数学人教版20.2 数据的波动程度练习

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专题20.2-3数据的波动趋势势
典例体系（本专题共60题32页）

一、知识点
1.极差：
计算极差公式：极差=最大值-最小值。用一组数据的最大值减去最小
值所得的差来反映这组数据的变化范围，反映数据变化离散程度，极
差小，数据波动小，较稳定。
2.方差的概念：
衡量一组数据波动大小的一个量。
计算公式：数据、……, 的方差为，
则
性质：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小；
3.标准差 ：
方差的算术平方根.
二、考点点拨与训练
考点1：极差及其应用
典例：某校在八年级开展环保知识问卷调查活动，问卷一共10道题，八年级（三）班的问卷得分情况统计图如下图所示：

（1）扇形统计图中，______________；
（2）根据以上统计图中的信息，
①问卷得分的极差是_____________分；②问卷得分的众数是____________分；③问卷得分的中位数是______________分；
（3）请你求出该班同学的平均分.
【答案】（1）；（2）①40，②90，③85；（3）82.6.
【解析】（1）；
（2）①问卷得分的极差是100-60=40（分），
②90分所占的比例最大，故问卷得分的众数是90分，
③7÷14=50（人），
70分的人数为：50×16%=8（人）
80分的人数为：50×20%=10（人）
90分的人数为：50×30%=15（人）
100分的人数为：50×20%=10（人）
所以，问卷得分的中位数是从低分到高分排列第25，26个学生分数的平均数，即（分）；
（3）该班同学的平均分为：
（分）
方法或规律点拨
本题考查了扇形统计图、条形统计图、众数和中位数的应用，解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
巩固练习
1．（2020·涿州市实验中学初二期末）在学校数学竞赛中，某校名学生参赛成绩统计如图所示，对于这名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（　　）

A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．极差是
【答案】B
【解析】解：∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；
∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2=90；
∵平均数是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10=89；
极差是：95﹣80=15．
故选：B．
2．（2019·江苏东台市实验中学初三期中）已知一组数据：5，5，6，7，4，则这组数据的极差与众数分别是（　）
A．5，3 B．3，2 C．3，5 D．2，3
【答案】C
【解析】极差为：7-4=3，
数据5出现了2次，最多，故众数为5，
故选：C．
3．（2020·江苏镇江·初三其他）一组数据为5，6，7，7，10，10，某同学在抄题的时候，误将其中的一个10抄成了16，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（ ）
A．极差 B．平均数 C．中位数 D．众数
【答案】C
【解析】解：将一组数据为5，6，7，7，10，10，中的一个10抄成了16，不影响找第3、4位的两个数，因此中位数不变，
故选：C．
4．（2020·绍兴市建功中学初二期中）为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：
捐款的数额（单位：元）

5

10

20

50

100

人数（单位：个）

2

4

5

3

1

关于这15名同学所捐款的数额，下列说法正确的是( )
A．众数是100 B．平均数是30 C．极差是20 D．中位数是20
【答案】D
【解析】分别求出这组数据的众数，平均数，极差，中位数，作出判断：
众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是20，故这组数据的众数为20．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．因此，这组数据的平均数是：
．
根据一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差的定义，这组数据的极差是：
100－5=95．
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此这组数据排序为5，5，10，10，10，10，20，20，20，20，20，50，50，50，100，∴中位数是按从小到大排列后第7个数为：20．
综上所述，说法正确的是中位数是20．故选D．
5．（2020·湖北黄石十四中初三其他）有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的极差是______
【答案】4
【解析】解：由题意可知4= ，故该组数据的极差=6-2=4，
故答案为：4．
6．贝贝在练习“投掷铅球”项目活动中进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如下：10，7，9，4，10．则贝贝5次成绩的极差是_____．
【答案】6
【解析】解：贝贝5次成绩的极差是10-4＝6．
故答案为：6．
7．（2020·湖北武汉市第十一中学初三二模）某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图的折线统计图，这组数据的中位数是_____，极差是_____，平均数是_____．

【答案】9 4 9
【解析】解：由图可知，把45个数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以中位数是9．
这组数据中最大值是11，最小值是7，所以极差是11﹣7＝4．
平均数是（7×5+8×8+9×18+10×10+11×4）÷45＝9，所以平均数是9．
故答案为9，4，9．
8．（2015·江苏初三期中）某市努力改造空气质量，近年来空气质量明显好转，根据市环境保护局公布的2006—2010这五年各年的全年空气质量优良的天数，绘制折线图如图所示，根据图中的信息回答：

（1）这五年的全年空气质量优良天数的中位数是 ，极差是 ；
（2）这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比较，增加最多的是 年，（填写年份）
（3）求这五年的全年空气质量优良天数的平均数．
【答案】（1）中位数为345，极差为24（2）2008年（3）343．2
【解析】解：（1）这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下：333、334、345、347、357，所以中位数是345；极差是：357﹣333=24；
（2）2007年与2006年相比，333﹣334=﹣1，2008年与2007年相比，345﹣333=12，2009年与2008年相比，347﹣345=2，2010年与2009年相比，357﹣347=10，所以增加最多的是2008年；
（3）=343．2．
9．（2015·重庆初二期末）春兰集团对应聘者甲、乙、丙进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分制成条形统计图（如图）．

（1）利用图中提供的信息，在专业知识方面3人得分的极差是多少？在工作经验方面3人得分的众数是多少？在仪表形象方面谁最有优势？
（2）如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为10：7：3，那么作为人事主管，你应该录用哪一位应聘者为什么？
（3）在（2）的条件下，你对落聘者有何建议？
【答案】（1）专业知识方面3人得分极差是4分，工作经验方面3人得分的众数是15，在仪表形象方面丙最有优势；（2）应录用乙；（3）对甲而言，应加强专业知识的学习，同时要注意自己的仪表形象．对丙而言，三方面都要努力．重点在工作经验和仪表形象．
【解析】解：（1）专业知识方面3人得分极差是18﹣14=4分，
工作经验方面3人得分的众数是15，
在仪表形象方面丙最有优势；
（2）甲得分：14×0.5+17×0.35+12×0.15=14.75分；
乙得分：18×0.5+15×0.35+11×0.15=15.9分；
丙得分：16×0.5+15×0.35+14×0.15=15.35分，
∴应录用乙；
（3）对甲而言，应加强专业知识的学习，同时要注意自己的仪表形象．
对丙而言，三方面都要努力．重点在工作经验和仪表形象．
10．（2013·云南初二期末）自2010年4月1日起，新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》正式实施了．新规定为保障公民的人身安全，对被查酒后驾驶机动车（血液酒精含量超过20毫克/百毫升）的驾驶员加大了处罚力度，某交警大队于4月4日——4月10日这7天共查到12
起酒后驾车事件，这12位驾车者血液酒精含量（单位：毫克/百毫升）如下：
26，58，29，92，21，43，24，27，36，46，23，31.
（1）请计算这些数据的平均数与极差；
（2）请你运用所学到的统计知识估计新规定实施之后一年内（按365天机算）该交警大队能查到多少起酒后驾车事件？（精确到1起）
（3）该交警大队在新规定实施前的某一周7天内共查到38名司机血液酒精含量超过20毫克/百毫升，平均含量为56毫克/百毫升，请结合相关数据谈谈你的想法．
【答案】（1）平均数为38，极差为71；（2）624；（3）我国驾驶员在交规实施前醉驾现象严重平均每天约有5起醉驾，新交规实施后有所下降，平均每天约有2起醉驾，可以从安全意识，遵纪守法等方面谈，合理即可．
【解析】
试题分析：（1）根据平均数、极差的计算公式结合题中的数据特征求解即可；
（2）先求出每天的醉驾人数，再乘以365即可得到结果；
（3）答案不唯一，合理即可.
解：（1）平均数为：456÷2=38，极差为：92-21=71；
（2）每天醉驾人数：12÷7≈1.71，365×1.71≈624；
（3）我国驾驶员在交规实施前醉驾现象严重平均每天约有5起醉驾，新交规实施后有所下降，平均每天约有2起醉驾，可以从安全意识，遵纪守法等方面谈，合理即可.
考点：统计的应用
11．（2013·江苏初三期末）A、B两位高尔夫球运动员10轮比赛成绩如下（单位：杆）：
A运动员：73，73，74，75，75，76，76，77，79，79；
B运动员：75，75，75，75，76，76，76，77，77，77．
（1）计算两位运动员成绩的平均数；
（2）计算两位运动员成绩的极差；
（3）你认为谁是较优秀的运动员？谁是较稳定的运动员？简述理由．
【答案】（1）根据平均数公式即可求得结果；
（2）根据极差=最大值-最小值，即可求得结果；
（3）答案不唯一，理由合理即可.
【解析】（1）A的平均数为（73+73+74+75+75+76+76+77+79+79）÷10=75.7杆，
B的平均数为（75+75+75+75+76+76+76+77+77+77）÷10=75.9杆；
（2）A的极差为79-73=6杆，B的极差为77-75=2杆；
（3）A选手较优秀，因为A选手有发挥超常的时候，
B选手较优秀，因为B选手的平均成绩高，
B选手较稳定，极差小，成绩起伏小．
考点2：方差计算
典例： （2020·山东初二月考）已知一组数据：x1，x2，x3，…xn的平均数是2，方差是5，则另一组数据：3x1，3x2，3x3，…3xn的平均数是____方差是____．
【答案】6 45
【解析】解：由题意可得
[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（xn﹣2）2]=5
∴3x1，3x2，3x3，…3xn的平均数是
方差是 [（3x1﹣6）2+（3x2﹣6）2+…+（3xn﹣6）2]
= [9（x1﹣2）2+9（x2﹣2）2+…+9（xn﹣2）2]
=9× [（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（xn﹣2）2]
=9×5
=45
故答案为：6；45．
方法或规律点拨
此题考查的是根据已知数据的平均数和方差，求另一组数据的平均数和方差，掌握平均数公式和方差公式是解题关键．
巩固练习
1．（2020·河北石家庄二中初三其他）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论正确的是（ ）

A．众数是8，中位数是8
B．众数是8，中位数是8.5
C．平均数是8.2，方差是1.2
D．平均数是8，方差是1.2
【答案】A
【解析】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）=8，
平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）=8.2，
方差为 [（6-8.2）2+（7-8.2）2+（7-8.2）2+（8-8.2）2+（8-8.2）2+（8-8.2）2+（9-8.2）2+（9-8.2）2+（10-8.2）2+（10-8.2）2]=1.56，
故选：A．
2．（2020·河北张家口·初三二模）如果数据，，，的方差是，则另一组数据，，，的方差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：根据题意，数据，，，的平均数设为，
则数据，，，的平均数为，
根据方差公式：
则



，
故选C．
3．（2019·河北二模）某小区超市实行消费积分制，该小区位住户年在该超市的积分分别为分、分、分．则这三位住户年在超市积分的平均数和方差分别是（ ）
A．分、 B．分、 C．分、 D．分、
【答案】B
【解析】解：这三位住户年在超市积分的平均数：（940+1030+970）=980分；
方差是：
=×（1600+2500+100）
=×4200
=1400．
故选：B．
4．（2020·河南初三一模）为了解新冠肺炎疫情防控期间，学生居家进行“线上学习”情况，某班进行了某学科单元基础知识“线上测试”，其中抽查的10名学生的成绩如图所示，对于这10名学生的测试成绩，下列说法正确的是（ ）

A．中位数是95分 B．众数是90分 C．平均数是95分 D．方差是15
【答案】B
【解析】解：A.由图可知，中位数是90分，此选项错误；
B.由图可知，这组数据中，出现次数最多的数是90分，因此，这组数据的众数是90分，此选项正确；
C.这组数据的平均数为91，此选项错误；
D. 这组数据的方差为19，此选项错误；
故选：B．
5．（2020·广东初三三模）某校7名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（　　）
A．众数是36.5 B．中位数是36.7
C．平均数是36.6 D．方差是0.4
【答案】A
【解析】解：A、7个数中36.5出现了三次，次数最多，即众数为36.5，故符合题意；
B、将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.4，36.5，36.5，36.5，36.6，36.7，第4个数为36.5，即中位数为36.5，故不符合题意；
C、平均数＝×（36.3+36.4+36.5+36.5+36.5+36.6+36.7）＝36.5，故不符合题意；
D、方差，故不符合题意．
故选：A．
6．（2020·创A教育扬帆初中二模）下表是某校合唱团成员的年龄分布
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　）
A．平均数、中位数 B．众数、中位数
C．平均数、方差 D．中位数、方差
【答案】B
【解析】由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x＋10﹣x＝10，
则总人数为：5＋15＋10＝30，
故该组数据的众数为14岁，中位数为：＝14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：B．
7．（2020·上海初三二模）某次对中学生身高的抽样调查中测得5个同学的身高如下（单位：cm)：172，171，175，174，178，则这组数据的方差为________．
【答案】6
【解析】解：由题意得：
（cm），
；
故答案为6．
8．（2020·洛阳华洋国际学校月考）已知一组数据：x1，x2，x3，…，xn的平均数是2，方差是3，另一组数据：3x1﹣2，3x2﹣2，…3xn﹣2的方差是__________．
【答案】27
【解析】∵x1，x2，x3，…xn的平均数是2，方差是3，
∴3x1，3x2，…3xn的方差＝3×32＝27，
∴3x1﹣2，3x2﹣2，…3xn﹣2的方差为27．
故答案为27．
9．（2020·北京市第五十七中学初二期末）已知一组数据的方差是，那么另一组数据的方差是______．
【答案】
【解析】解：设原数据的平均数为，
因为另一组数据的每一个数是原数据减去了3，
则平均数变为，
则原数据的方差为：，
另一组数据的方差为：

.
故答案为：.
考点3：标准差的计算
典例：（2019·全国初三期末）以下说法中，①如果一组数据的标准差等于零，则这组中的每个数据都相等；②分别用一组数据中的每一个数减去平均数，再将所得的差相加．若和为零，则标准差为零；③在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的平均数不变；④在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的标准差不变，其中正确的有（   ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①如果一组数据的标准差等于零，则这组中的每个数据都相等，正确；
②分别用一组数据中的每一个数减去平均数，再将所得的差相加．若和为零，则标准差为零错误，如2和-2的平均数是0，每一个数减去平均数，再将所得的差相加和为零，而标准差是2，错误；
③在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的平均数不变，正确；
④在一组数据中去掉一个等于平均数的数，平均数不变，则各数与平均数的差的平方和不变，但数据的个数少了一个，所以数据的标准差改变，错误．
故答案为：B．
方法或规律点拨
本题主要考查了标准差，方差，平均数的计算公式，是需要熟练掌握的内容．
巩固练习
1．（2020·杭州市公益中学初二期末）点点同学对数据26，36，46，5，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
【答案】B
【解析】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关．
故选：B．
2．（2020·浙江杭州·初二期末）测试五位学生的“立定跳远”成绩，得到5个互不相同的数据，在统计时出现一处错误，将最低成绩写得更低了，计算不受影响的是（ ）
A．方差 B．标准差 C．平均数 D．中位数
【答案】D
【解析】解：当最小的一个数发生改变时，这组数据的中位数是不会变的．
故选：D．
3．（2020·河南初二期末）某同学对数据28，32，36，42，5，54进行统计分析时，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不清楚了，但计算结果与被涂污的数字无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
【答案】B
【解析】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，
而这组数据的中位数为与的平均数，与被涂污数字无关．
故选：B．
4．已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（ ）
A．9 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】因为这组数据的方差是3，所以这组数据的标准差是．
故答案为：D
5．（2020·广东初三一模）某市疾控中心在对10名某传染病确诊病人的流行病史的调查中发现，这10人的潜伏期分别为：5，5，5，7，7，8，8，9，11，14（单位：天），则下列关于这组潜伏期数据的说法中不正确的是（　　）
A．众数是5天 B．中位数是7.5天
C．平均数是7.9天 D．标准差是2.5天
【答案】D
【解析】解：A、∵数据中5出现3次，出现的次数最多，∴众数为5，此选项正确；
B、把这些数据重新排列为5，5，5，7，7，8，8，9，11，14，则中位数为＝7.5天，此选项正确；
C、平均数为（5+5+5+7+7+8+8+9+11+14）＝7.9，此选项正确；
D、方差为×[3×（5﹣7.9）2+2×（7﹣7.9）2+2×（8﹣7.9）2+（9﹣7.9）2+（11﹣7.9）2+（14﹣7.9）2]=7.49，
所以标准差为：，此选项错误；
故选：D．
6．（2020·山东济南·初三其他）已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法，错误的是（　　）
A．平均数是3 B．中位数和众数都是3
C．方差为10 D．标准差是
【答案】C
【解析】解：这组数据的平均数为：（1+2+3+3+4+5）÷6＝3，因此选项A不符合题意；
出现次数最多的是3，排序后处在第3、4位的数都是3，因此众数和中位数都是3，
因此选项B不符合题意，
S2＝＝，
S＝
因此C符合题意，D选项不符合题意，
故选：C．
7．已知数据的平均数是2，方差是0.1，则的平均数和标准差分别为（ ）
A．2,1.6 B．2, C．6,0.4 D．6,
【答案】D
【解析】解：，
∴，
，


，
∴，
故选：D．
8．（2017·北京通州·）小明、小华两名射箭运动员在某次测试中各射箭10次，两人的平均成绩均为7.5环，如图做出了表示平均数的直线和10次射箭成绩的折线图．分别表示小明、小华两名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据图形可得，小明、小华两名射箭运动员在某次测试中各射箭10次所得的成绩中，
小明的成绩与平均成绩离散程度小，而小华的成绩与平均成绩离散程度大，
故
故选：A．
10．（2018·广东）下列说法不正确的是（ ）
A．某种彩票中奖的概率是，买1000张该种彩票一定会中奖
B．了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查
C．若甲组数据的标准差S甲=0.31，乙组数据的标准差S乙=0.25，则乙组数据比甲组数据稳定
D．在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件
【答案】A
【解析】A、某种彩票中奖的概率是，只是一种可能性，买1000张该种彩票不一定会中奖，故错误；
B、调查电视机的使用寿命要毁坏电视机，有破坏性，适合用抽样调查，故正确；
C、标准差反映了一组数据的波动情况，标准差越小，数据越稳定，故正确；
D、袋中没有黑球，摸出黑球是不可能事件，故正确．
故选A．
11．（2020·浙江初三开学考试）已知一组数据的方差是则这组数据的标准差是_________．
【答案】2
【解析】解：标准差=．
故答案是：2．
12．一组数据，1，3，2，5，x的平均数为3，那么这组数据的标准差是______．
【答案】
【解析】解：由题意得，1+3+2+5+x=3×5，
解得：x=4，
∴S2= [(1−3)2+(3−3)2+(2−3)2+(5−3)2+(4−3)2]=2,
∴s=,
故答案为.
12．已知数据x1，x2，x3的平均数为a，方差为b，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3的标准差是_____．
【答案】2
【解析】解：∵数据x1，x2，x3的方差为b，
∴数据2x1+3，2x2+3，2x3+3的方差是：22•b＝4b，
∴数据2x1+3，2x2+3，2x3+3的标准差是＝2；
故答案为：2．
13．（2019·浙江杭州外国语学校）某样本方差的计算公式是，则它的样本容量是______，样本的平均数是__________，样本的平方和是176时，标准差是__________．
【答案】16 3
【解析】解：由方差计算公式中各数据的意义可知：样本容量是16，样本的平均数是3，



=2
∴标准差
考点4：方差的应用
典例：某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射耙10次，每次射耙的成绩情况如图所示：


平均数
方差
中位数
甲
7
① .
7
乙
② .
5.4
③ .
（1）请将右上表补充完整：（参考公式：方差）
（2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看，__________的成绩好些；②从平均数和中位数相结合看，___________的成绩好些；
（3）若其他队选手最好成绩在9环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．
【答案】（1）①1.2；②7；③7.5；（2）①甲；②乙；（3）乙，理由见解析
【解析】（1）①甲的方差为：，
②乙的平均数为：，
③乙的中位数为：，
故答案为：①1.2；②7；③7.5；
（2）①甲乙平均数相同，而甲的方差要小，所以甲的成绩更加稳定，从而得出甲的成绩好一些；②甲乙平均数相同，而乙的中位数较大，即乙的成绩的中间量较大，所以得出乙的成绩好一些；
故答案为：①甲；②乙；
（3）选乙，理由如下：
综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然不稳定，但击中高靶环次数更多，成绩逐步上升，提高潜力大，更具有培养价值，所以应选乙．
方法或规律点拨
本题考查了折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，折线统计图能清楚地看出数据的变化情况．
巩固练习
1．（2020·云南迪庆·期末）某县为参加迪庆州少数民族运动会选拔射弩选手，计划从甲、乙两人中选拔一人参加运动会射弩比赛，在选拔过程中，每人射击10次，经计算他们的平均成绩及方差如下表：
选手
甲
乙
平均数（环）
8.3
8.3
方差
1.41
0.81
请你根据上表中的数据选一人参加比赛，最适合的人选是_____．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【解析】因为甲、乙的平均数相同，
而乙的方差比甲的方差小，
所以乙的成绩比较稳定，应该选乙参加比赛．
故答案为：乙．
2．（2018·保定市第三中学分校初二期末）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：

根据以上信息，整理分析数据如下：

平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差
甲


8

乙
7
7
7

（1）求出表格中，，的值；
（2）分别运用上表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
【答案】（1）a=7，b=7.5，c=1.2；（2）选甲，理由见解析
【解析】（1）甲的射击成绩按从小到大顺序排列为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，
甲的平均成绩：（环）；
甲的成绩的中位数：（环）；
乙的成绩按从小到大顺序排列为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，
乙的成绩的方差：．
（2）从平均成绩看，两人成绩相等；从中位数看，甲射中7环及以上的次数大于乙；从众数看，甲射中8环的次数最多，乙射中7环的次数最多；从方差看，乙的成绩比甲的稳定．综上所述，若选派一名学生参加比赛的话，可选择甲，因为甲获得高分的可能性更大且甲的成绩呈上升趋势．
3．（2020·江苏初三月考）已知A组数据如下： 0，1，－2，－1，0，－1，3．
（1）A组数据的中位数是 ；
（2）求A组数据的方差；
（3）从A组数据中选取5个数据，记这5个数据为B组数据． 要求B组数据满足两个条件：① 它的平均数与A组数据的平均数相等；② 它的方差比A组数据的方差大．你选取的B组数据是 ．
【答案】（1）0；（2）；（3）不唯一，如．
【解析】解：（1）把数据按从小到大排列如下：

最中间的数是：
所以这组数据的中位数是：
故答案为：
（2）这组数据的平均数为：
所以这组数据的方差为：


（3）组数据为：．
组数据的平均数为：
组数据的方差为：


由＞，
所以组数据符合条件①②．
故答案为：．（答案不唯一）
4．（2020·河南省洛阳市东升第二中学月考）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．
整理数据：
分数
人数
年级
80
85
90
95
100
七年级
2
2
3
2
1
八年级
1
2
4
a
1
分析数据：

平均数
中位数
众数
方差
七年级
89
b
90
39
八年级
c
90
d
30
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；
（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？
【答案】（1）a＝2，b＝90，c＝90，d＝90；（2）八年级的学生成绩好，理由见解析；（3）估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人
【解析】解：（1）观察八年级95分的有2人，故a＝2，
七年级的中位数为，故b＝90,
八年级的平均数为：×(85+85+95+80+95+90+90+90+100+90)＝90，故c＝90,
八年级中90分的最多，故d＝90；
（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；
（3）∵600×＝600×=390（人），
∴该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．
5．（2019·山西期末）为落实立德树人根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，育才学校在设立学生奖学金时规定：每学期对学生的德智体美劳五个方面进行三次综合素质评价，分别是：假期综合素质评价、期中综合素质评价、期末综合素质评价，八年级（1）班的小明和八年级（2）班的小亮两位同学同时进入一等奖学金测评，他们的三次综合素质评价成绩如下表．

假期综合素质评价成绩
期中综合素质评价成绩
期末综合素质评价成绩
小明
96
91
92
小亮
95
93
91
（1）如果从三次综合素质评价成绩稳定性的角度来看，谁可以得一等奖学金？请你通过计算回答；
（2）如果假期综合素质评价成绩、期中综合素质评价成绩、期末综合素质评价成绩按的比例计入最终成绩，谁可以得一等奖学金？请你通过计算回答．
【答案】（1）小亮可以得一等奖学金，理由见解析；（2）小明可以得一等奖学金，理由见解析
【解析】解：（1），．
，．
因为，，，小亮的成绩更稳定，所以小亮可以得一等奖学金．
（2）．
．
因为，所以小明可以得一等奖学金．
6．（2020·重庆南岸·一模）在防疫知识普查考试中，某次测试试题的满分为20分．某校为了解该校部分学生的成绩情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
抽取的20名七年级学生成绩是：
20，20，20，20，19，19，19，19，18，18，
18，18，18，18，18，17，16，16，15，14．
抽取的40名学生成绩统计表

七年级
八年级
平均分
18
18
众数
a
b
中位数
18
c
方差
2.7
2.7
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上表中a，b，c的值；
（2）在这次测试中，你认为是七年级成绩好，还是八年级成绩好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共有学生1000人，估计此次测试成绩不低于19分的学生有多少人？

【答案】（1）a＝18，b＝19，c＝18.5；（2）八年级好，理由见解析；（3）450人
【解析】解：（1）七年级20名学生成绩的众数a＝18，八年级成绩的众数b＝19，中位数c＝＝18．5；
（2）八年级的成绩好，
∵七年级与八年级成绩的平均分和方差相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，即八年级高分人数稍多，
∴八年级的成绩好；
（3）估计此次测试成绩不低于19分的学生有1000×＝450（人）．
7．（2020·迁安市迁安镇第一初级中学初三月考）某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达6分以上为合格，达到9分以上（含9分）为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下．

（1）补充完成下列的成绩统计分析表：(写出方差的计算过程)

（2）甲组6分的人数比乙组6分的人数多_____%．
（3）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小明是________组学生；（填“甲”或“乙”）
（4）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由．
【答案】（1）6，6，7.1，1.69，8；（2）400；（3）甲；（4）乙组的平均数高于甲组；乙组的中位数高于甲组，所以乙组的成绩要好于甲组．
【解析】解：（1）甲组：3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为6（分）；众数为6（分）
乙组：5，5，6，7，7，8，8，8，8，9，平均数=7.1（分），
S乙2==1.69（分2），众数为8（分）；
故答案为：6，6，7.1，1.69，8；
（2）（5-1）÷1=4=400%；
故答案为400；
（3）因为甲组的中位数为6，所以7分在甲组排名属中游略偏上；
所以，小明是甲组学生；
故答案为：甲；
（4）乙组的平均数高于甲组；乙组的中位数高于甲组，所以乙组的成绩要好于甲组．
8．（2020·河北初二期末）为了了解学生对“预防新型冠状病毒”知识的掌握情况，学校组织了一次线上知识培训，培训结束后进行测试，试题的满分为分．为了解学生的成绩情况，从七、八年级学生中各随机抽取了名学生的成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
抽取的名七年级成绩是：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，．
抽取的名八年级成绩折线统计图

抽取的名学生成绩统计表
性别
七年级
八年级
平均数


众数


中位数


方差


根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上表中，，的值：______，______，_______；
（2）在这次测试中，你认为是七年级成绩好，还是八年级成绩好？请说明理由；
【答案】（1），，
（2）八年级，理由见解析
【解析】解：（1）七年级成绩的众数为18，
八年级成绩的众数为19，中位数为=18.5，
即a=18，b=19，c=18.5；
故答案为，，；
（2）解：八年级的成绩好
七年级与八年级成绩的平均分和方差相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，即八年级高分人数稍多，
八年级的成绩好．
9．（2020·河南初二期末）某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下：
甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9；
甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：

平均数
众数
中位数
方差
甲
8
b
8
0.4
乙
a
9
c
3.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格是a＝　　，b＝　　，c＝　　．（填数值）
（2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是　 ．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是　 ；
（3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数　 　，中位数　 ，方差　 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】（1）a、b、c的值分别是8、8、9；（2）甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是9，众数是9，获奖次数较多；（3）不变；变小；变小．
【解析】（1），
因为甲中8共出现3次，次数最多，所以b=8
因为乙的有效次数中按顺序排列后处于中间位置的是9，所以中位数c=9；
故答案为a、b、c的值分别是8、8、9；
（2），
∴甲的方差较小，成绩比较稳定，
∴选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛；
∵乙的中位数是9，众数也是9，
∴获奖可能性较大，
∴根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛；
（3）∵原来的平均数是8，增加一次也是8，
∴平均数不变．
∵六次成绩排序为5，7，8，9，9，10，
∴处于中间位置的数为8，9，
∴中位数为 ，
∴中位数变小．
后来的方差为，
∴方差变小．
10．（2020·河南郑州外国语中学初三其他）某学校要调查学生关于“新冠肺炎”防治知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行测试（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：
（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x<85，B．85≤x<90，C．90≤x<95，D．95≤x≤100），七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
众数
c
100
方差
52
50.4

根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“新冠肺炎”知识较好？请说明理由.
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
【答案】（1）a=40，b=93，c=96；（2）八年级掌握得更好，见解析；（3）780名
【解析】解：（1）因为八年级组有人，组有人，组有人，
所以组有人，所以： 即
因为八年级学生成绩的分布：组有人，组有人，组有人，组有人，且成绩是按照从小到大的顺序排列的，所以八年级学生成绩的中位数落在组，而C组中的数据是：94，90，92，
按从小到大排列为：
所以第个，第个数据为：
所以中位数为：分，
因为七年级学生成绩中分有个，出现的次数最多，所以众数分，
故答案为：a=40，b=93，c=96．
（2）八年级掌握得更好．因为七八年级的平均数、中位数相同，
而八年级的众数比七年级高，说明八年级高分的同学更多；
八年级方差比七年级小，说明八年级两极分化差距小．
（3）由题意得：七年级成绩大于或等于分的有人，八年级成绩大于或等于分的有人
（人）
答：参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为780人．
考点5：标准差的应用
典例：（2019·河北初二课时练习）在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数,即T=(|x1-|+|x2-|+…+|xn-|)叫做这组数据的“平均差”.“平均差”也能描述一组数据的离散程度.“平均差”越大说明数据的离散程度越大.因为“平均差”的计算比方差的计算要容易一点,所以有时人们也用它代替方差来比较数据的离散程度.最大值与最小值的差、方差(标准差)、平均差都是反映数据离散程度的量.
一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的质量的离散程度,因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况.为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况,在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞,分开养殖或出售.他从甲、乙两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得质量(单位:千克)如下:
甲鱼塘:3、5、5、5、7、7、5、5、5、3
乙鱼塘:4、4、5、6、6、5、6、6、4、4
(1)分别计算从甲、乙两个鱼塘中抽取的10条鱼的质量的极差(极差:最大值与最小值的差)、方差、平均差.完成下面的表格:

极差(千克)
方差
平均差(千克)
甲鱼塘



乙鱼塘



(2)如果你是技术人员,你会告诉李大爷哪个鱼塘的风险更大些?哪些量更能说明鱼质量的离散程度?
【答案】（1）

极差
方差
平均差
A
4
1.6
0.8
B
2
0.8
0.8
（2）极差与方差
【解析】（1）甲组数据中最大的值7，最小值3，故极差=7-3=4，
甲=（3×2+6×5+2×7）÷10=5，S2甲==1.6，
=（|3-5|+|5-5|+…+|3-5|）=0.8；
乙组数据中最大的值6，最小值4，故极差=6-4=2；乙=（4×4+6×4+5×2）÷10=5，
=（|4-5|+|4-5|+…+|4-5|）=0.8；
S2乙=[（4-5）2+（4-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（6-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（6-5）2+（4-5）2+（4-5）2]÷10=0.8，

极差
方差
平均差
A
4
1.6
0.8
B
2
0.8
0.8
（2）∵S2甲＜S2乙；所以根据A，B的极差与方差可以得出A鱼塘风险更大．极差与方差更能说明鱼重量的离散程度
方法或规律点拨
本题考查了方差的知识，注意掌握方差的计算方法及方差的意义．
巩固练习
1．（2020·黑龙江齐齐哈尔·初二期末）一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下：

树苗平均高度（单位：m）
标准差
甲苗圃
1.8
0.2
乙苗圃
1.8
0.6
丙苗圃
2.0
0.6
丁苗圃
2.0
0.2
请你帮采购小组出谋划策，应选购（ ）
A．甲苗圃的树苗 B．乙苗圃的树苗; C．丙苗圃的树苗 D．丁苗圃的树苗
【答案】D
【解析】由于标准差和方差可以反映数据的波动大小，所以甲苗圃与丁苗圃比较合适；
又因为丁苗圃树苗平均高度大于甲苗圃，所以应选丁苗圃的树苗．
故选D．
2．（2018·内蒙古鄂尔多斯·初二期末）为了参加我市组织的“我爱家乡美”系列活动，某校准备从九年级四个班中选出一个班的7名学生组建舞蹈队，要求各班选出的学生身高较为整齐，且平均身高约为1.6m.根据各班选出的学生，测量其身高，计算得到的数据如右表所示，学校应选择（ ）

学生平均身高（单位：m）
标准差
九（1）班
1.57
0.3
九（2）班
1.57
0.7
九（3）班
1.6
0.3
九（4）班
1.6
0.7
A．九（1）班 B．九（2）班 C．九（3）班 D．九（4）班
【答案】C
【解析】
根据标准差的意义，标准差越小数据越稳定，由于选的是学生身高较为整齐的，故要选取标准差小的，应从九（1）和九（3）里面选，再根据平均身高约为1.6m可知只有九（3）符合要求，故选C．
3．（2019·江苏南京市第二十九中学初三二模）某校初三（1）班、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下表：
班级
平均分
众数
中位数
标准差
一班
79
70
87
19.8
二班
79
70
79
5.2
（1）请你对下面的一段话给予简要分析：初三（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里可算上游了！”
（2）请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】解：（1）由中位数可知，85分排在第25位之后，从位次上讲不能说85分是上游；但是根据小刚的分数以及全班的平均分以及全班分数的众数可以看出小刚的成绩应该算是上游，且小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握较好，从掌握学习内容上讲也可以说属于上游；
（2）初三（1）班成绩中位数为87，说明高于87分的人数占一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习有困难者的帮助；
初三（2）班的中位数和平均分均为79分，标准差又很小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．
4．一次期中考试中，五位同学的数学、英语成绩（单位：分）等有关信息如下表所示．

A
B
C
D
E
平均分
标准差
数学
71
72
69
68
70


英语
88
82
94
85
76
85

（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差，并将上表补充完整；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是标准分=（个人成绩-平均成绩）÷成绩的标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
【答案】（1）表中填：70，6；（2）同学在本次考试中，数学考得更好．
【解析】（1）数学成绩的平均分为（分），
英语成绩的标准差为，
故表中填：70，6；
（2）数学标准分为：（分），
英语标准分为：（分）
因为，所以数学考得更好，
即同学在本次考试中，数学考得更好．
5．一次期中考试中A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信息、如下表所示：

A
B
C
D
E
平均分
标准差
数学
71
72
69
68
70


英语
88
82
94
85
76
85

(1)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；
(2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是标准分=(个人成绩-平均成绩)÷成绩标准差，从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好.
友情提示：一组数据的标准差计算公式是，其中 为n个数据 的平均数.
【答案】（1）70；6（2）A同学数学比英语考得更好
【解析】(1)数学考试成绩的平均分
英话考试成绩的标准差：

(2)设A同学数学考试成绩标准分为P，英语考试成绩标准分为P，
则P =P
∵P> P，
∴从标准分看，A同学数学比英语考得更好
6．（2018·浙江初二单元测试）甲、乙两位同学本学年每个单元的测验成绩如下（单位：分）：
甲：98，100，100，90，96，91，89，99，100，100，93
乙：98，99，96，94，95，92，92，98，96，99，97
(1)、他们的平均成绩分别是多少？
(2)、甲、乙的11次单元测验成绩的标准差分别是多少？
(3)、这两位同学的成绩各有什么特点？
(4)、现要从中选出一人参加“希望杯”竞赛，历届比赛成绩表明，平时成绩达到98分以上才可能进入决赛，你认为应选谁参加这项竞赛，为什么？
【答案】(1)、甲：96 乙：96 (2)、甲：4.221 乙：2.412 (3)、略 (4)、选甲
【解析】(1)、甲＝×（98＋100＋100＋90＋96＋91＋89＋99＋100＋100＋93）＝96
乙＝×（98＋99＋96＋94＋95＋92＋92＋98＋96＋99＋97）＝96
(2)、s2甲＝×［（98－96）2＋（100－96）2＋…＋（93－96）2］＝17.82
∴s甲＝4.221
s2乙＝×［（98－96）2＋（99－96）2＋…＋（97－96）2］＝5.817
∴s乙＝2.412
(3)、乙较甲稳定，甲虽然状态不稳定，但发挥好时成绩比乙优秀．
(4)、选甲去，甲比乙更有可能达到98分．
7．在一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩的有关信息如下表所示：

（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差．
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分=（个人成绩－平均成绩）÷成绩标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在这次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
【答案】（1）数学平均分70，英语标准差6；（2）A的数学考得更好．
【解析】
【分析】
（1）根据极差的求法、平均数公式、标准差公式求解即可；
（2）先根据题中所给的标准分的计算公式分别计算出数学与英语的标准分，再比较即可.
【详解】
（1）由题意得数学的极差为72-68=4，平均分为（71+72+69+68+70）÷5=70；英语的标准差为6；
（2）由题意得数学标准分=，英语标准分=
所以数学考得更好.