325
0.3335
该学习小组发现，摸到红球的频率在一个常数附近波动，由此估算出红球个数是 个．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为16，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 ．
12．（3分）在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝ ．
13．（3分）研究发现：近视眼镜的度数y（度）与近视眼焦距x（cm）的关系如表：
焦距x（cm）
…
10
20
25
50
…
度数y（度）
…
1000
500
400
200
…
已知y与x的函数关系是我们学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种，则y与x的函数关系式是 ．
14．（3分）如图，已知正方形ABCD，延长AB至点E使BE＝AB，连接CE、DE，DE与BC交于点N，取CE的中点F，连接BF，AF，AF交BC于点M，交DE于点O，则下列结论：
①DN＝EN；②OA＝OE；③CN：MN：BM＝3：1：2；④tan∠CED＝；⑤S四边形BEFM＝2S△CMF．
其中正确的是 .（只填序号）
三.作图题（本题满分6分）请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（6分）已知：如图，线段a和∠α．求作：矩形ABCD，使AB＝a，∠CAB＝∠α．
四.解答题（本题共8道小题，满分72分）
16．（10分）（1）解方程：2x2﹣4x＝3；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0有两个相等的实数根，求a的值．
17．（6分）小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的均匀的转盘做游戏（甲转盘被平均分成五份，乙转盘被平均分成三份），任意转动两个转盘各一次（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）．
（1）求甲转盘指针指向偶数区域的概率；
（2）若转得的两个数字之和为3、4或5，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法说明理由．
18．（6分）如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是55m2，则道路的宽应设计为多少m？
19．（8分）某数学测量小组准备测量体育场上旗杆AB的高度．如图所示，观礼台斜坡CD的长度为10米，坡角为26.5°，从斜坡的最高点C测得旗杆最高点A的仰角为37°，斜坡底端D与旗杆底端B的距离是9米，求旗杆AB的高度．（结果保留整数）
参考数据：sin26.5°≈，cos26.5°≈，tan26.5°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：△BOE≌△COD；
（2）若BC平分∠DBE，请判断并证明四边形BECD的形状．
21．（10分）为建立防控疫情的绿色长城，需要人人自觉养成“戴口跟、少聚集、勤消毒”的习惯．某品牌酒精消毒液的出厂价经过两次降价，价格由每箱50元降为32元．当出厂价降至每箱32元后，某批发商从该厂家购进一批这种消毒液，试销中发现：当每箱售价为40元时，周销量为600箱，且每箱的售价每涨5元，周销量就减少50箱．
（1）已知出厂价两次降价的百分率相同，直接写出这个百分率为 ；
（2）求出售这种消毒液一周的总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式；
（3）若要使该消毒液一周的销售额不低于24000元，且获利最多，求每箱售价应为多少元．
22．（12分）【基本模型】
条件：如图1，已知∠1为△ABD的外角，点C为BD上一点，AB2＝BC•BD．
结论∠1＝∠2+∠3．
证明：
∵AB2＝BC•BD，
∴．
又∵∠ABD为△ABC与△DBA的公共角，
∴△ABC∽△DBA．
∴∠BAC＝∠3
又∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1＝∠2+∠BAC．
∴∠1＝∠2+∠3．
提炼方法：在图1的几何模型中，只需满足AB2＝BC•BD，则∠1＝∠2+∠3．
【提出问题】
如图2，网格中每个小正方形的边长均为1，连接点A与B1，B2，⋯，记∠AB1O为∠1，∠AB2O为∠2，⋯，以此类推，记∠ABnO为∠n，记∠ABxO为∠x，记∠AByO为∠y．若∠n＝∠x+∠y（n、x、y均为正整数且n＜x＜y），则n、x、y的值满足什么关系？
【探究问题】
为了解决上面的问题，我们不妨从简单而又特殊的情况开始研究，进而实现方法的提炼，归纳与发现．
探究1：n＝1时，
如图2，我们借助“基本模型”中结论的证明过程，不难发现，对∠1、∠x、∠y之间角度关系的研究，可以借助对AB1、B1Bx、B1By之间长度关系的研究．
只需满足，则有∠1＝∠x+∠y．
如图3，由勾股定理得：，
∵AB12＝，
∴B1Bx•B1By＝1×2，
由于线段B1Bx、B1By的长是正整数，且n＜x＜y，
∴B1Bx＝1，B1By＝2，对照图形，容易发现：
∴n＝1时，，∠1＝∠2+∠3，2＝（x﹣1）（y﹣1）
即：当n＝1时，x、y的值满足关系式为2＝（x﹣1）（y﹣1）．
探究2：n＝2时，求x、y的值（需要写出必要的解答过程）
探究3：n＝3时
若∠3＝∠x+∠y，请直接写出x、y的值所有可能的组合： ．
【发现规律】
如图2，网格中每个小正方形的边长均为1，连接点A与B1，B2，⋯，记∠AB1O为∠1，∠AB2O为∠2，⋯，以此类推，记∠ABnO为∠n，记∠ABxO为∠x，记∠AByO为∠y．若∠n＝∠x+∠y（n、x、y均为正整数且n＜x＜y），
请直接写出n、x、y满足的关系式： （n、x、y均为正整数且n＜x＜y）．
【应用规律】
如图4，连接AB3，AB5，则tan∠B3AB5＝ ．
23．（12分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝16cm，CD＝8cm，DA＝6cm，动点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，动点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，过点P作PE⊥AC于E，垂足为点E，分别连接PC、CQ、EQ．（0＜t≤6）．
（1）如果以A、E、Q为顶点的三角形与以B、C、Q为顶点的三角形相似，求t的值；
（2）设四边形PCQE的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）设AE＝x，求y与x的函数关系式．
2021-2022学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分：不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.
1．（3分）在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下（ ）
A．不能够确定谁的影子长
B．小刚的影子比小红的影子短
C．小刚跟小红的影子一样长
D．小刚的影子比小红的影子长
【分析】根据太阳光时平行投影，路灯时中心投影，即可得出结论．
【解答】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，
所以无法判断谁的影子长．
故选：A．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A及边BC＝a，则Rt△ABC的斜边长应为（ ）
A．asinA B． C．acosA D．
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A及边BC＝a，
∴AB＝＝，
∴Rt△ABC的斜边长应为：，
故选：B．
3．（3分）已知点（x1、y1）、（x2、y2）都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
【分析】反比例函数的图象位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，又x1＜x2＜0，可得到点（x1，y1）和（x2，y2）在第三象限图象上的两点，可得y2＜y1＜0．
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2＜0，
∴可得y2＜y1＜0，
故选：A．
4．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图的定义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．
【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形是矩形，矩形中间有一条纵向的实线，实线的两侧有两条纵向的虚线．
故选：D．
5．（3分）如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（ ）
A．16cm B．8cm C．24cm D．4cm
【分析】正确理解小孔成像的原理，因为AB∥CD所以△ABO∽△CDO，则有 ＝而AB的值已知，所以可求出CD．
【解答】解：∵AB∥CD
∴△ABO∽△CDO
∴＝
又∵AB＝36
∴CD＝16．
故选：A．
6．（3分）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m
【分析】首先建立平面直角坐标系，可设函数关系式为y＝ax2．根据AB＝1.6，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2），利用待定系数法即可求解析式，再把y＝﹣0.5代入进而得出答案．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，
设函数关系式为y＝ax2，
A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2），
那么﹣2＝0.8×0.8×a，
即a＝﹣，
故y＝﹣x2；
当y＝﹣0.5时，﹣0.5＝﹣x2，
解得x＝±0.4，
∴水面的宽度为0.8m．
故选：C．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△BDE的位似中心是原点O，已知点A（1，0），B（3，0），则点D的坐标是（ ）
A．（6，0） B．（7，0） C．（9，0） D．（10，0）
【分析】连接OE，根据位似中心的概念得到点C在OE上，根据位似图形的概念得到AC∥BE，BC∥DE，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：连接OE，
∵△ABC与△BDE的位似中心是原点O，
∴点C在OE上，
∵点A（1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∵△ABC与△BDE是位似图形，
∴AC∥BE，BC∥DE，
∴＝＝，＝，
∴＝，
解得：OD＝9，
∴点D的坐标是（9，0），
故选：C．
8．（3分）已知一次函数y＝ax+c与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由一次函数y＝ax+c与反比例函数y＝的图象确定a、b的符号，然后根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：B．
二、填空题：（本题满分18分，共6小题，每小题3分）
9．（3分）计算tan60°+2cos45°的结果为 + ．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：tan60°+2cos45°
＝+2×
＝，
故答案为：+．
10．（3分）一个不透明袋子中装有30个小球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后放回搅匀，并重复该过程，获得数据如下：
摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数
72
93
130
334
532
667
摸到白球的频率
0.3600
0.3100
0.3250
0.3340
0.3325
0.3335
该学习小组发现，摸到红球的频率在一个常数附近波动，由此估算出红球个数是 10 个．
【分析】通过表格中数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.3335左右，估计得出答案．
【解答】解：由题意摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是0.3335，
由此估出红球有30×0.3335≈10（个）．
故答案为：10．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为16，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 ﹣8 ．
【分析】连接AC，交y轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线垂直且互相平分，得到三角形CDO面积为菱形面积的四分之一，根据菱形面积求出三角形CDO面积，利用反比例函数k的几何意义确定出k的值即可．
【解答】解：连接AC，交y轴于点D，
∵四边形ABCO为菱形，
∴AC⊥OB，且CD＝AD，BD＝OD，
∵菱形OABC的面积为16，
∴△CDO的面积为4，
∴|k|＝8，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴k＜0，则k＝﹣8，
故答案为：﹣8．
12．（3分）在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝ ．
【分析】证明点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，得BC＝AB，则AC＝AB﹣BC＝AB，即可得出答案．
【解答】解：∵点C把线段AB分成两部分，＝，
∴点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC＝AB，
∴AC＝AB﹣BC＝AB，
∴＝，
故答案为：．
13．（3分）研究发现：近视眼镜的度数y（度）与近视眼焦距x（cm）的关系如表：
焦距x（cm）
…
10
20
25
50
…
度数y（度）
…
1000
500
400
200
…
已知y与x的函数关系是我们学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种，则y与x的函数关系式是 y＝ ．
【分析】根据表格中两个变量的对应值，探索两个变量的乘积，进而得出两个变量的函数关系式．
【解答】解：由表格中两个变量的对应值可得，
10×1000＝10000＝20×500＝400×25＝50×200＝10000，
所以y与x成反比例关系，
所以y与x的函数关系式为y＝，
故答案为：y＝．
14．（3分）如图，已知正方形ABCD，延长AB至点E使BE＝AB，连接CE、DE，DE与BC交于点N，取CE的中点F，连接BF，AF，AF交BC于点M，交DE于点O，则下列结论：
①DN＝EN；②OA＝OE；③CN：MN：BM＝3：1：2；④tan∠CED＝；⑤S四边形BEFM＝2S△CMF．
其中正确的是 ①③④⑤ .（只填序号）
【分析】证明△NCD∽△NBE，根据相似三角形的性质列出比例式，得到DN＝EN，故①正确；由直角三角形的性质可得AN＝NE，即可得AO＞OE，故②错误；通过证明△ABF∽△ECD，可得∠CED＝∠FBG，作FG⊥AE于G，根据等腰直角三角形的性质，正切的定义求出tan∠FAG，可求tan∠CED＝，故④正确；根据三角形的面积公式计算，可判断⑤，设BM＝2x，MC＝4x，可求MN＝x，CN＝3x，可得CN：MN：BM＝3：1：2，故③正确；即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝BE，
∴AB＝CD＝BE，AB∥CD，
∴△NCD∽△NBE，
∴＝＝1，
∴CN＝BN，DN＝EN，故①正确；
如图，连接AN，
∵DN＝NE，∠DAE＝90°，
∴AN＝NE，
∵AO＞AN，NE＞OE，
∴AO＞OE，故②错误；
∵∠CBE＝90°，BC＝BE，F是CE的中点，
∴∠BCE＝45°，BF＝CE＝BE，FB＝FE，BF⊥EC，
∴∠BCE＝90°+45°＝135°，∠FBE＝45°，
∴∠ABF＝135°，
∴∠ABF＝∠ECD，
∵，
∴△ABF∽△ECD，
∴∠CED＝∠FBG，
如图，作FG⊥AE于G，则FG＝BG＝GE，
∴，
∴tan∠FAG＝，
∴tan∠CED＝，故④正确；
∵tan∠FAG＝，
∴＝，
∴，
∴S△FBM＝S△FCM，
∵F是CE的中点，
∴S△FBC＝S△FBE，
∴S四边形BEFM＝2S△CMF，故⑤正确；
∵，
∴设BM＝2x，MC＝4x，
∴BC＝6x，
∴CN＝BN＝3x，
∴MN＝x，
∴CN：MN：BM＝3：1：2，故③正确；
故答案为：①③④⑤．
三.作图题（本题满分6分）请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（6分）已知：如图，线段a和∠α．求作：矩形ABCD，使AB＝a，∠CAB＝∠α．
【分析】先作∠MAN＝∠α，再在AM上截取AB＝a，接着过B点作AM的垂线交AN于C，然后分别以A、C为圆心，BC、BA为半径画弧，两弧相交于D，则四边形ABCD满足条件．
【解答】解：如图，矩形ABCD为所作．
四.解答题（本题共8道小题，满分72分）
16．（10分）（1）解方程：2x2﹣4x＝3；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0有两个相等的实数根，求a的值．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝，然后利用直接开平方法解方程；
（2）根据根的判别式的意义得到Δ＝a2﹣4（a﹣1）＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：（1）2x2﹣4x＝3，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）根据题意得Δ＝a2﹣4（a﹣1）＝0，
解得a1＝a2＝2，
即a的值为2．
17．（6分）小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的均匀的转盘做游戏（甲转盘被平均分成五份，乙转盘被平均分成三份），任意转动两个转盘各一次（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）．
（1）求甲转盘指针指向偶数区域的概率；
（2）若转得的两个数字之和为3、4或5，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法说明理由．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到使小明、小亮获胜的结果数，再利用概率公式计算出两人获胜的概率，从而得出答案．
【解答】解：（1）甲转盘指针指向偶数区域的概率为；
（2）此游戏不公平，
理由：列表如下：
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
由表可知，共有15种等可能结果，其中两次数字之和为3，4或5的有8种结果，两次数字之和不是3，4或5的有7种结果，
所以小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
∴此游戏不公平．
18．（6分）如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是55m2，则道路的宽应设计为多少m？
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：设道路的宽应为x米，
由题意得，（13﹣x）（7﹣x）＝55．
解得x＝2或x＝18（舍去）．
答：道路的宽应设计为2m．
19．（8分）某数学测量小组准备测量体育场上旗杆AB的高度．如图所示，观礼台斜坡CD的长度为10米，坡角为26.5°，从斜坡的最高点C测得旗杆最高点A的仰角为37°，斜坡底端D与旗杆底端B的距离是9米，求旗杆AB的高度．（结果保留整数）
参考数据：sin26.5°≈，cos26.5°≈，tan26.5°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥BD延长线于点F，根据锐角三角函数定义出CF，DF，根据正切的定义求出AE，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥BD延长线于点F，
在Rt△CDF中，∠CDF＝26.5°，CD＝10米，
∴CF＝CD×sin26.5°≈10×≈4.5（米），DF＝CD•cos∠CDF＝10×＝9（米），
∴BF＝BD+DF＝9+9＝18（米），
在Rt△ACE中，∵CE＝BF＝18米，
∴AE＝CE•tan37°＝18×＝13.5（米），
∴AB＝AE+BE＝13.5+4.5＝18（米），
答：旗杆AB的高度为18米．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：△BOE≌△COD；
（2）若BC平分∠DBE，请判断并证明四边形BECD的形状．
【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质得到OE＝OD，BO＝CO，推出四边形BECD是平行四边形，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DBC＝∠DCB，求得BD＝DC，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
（2）解：四边形BECD是菱形；
证明：∵△BOE≌△COD，
∴OE＝OD，BO＝CO，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AE∥CD，
∴∠BCD＝∠CBE，
∵BC平分∠DBE，
∴∠DBC＝∠CBE，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝DC，
∴四边形BECD是菱形．
21．（10分）为建立防控疫情的绿色长城，需要人人自觉养成“戴口跟、少聚集、勤消毒”的习惯．某品牌酒精消毒液的出厂价经过两次降价，价格由每箱50元降为32元．当出厂价降至每箱32元后，某批发商从该厂家购进一批这种消毒液，试销中发现：当每箱售价为40元时，周销量为600箱，且每箱的售价每涨5元，周销量就减少50箱．
（1）已知出厂价两次降价的百分率相同，直接写出这个百分率为 20% ；
（2）求出售这种消毒液一周的总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式；
（3）若要使该消毒液一周的销售额不低于24000元，且获利最多，求每箱售价应为多少元．
【分析】（1）设降价的百分率是x，由题意列出方程可得答案；
（2）根据题意可得总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式；
（3）由销售额不低于24000元可得x的取值范围，再根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设降价的百分率是x，
由题意得，50（1﹣x）2＝32，
解得x1＝0.2，x2＝﹣1.8（舍去），
答：降价的百分率是20%，
故答案为：20%；
（2）由题意得，
W＝（x﹣32）[600﹣]
＝（x﹣32）（1000﹣10x）
＝﹣10x2+1320x﹣32000，
答：总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式为W＝﹣10x2+1320x﹣32000；
（3）x（1000﹣10x）≤24000，
解得40≤x≤60，
∵W＝﹣10x2+1320x﹣32000＝﹣10（x﹣66）2+11560，
∴当x＝60时，W最大＝11200（元）；
答：每箱售价应为60元．
22．（12分）【基本模型】
条件：如图1，已知∠1为△ABD的外角，点C为BD上一点，AB2＝BC•BD．
结论∠1＝∠2+∠3．
证明：
∵AB2＝BC•BD，
∴．
又∵∠ABD为△ABC与△DBA的公共角，
∴△ABC∽△DBA．
∴∠BAC＝∠3
又∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1＝∠2+∠BAC．
∴∠1＝∠2+∠3．
提炼方法：在图1的几何模型中，只需满足AB2＝BC•BD，则∠1＝∠2+∠3．
【提出问题】
如图2，网格中每个小正方形的边长均为1，连接点A与B1，B2，⋯，记∠AB1O为∠1，∠AB2O为∠2，⋯，以此类推，记∠ABnO为∠n，记∠ABxO为∠x，记∠AByO为∠y．若∠n＝∠x+∠y（n、x、y均为正整数且n＜x＜y），则n、x、y的值满足什么关系？
【探究问题】
为了解决上面的问题，我们不妨从简单而又特殊的情况开始研究，进而实现方法的提炼，归纳与发现．
探究1：n＝1时，
如图2，我们借助“基本模型”中结论的证明过程，不难发现，对∠1、∠x、∠y之间角度关系的研究，可以借助对AB1、B1Bx、B1By之间长度关系的研究．
只需满足，则有∠1＝∠x+∠y．
如图3，由勾股定理得：，
∵AB12＝，
∴B1Bx•B1By＝1×2，
由于线段B1Bx、B1By的长是正整数，且n＜x＜y，
∴B1Bx＝1，B1By＝2，对照图形，容易发现：
∴n＝1时，，∠1＝∠2+∠3，2＝（x﹣1）（y﹣1）
即：当n＝1时，x、y的值满足关系式为2＝（x﹣1）（y﹣1）．
探究2：n＝2时，求x、y的值（需要写出必要的解答过程）
探究3：n＝3时
若∠3＝∠x+∠y，请直接写出x、y的值所有可能的组合： ， ．
【发现规律】
如图2，网格中每个小正方形的边长均为1，连接点A与B1，B2，⋯，记∠AB1O为∠1，∠AB2O为∠2，⋯，以此类推，记∠ABnO为∠n，记∠ABxO为∠x，记∠AByO为∠y．若∠n＝∠x+∠y（n、x、y均为正整数且n＜x＜y），
请直接写出n、x、y满足的关系式： n＝（x﹣n）•（y﹣n2﹣1） （n、x、y均为正整数且n＜x＜y）．
【应用规律】
如图4，连接AB3，AB5，则tan∠B3AB5＝ ．
【分析】一个数可以写成1乘以这个数．
【解答】解：探究2，∵由勾股定理得：AB22＝12+22＝5，AB22＝B2Bx•B2By，
∴B2Bx＝1，B2By＝5，
∴x＝3，y＝7；
探究3，∵B3Bx•B3By＝12+32＝10，
10＝1×10或10＝2×5，
∴x＝3+1＝4，y＝3＝10＝13，
或x＝3+2＝5，y＝3+5＝8，
故答案是：或；
【发现规律】∵ABn＝12+n2＝1+n2＝1•（n2+1），
∴x＝n+1，y＝n+n2+1，
∴n＝（x﹣1）•（y﹣n2﹣1），
故答案是：n＝（x﹣n）•（y﹣n2﹣1）；
【应用规律】由探究3知：∠AB3B5＝∠AB8O，
∴tan∠AB3B5＝tan∠AB8O＝＝，
故答案是：．
23．（12分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝16cm，CD＝8cm，DA＝6cm，动点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，动点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，过点P作PE⊥AC于E，垂足为点E，分别连接PC、CQ、EQ．（0＜t≤6）．
（1）如果以A、E、Q为顶点的三角形与以B、C、Q为顶点的三角形相似，求t的值；
（2）设四边形PCQE的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）设AE＝x，求y与x的函数关系式．
【分析】（1）作CF⊥AB于点F，则∠AFC＝90°，先证明四边形AFCD是矩形，则AF＝CD＝8，得BF＝8，所以CF垂直平分AB，则CA＝CB，得∠CAB＝∠B，以A、E、Q为顶点的三角形与以B、C、Q为顶点的三角形相似分两种情况，一是△EAQ∽△CBQ，则＝，二是△EAQ∽△QBC时，则＝，分别列方程求出相应的t的值并进行检验，得到符合题意的t的值即可；
（2）作QG⊥AC于点G，则∠AGQ＝∠D＝90°，先证明△QAG∽△ACD，将线段AE、PE、CE、BQ、AQ的长分别用含t的代数式表示，再由S四边形PCQE＝S△PCE+S△QCE＝CE•PE+CE•QG，求出y关于t的函数关系式即可；
（3）在（1）、（2）的基础上，将线段AE、PE、CE、BQ、AQ的长分别用含x的代数式表示，再由S四边形PCQE＝S△PCE+S△QCE＝CE•PE+CE•QG，求出y关于x的函数关系式即可．
【解答】解：（1）如图1，作CF⊥AB于点F，则∠AFC＝90°，
∵AB∥CD，∠D＝90°，
∴∠DAF＝180°﹣∠D＝90°，
∴四边形AFCD是矩形，
∴AF＝CD＝8，
∵AB＝16，
∴BF＝AF＝8，
∴CB＝CA，
∴∠CAB＝∠B，
∵∠D＝90°，DA＝6，CD＝8，
∴CA＝＝＝10，
∴CB＝CA＝10，
∵PE⊥AC于E，
∴∠AEP＝∠D＝90°，
∵∠PAE＝∠CAD，
∴△PAE∽△CAD，
∴＝＝，
∴EA＝•AP＝AP＝AP＝t，PE＝•AP＝AP＝AP＝t，
当△EAQ∽△CBQ时，则＝，
∵BQ＝2t，AQ＝16﹣2t，
∴＝，
整理得3t2+50t﹣400＝0，
解得t1＝，t2＝（不符合题意，舍去）；
当△EAQ∽△QBC时，则＝，
∴＝，
整理得10t＝65，
解得t＝（不符合题意，舍去），
综上所述，t的值为．
（2）如图2，作QG⊥AC于点G，
∵∠AGQ＝∠D＝90°，∠QAG＝∠ACD，
∴△QAG∽△ACD，
∴＝，
∴QG＝•AQ＝AQ＝AQ＝（16﹣2t），
∵S四边形PCQE＝S△PCE+S△QCE＝CE•PE+CE•QG，
∴y＝（10﹣t）×t+（10﹣t）×（16﹣2t），
即y＝，
∴y与t的函数关系式为y＝（0＜t≤6）．
（3）如图2，由（1）得AE＝AP，PE＝AP，
∴AP＝AE＝x，PE＝×x＝x，
∵AP＝t，BQ＝2t，
∴BQ＝2AP＝2×x＝x，AQ＝16﹣x，
由（2）得QG＝AQ，
∴QG＝（16﹣x），
∵S四边形PCQE＝S△PCE+S△QCE＝CE•PE+CE•QG，用CE＝10﹣x，
∴y＝（10﹣x）×x+（10﹣x）×（16﹣x），
即y＝x2﹣x+48，
当点P与点D重合时，则x＝AE＝AP＝×6＝，
∴x的取值范围是0＜x≤，
∴y与x的函数关系式为y＝x2﹣x+48（0＜x≤）．
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