初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步训练题

沪科版九年级数学下册第24章圆定向练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（    ）

A． B． C． D．

2、若的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3、在半径为6cm的圆中，的圆心角所对弧的弧长是（    ）

A．cm B．cm C．cm D．cm

4、下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

5、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

6、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P． A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（   ）

A．20 m B．20m

C．（20 - 20）m D．（40 - 20）m

7、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

8、如图，在Rt△ABC中，，，，以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点，，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

9、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

10、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（　　）

A．10 B．6 C．6 D．12

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的面积是___________．

2、将点绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点，当点恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为________．

3、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是______步．

4、平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当BK取最小值时，点B的坐标为_________．

5、半径为6cm的扇形的圆心角所对的弧长为cm，这个圆心角______度．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转90°．

（1）画出旋转后的△AB1C1，并写出B1、C1的坐标；

（2）求线段AB在旋转过程中扫过的面积．

2、如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若，，求的半径．

3、如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．

4、如图，ABC是⊙O的内接三角形，，，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．

（1）求证：AD∥EC；

（2）若AD＝6，求线段AE的长．

5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点．

（1）求证：．

（2）若，，求BD．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

直接根据扇形的面积公式计算即可．

【详解】

故选：B．

【点睛】

本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．

2、C

【分析】

先设半径为r，再根据弧长公式建立方程，解出r即可

【详解】

设半径为r，

则周长为2πr，

120°所对应的弧长为

解得r=3

故选C

【点睛】

本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．

3、C

【分析】

直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．

【详解】

解：由题意得：的圆心角所对弧的弧长是；

故选C．

【点睛】

本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．

4、C

【分析】

根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

5、C

【详解】

解：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；

选项B不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；

选项C既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；

选项D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转后能与自身重合.

6、D

【分析】

根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．

【详解】

∵人工湖面积尽量小，

∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，

过点B作BC ⊥，垂足为C，

∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，

∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，

∴OC=CB=CP=20，

∴OP=40，OB==，

∴最小的距离PE=PO-OE=40 - 20（m），

故选D．

【点睛】

本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．

7、B

【分析】

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．

【详解】

A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．是中心对称图形，故本选项符合题意；

C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

8、A

【分析】

连结OC，根据切线长性质DC=AC，OC平分∠ACD，求出∠OCD=∠OCA==30°，利用在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，利用三角形面积公式求出，，再求出扇形面积，利用割补法求即可．

【详解】

解：连结OC，

∵以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点A, ，

∴DC=AC，OC平分∠ACD，

∵，，

∴∠ACD=90°-∠B=60°，

∴∠OCD=∠OCA==30°，

在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，

在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，

∴OD=OA=1，DC=AC=，

∴，，

∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，

∴，

S阴影=．

故选择A．

【点睛】

本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．

9、A

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

10、D

【分析】

连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．

【详解】

解：连接OB，OC，

∵∠BAC=30°，

∴∠BOC=60°．

∵OB=OC，BC=6，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=BC=6．

∴⊙O的直径等于12．

故选：D．

【点睛】

本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．

二、填空题

1、

【分析】

根据圆心角为的扇形面积是进行解答即可得．

【详解】

解：这个扇形的面积．

故答案是：．

【点睛】

本题考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式．

2、或

【分析】

设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，由全等三角形求出点坐标，由点在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G的坐标．

【详解】

设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，

如图所示：

∵，

∴，，

∵点A绕点G顺时针旋转90°后得到点，

∴，，

∴，

∵轴，轴，

∴，

∴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得：，

解得：或，

∴或．

故答案为：，．

【点睛】

本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．

3、6

【分析】

依题意，直角三角形性质，结合题意能够容纳的最大为内切圆，结合内切圆半径，利用等积法求解即可；

【详解】

设直角三角形中能容纳最大圆的半径为：；

依据直角三角形的性质：可得斜边长为：

依据直角三角形面积公式：，即为；

内切圆半径面积公式：，即为；

所以，可得：，所以直径为：；

故填：6；

【点睛】

本题主要考查直角三角形及其内切圆的性质，重点在理解题意和利用内切圆半径求解面积；

4、

【分析】

如图，作BH⊥x轴于H．由△ACO≌△BAH（AAS），推出BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，可得B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，推出y＝x﹣4，推出点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F，作KM⊥EF于M，根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，利用等腰直角三角形的性质可得M的坐标，从而可得答案．

【详解】

解：如图，作BH⊥x轴于H．

∵C（0，4），K（2，0），

∴OC＝4，OK＝2，

∵AC＝AB，∵∠AOC＝∠CAB＝∠AHB＝90°，

∴∠CAO+∠OCA＝90°，∠BAH+∠CAO＝90°，

∴∠ACO＝∠BAH，

∴△ACO≌△BAH（AAS），

∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，

∴B（m+4，m），

令x＝m+4，y＝m，

∴y＝x﹣4，

∴点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F，

则

作KM⊥EF于M，过作于 则

根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，此时B（3，﹣1），

故答案为：（3，﹣1）

【点睛】

本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点B的运动轨迹，学会利用垂线段最短解决最短问题．

5、60

【分析】

根据弧长公式求解即可．

【详解】

解：，

解得，，

故答案为：60．

【点睛】

本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键.

三、解答题

1、（1）作图见解析，、；（2）

【分析】

（1）将绕点A顺时针旋转90°得，根据点A、B、C坐标，即可确定出点、的坐标；

（2）根据勾股定理求出AB的长，由扇形面积公式即可得出答案．

【详解】

（1）将绕点A顺时针旋转90°得如图所示：

∴、；

（2）由图可知：，

∴线段AB在旋转过程中扫过的面积为．

【点睛】

本题考查作旋转图形以及扇形的面积公式，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键．

2、（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）连接，只要证明即可．此题可运用三角形的中位线定理证，因为，所以．

（2）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理可分别求出的长和、的长，即可根据中位线性质求出的长，即的半径长．

【详解】

（1）证明：连接．

因为是的中点，是的中点，

，

．

，

．

，是圆的半径，

是的切线．

（2）如图，，，

，，

，且，

，

，

且，

∴，

，

，

∴ ，

的半径长为．

【点睛】

本题考查了切线的判定、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．

3、

（1）见解析

（2）3，2

【分析】

（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA=∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，进而得到∠OCD=90°，即可得出结论；

（2）根据平行线分线段成比例定理得到，设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x=1，即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB=∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC=2，即tan∠OCB=2．

（1）

证明：∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵∠DCB＝∠OAC，

∴∠OCA＝∠DCB，     

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠OCA+∠OCB＝90°，

∴∠DCB+∠OCB＝90°，

即∠OCD＝90°，

∴OC⊥DC，     

∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）

∵OE∥BC，

∴，

∵CD=4，CE=6，

∴，

设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，

∵OC⊥DC，

∴△OCD是直角三角形，

在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，

∴（3x）2+42=（5x）2，

解得，x=1，

∴OC=3x=3，即⊙O的半径为3，

∵BC∥OE，

∴∠OCB=∠EOC，

在Rt△OCE中，tan∠EOC=，

∴tan∠OCB=tan∠EOC=2．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．

4、（1）见解析；（2）6

【分析】

（1）连接OC，根据CE是⊙O的切线，可得∠OCE＝，根据圆周角定理，可得∠AOC=，从而得到∠AOC+∠OCE＝，即可求证；

（2）过点A作AF⊥EC交EC于点F，由∠AOC＝，OA＝OC，可得∠OAC＝，从而得到∠BAD＝，再由AD∥EC，可得，然后证得四边形OAFC是正方形，可得，从而得到AF=3，再由直角三角形的性质，即可求解．

【详解】

证明：（1）连接OC，

∵CE是⊙O的切线，

∴∠OCE＝，

∵∠ABC＝，

∴∠AOC＝2∠ABC＝，

∵∠AOC+∠OCE＝，

∴AD∥EC；

（2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F，

∵∠AOC＝，OA＝OC，

∴∠OAC＝，

∵∠BAC＝，

∴∠BAD＝，

∵AD∥EC，

∴，

∵∠OCE＝，∠AOC＝，∠AFC=90°，

∴四边形OAFC是矩形，

∵OA＝OC，

∴四边形OAFC是正方形，

∴，

∵，

∴，

在Rt△AFE中，，

∴AE=2AF=6．

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

5、（1）见详解；（2）

【分析】

（1）由题意及垂径定理可知AC垂直平分BD，进而问题可求解；

（2）由题意易得，然后由（1）可知△ABD是等边三角形，进而问题可求解．

【详解】

（1）证明：∵AC是直径，点C是劣弧BD的中点，

∴AC垂直平分BD，

∴；

（2）解：∵，，

∴，

∵，

∴△ABD是等边三角形，

∵，

∴．

【点睛】

本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．