初中数学第24章 圆综合与测试同步训练题

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沪科版九年级数学下册第24章圆同步训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（    ）A．22.5° B．45° C．90° D．67.5°2、下列语句判断正确的是（　　）A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形D．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形3、如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（    ）A． B． C． D．4、如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（    ）A． B． C． D．5、如图，为的直径，为外一点，过作的切线，切点为，连接交于，，点在右侧的半圆周上运动（不与，重合），则的大小是（    ）A．19° B．38° C．52° D．76°6、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）A． B． C． D．7、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（　　）A．10 B．6 C．6 D．128、如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转60°得到，此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则CD的长为（    ）A．1 B．2 C．3 D．49、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ）A． B． C． D．10、点P(－3，1)关于原点对称的点的坐标是（    ）A．(－3，1) B．(3，1) C．(3，－1) D．(－3，－1)第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于6，那么这个扇形的面积等于_____．2、如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B．若，，则AB的长为______．3、如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点， 图中与∠ADE相等的角是 _________ ．4、斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．5、边长为2的正三角形的外接圆的半径等于___．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、问题：如图，是的直径，点在内，请仅用无刻度的直尺，作出中边上的高.小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长交于点，延长交于点；②分别连接，并延长相交于点；③连接并延长交于点．所以线段即为中边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵是的直径，点，在上，∴________°．（______）（填推理的依据）∴，．∴，________是的两条高线．∵，所在直线交于点，∴直线也是的高所在直线．∴是中边上的高．2、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在BA的延长线上，连接BC，PC．若AB = 6，的长为π，BC = PC．求证：直线PC与⊙O相切．3、将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．（1）如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．①求证：BE平分∠AEC．②取BC的中点P，连接PH，求证：PHCG．③若BC＝2AB＝2，求BG的长．（2）若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．4、新定义：如图①，已知，在内部画射线OC，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）（阅读理解）（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）（初步应用）（2）如图①，，射线OC为的“幸运线”，则的度数为______；（直接写出答案）（解决问题）（3）如图②，已知，射线OM从OA出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点顺时针旋转，设运动的时间为t秒．若OM、ON、OB三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t的值．（实际运用）（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？5、如图，已知线段，点A在线段上，且，点B为线段上的一个动点．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，旋转角分别为和．若旋转后M、N两点重合成一点C（即构成），设．（1）的周长为_______；（2）若，求x的值． -参考答案-一、单选题1、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵，∴，∴，故选：B．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．2、A【分析】根据等边三角形的对称性判断即可．【详解】∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴B，C，D都不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．3、D【分析】连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD，然后可得△CDB是等边三角形，则有BD=BC=5cm，进而根据勾股定理可求解．【详解】解：连接CD，如图所示：∵点D是AB的中点，，，∴，∵，∴，在Rt△ACB中，由勾股定理可得；故选D．【点睛】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．4、D【分析】由平角的性质得出∠BCD=116°，再由内接四边形对角互补得出∠A=64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD=2∠A=128°．【详解】∵∴∵四边形内接于∴又∵∴．故选：D．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．5、B【分析】连接 由为的直径，求解 结合为的切线，求解 再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：连接 为的直径， 为的切线， 故选B【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.6、D【详解】解：．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7、D【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°．∵OB=OC，BC=6，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=6．∴⊙O的直径等于12．故选：D．【点睛】本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．8、B【分析】由题意以及旋转的性质可得为等边三角形，则BD=2，故CD=BC-BD=2．【详解】由题意以及旋转的性质知AD=AB，∠BAD=60°∴∠ADB=∠ABD∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°∴∠ADB=∠ABD=60°故为等边三角形，即AB= AD =BD=2则CD=BC-BD=4-2=2故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于，等边三角形判定的方法有：三边相等的三角形是等边三角形（定义）；三个内角都相等的三角形是等边三角形；有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形；两个内角为60度的三角形是等边三角形．9、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．10、C【分析】据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（x，y），然后直接作答即可．【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点P（3，1）关于原点O中心对称的点的坐标为（3，1）．故选：C．【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．二、填空题1、2【分析】根据扇形的面积公式S＝，代入计算即可．【详解】解：∵“完美扇形”的周长等于6，∴半径r为＝2，弧长l为2，这个扇形的面积为：＝＝2．答案为：2．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，扇形面积公式与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底，R看成底边上的高即可．2、3【分析】由切线长定理和，可得为等边三角形，则．【详解】解：连接，如下图：，分别为的切线，，为等腰三角形，，，为等边三角形，，，．故答案为：3．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和切线长定理，解题的关键是作出相应辅助线．3、∠ABC【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再由题意可得，由等式的性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆，∴，∵E为CD延长线上一点，∴，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．4、【分析】如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解．【详解】解：如图， ∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE是直径，∠ECD=45°，根据题意得：AB=2.5， ，∴ ，∴ ，即此斛底面的正方形的边长为 尺．故答案为：【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．5、【分析】过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出外接圆半径．【详解】如图所示，是正三角形，故O是的中心，，∵正三角形的边长为2，OE⊥AB∴，，∴，由勾股定理得：，∴，∴，∴(负值舍去)．故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．三、解答题1、（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD．【分析】（1）根据作图步骤作出图形即可；（2）根据题意填空，即可求解．【详解】解：（1）如图，CH为△ABC中AB边上的高；（2）证明：∵是的直径，点，在上，∴___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据）∴，．∴，_BD__是的两条高线．∵，所在直线交于点，∴直线也是的高所在直线．∴是中边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．【点睛】本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题意灵活应用是解题关键．2、见详解【分析】连接OC，由题意易得∠AOC=60°，则有∠B=∠OCB=30°，然后可得∠P=∠B=30°，进而可得∠OCP=90°，最后问题可求证．【详解】证明：连接OC，如图所示：∵的长为π，AB=6，∴OC=OA=3，，∴，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB=30°，∵BC=PC，∴∠P=∠B=30°，∴∠POC+∠P=90°，即∠OCP=90°，∵OC是圆O的半径，∴直线PC与⊙O相切．【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．3、（1）①见解析；②见解析；③（2）【分析】（1）①根据旋转的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到结论；②如图1，过点作的垂线，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理即可得到结论；③如图2，过点作的垂线，解直角三角形即可得到结论．（2）如图3，连接，，过作交的延长线于，交的延长线于，根据旋转的性质得到，，解直角三角形得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论．（1）解：①证明：矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，，，又，，，平分；②证明：如图1，过点作的垂线，平分，，，，，，，，，，即点是中点，又点是中点，；③解：如图2，过点作的垂线，，，，，，，，，；（2）解：如图3，连接，，过作交的延长线于，交的延长线于，，，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，，，点，，第二次在同一直线上，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是正确地作出辅助线．4、（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或或；（4）．【分析】（1）根据幸运线定义即可求解；（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；（3）根据幸运线定义得到方程求解即可；（4）利用时针1分钟走，分针1分钟走，可解答问题．【详解】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）①设∠AOC=x，则∠BOC=2x，由题意得，x+2x=48°，解得x=16°，②设∠AOC=x，则∠BOC=x，由题意得，x+x=48°，解得x=24°，③设∠AOC=x，则∠BOC=x，由题意得，x+x=48°，解得x=32°，故答案为：16°或24°或32°；（3）OB是射线OM与ON的幸运线，则∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=2；∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=；∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=；故t的值是2或或；（4）时针1分钟走，分针1分钟走，设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟，则有0.5x+3×30=6x，解得：x=．【点睛】本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．5、（1）4（2）【分析】（1）由旋转知：AM=AC=1，BN=BC，将△ABC的周长转化为MN；（2）由α+β=270°，得∠ACB=90°，利用勾股定理列方程即可．（1）解：由旋转知：AM=AC=1，BN=BC=3-x，∴△ABC的周长为：AC+AB+BC=MN=4；故答案为：4；（2）解：∵α+β=270°，∴∠CAB+∠CBA=360°-270°=90°，∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-90°=90°，∴AC2+BC2=AB2，即12+（3-x）2=x2，解得．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，证明∠ACB=90°是解题的关键．