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    难点解析沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析试题(名师精选)

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    初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试课后作业题

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    这是一份初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试课后作业题,共33页。
    沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析
    考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
    考生注意:
    1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
    2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
    3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
    第I卷(选择题 30分)
    一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
    1、如图,AB是的直径,的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P,于点E,,,则阴影部分的面积为( )

    A. B. C. D.
    2、如图,是的直径,弦,垂足为,若,则( )

    A.5 B.8 C.9 D.10
    3、下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
    A. B.
    C. D.
    4、如图,四边形内接于,如果它的一个外角,那么的度数为( )

    A. B. C. D.
    5、下列图形中,可以看作是中心对称图形的是( )
    A. B. C. D.
    6、如图,,,,都是上的点,,垂足为,若,则的度数为( )

    A. B. C. D.
    7、下列图案中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
    A. B.
    C. D.
    8、如图,PA是的切线,切点为A,PO的延长线交于点B,若,则的度数为( ).

    A.20° B.25° C.30° D.40°
    9、如图,AB是⊙O的直径,弦,,,则阴影部分图形的面积为( )

    A. B. C. D.
    10、下列语句判断正确的是(  )
    A.等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形
    B.等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形
    C.等边三角形是中心对称图形,但不是轴对称图形
    D.等边三角形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形
    第Ⅱ卷(非选择题 70分)
    二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
    1、已知O、I分别是△ABC的外心和内心,∠BIC=125°,则∠BOC的大小是 ___度.
    2、如图,正三角形ABC的边长为,D、E、F 分别为BC,CA,AB的中点,以A,B,C三点为圆心,长为半径作圆,图中阴影部分面积为______.

    3、如图,在Rt△ABC,∠B=90°,AB=BC=1,将△ABC绕着点C逆时针旋转60°,得到△MNC,那么BM=______________.

    4、平面直角坐标系中,,,A为x轴上一动点,连接AC,将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB,当BK取最小值时,点B的坐标为_________.
    5、如图,正方形ABCD的边长为1,⊙O经过点C,CM为⊙O的直径,且CM=1.过点M作⊙O的切线分别交边AB,AD于点G,H.BD与CG,CH分别交于点E,F,⊙O绕点C在平面内旋转(始终保持圆心O在正方形ABCD内部).给出下列四个结论:
    ①HD=2BG;②∠GCH=45°;③H,F,E,G四点在同一个圆上;④四边形CGAH面积的最大值为2.其中正确的结论有 _____(填写所有正确结论的序号).

    三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
    1、如图,在⊙O中,点E是弦CD的中点,过点O,E作直径AB(AE>BE),连接BD,过点C作CFBD交AB于点G,交⊙O于点F,连接AF.求证:AG=AF.

    2、如图,已知等边内接于⊙O,D为的中点,连接DB,DC,过点C作AB的平行线,交BD的延长线于点E.
    (1)求证:CE是⊙O的切线;
    (2)若AB的长为6,求CE的长.

    3、如图,在中,,,D是边BC上一点,作射线AD,满足,在射线AD取一点E,且.将线段AE绕点A逆时针旋转90°,得到线段AF,连接BE,FE,连接FC并延长交BE于点G.

    (1)依题意补全图形;
    (2)求的度数;
    (3)连接GA,用等式表示线段GA,GB,GC之间的数量关系,并证明.
    4、如图,在平面直角坐标系中,有抛物线,已知OA =OC =3OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)求过A,B,C三点的圆的半径;
    (3)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标,若不存在,说明理由;

    5、如图,是的直径,四边形内接于,是的中点,交的延长线于点.

    (1)求证:是的切线;
    (2)若,,求的长.

    -参考答案-
    一、单选题
    1、B
    【分析】
    由垂径定理可知,AE=CE,则阴影部分的面积等于扇形AOD的面积,求出,然后利用扇形面积公式,即可求出答案.
    【详解】
    解:根据题意,如图:

    ∵AB是的直径,OD是半径,,
    ∴AE=CE,
    ∴阴影CED的面积等于AED的面积,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∴;
    故选:B
    【点睛】
    本题考查了求扇形的面积,垂径定理,解题的关键是掌握所学的知识,正确利用扇形的面积公式进行计算.
    2、C
    【分析】
    连接,根据垂径定理可得,设的半径为,则,进而勾股定理列出方程求得半径,进而求得
    【详解】
    解:如图,连接,

    ∵是的直径,弦,

    设的半径为,则
    在中,,

    解得


    故选C
    【点睛】
    本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
    3、B
    【详解】
    解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,故不符合题意;
    B.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故符合题意;
    C.不是轴对称图形,是中心对称图形,故不符合题意;
    D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故不符合题意.
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
    4、D
    【分析】
    由平角的性质得出∠BCD=116°,再由内接四边形对角互补得出∠A=64°,再由圆周角定理即可求得∠BOD=2∠A=128°.
    【详解】


    ∵四边形内接于

    又∵
    ∴.
    故选:D.
    【点睛】
    本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理,圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角;在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
    5、B
    【分析】
    把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,根据中心对称图形的概念求解.
    【详解】
    A.不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
    B.是中心对称图形,故本选项符合题意;
    C.不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
    D.不是中心对称图形,故本选项不符合题意.
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
    6、B
    【分析】
    连接OC.根据确定,,进而计算出,根据圆心角的性质求出,最后根据圆周角的性质即可求出.
    【详解】
    解:如下图所示,连接OC.

    ∵,
    ∴,.
    ∴.
    ∵.
    ∴.

    ∵和分别是所对的圆周角和圆心角,
    ∴.
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查垂径定理,圆心角的性质,圆周角的性质,综合应用这些知识点是解题关键.
    7、B
    【分析】
    根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析
    【详解】
    解:A. 是轴对称图形,不是中心对称图形,故该选项不正确,不符合题意;
    B. 既是轴对称图形,又是中心对称图形,故该选项正确,符合题意;
    C. 不是轴对称图形,是中心对称图形,故该选项不正确,不符合题意;
    D. 不是轴对称图形,是中心对称图形,故该选项不正确,不符合题意;
    故选B
    【点睛】
    本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合,掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键.
    8、B
    【分析】
    连接OA,如图,根据切线的性质得∠PAO=90°,再利用互余计算出∠AOP=50°,然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数.
    【详解】
    解:连接OA,如图,

    ∵PA是⊙O的切线,
    ∴OA⊥AP,
    ∴∠PAO=90°,
    ∵∠P=40°,
    ∴∠AOP=50°,
    ∵OA=OB,
    ∴∠B=∠OAB,
    ∵∠AOP=∠B+∠OAB,
    ∴∠B=∠AOP=×50°=25°.
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.
    9、D
    【分析】
    根据垂径定理求得CE=ED=;然后由圆周角定理知∠COE=60°.然后通过解直角三角形求得线段OC,然后证明△OCE≌△BDE,得到求出扇形COB面积,即可得出答案.
    【详解】
    解:设AB与CD交于点E,
    ∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,CD=2,如图,

    ∴CE=CD=,∠CEO=∠DEB=90°,
    ∵∠CDB=30°,
    ∴∠COB=2∠CDB=60°,
    ∴∠OCE=30°,
    ∴,
    ∴,
    又∵,即
    ∴,
    在△OCE和△BDE中,

    ∴△OCE≌△BDE(AAS),

    ∴阴影部分的面积S=S扇形COB=,
    故选D.
    【点睛】
    本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质,全等三角形的性质与判定,圆周角定理,扇形面积的计算等知识点,能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键.
    10、A
    【分析】
    根据等边三角形的对称性判断即可.
    【详解】
    ∵等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形,
    ∴B,C,D都不符合题意;
    故选:A.
    【点睛】
    本题考查了等边三角形的对称性,熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键.
    二、填空题
    1、140
    【分析】
    作的外接圆,根据三角形内心的性质可得:,,再由三角形内角和定理得出:,最后根据三角形外心的性质及圆周角定理即可得.
    【详解】
    解:如图所示,作的外接圆,

    ∵点I是的内心,
    ∴BI,CI分别平分和,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵点O是的外心,
    ∴,
    故答案为:140.
    【点睛】
    题目主要考查三角形内心与外心的性质,三角形内角和定理等,理解题意,熟练掌握三角形内心与外心的性质是解题关键.
    2、
    【分析】
    阴影部分的面积等于等边三角形的面积减去三个扇形面积,而这三个扇形拼起来正好是一个半径为半圆的面积,即阴影部分面积=等边三角形面积−半径为半圆的面积,因此求出半圆面积,连接AD,则可求得AD的长,从而可求得等边三角形的面积,即可求得阴影部分的面积.
    【详解】
    连接AD,如图所示

    则AD⊥BC
    ∵D点是BC的中点

    由勾股定理得

    ∵S半圆=
    ∴S阴影=S△ABC−S半圆
    故答案为:
    【点睛】
    本题是求组合图形的面积,扇形面积及三角形面积的计算.关键是把不规则图形面积通过割补转化为规则图形的面积计算.
    3、
    【分析】
    设BN与AC交于D,过M作MF⊥BA于F,过M作ME⊥BC于E,连接AM,先证明△EMC≌△FMA得ME=MF,从而可得∠CBD=45°,∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°,再在Rt△BCD、Rt△CDM中,分别求出BD和DM,即可得到答案.
    【详解】
    解:设BN与AC交于D,过M作MF⊥BA于F,过M作ME⊥BC于E,连接AM,如图:

    ∵△ABC绕着点C逆时针旋转60°,
    ∴∠ACM=60°,CA=CM,
    ∴△ACM是等边三角形,
    ∴CM=AM①,∠ACM=∠MAC=60°,
    ∵∠B=90°,AB=BC=1,
    ∴∠BCA=∠CAB=45°,AC==CM,
    ∴∠BCM=∠BCA+∠ACM=105°,∠BAM=∠CAB+∠MAC=105°,
    ∴∠ECM=∠MAF=75°②,
    ∵MF⊥BA,ME⊥BC,
    ∴∠E=∠F=90°③,
    由①②③得△EMC≌△FMA,
    ∴ME=MF,
    而MF⊥BA,ME⊥BC,
    ∴BM平分∠EBF,
    ∴∠CBD=45°,
    ∴∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°,
    Rt△BCD中,BD=BC=,
    Rt△CDM中,DM=CM =,
    ∴BM=BD+DM=,
    故答案为:.
    【点睛】
    本题考查等腰三角形性质、等边三角形的性质及判定,解题的关键是证明∠CDB=90°.
    4、
    【分析】
    如图,作BH⊥x轴于H.由△ACO≌△BAH(AAS),推出BH=OA=m,AH=OC=4,可得B(m+4,m),令x=m+4,y=m,推出y=x﹣4,推出点B在直线y=x﹣4上运动,设直线y=x﹣4交x轴于E,交y轴于F,作KM⊥EF于M,根据垂线段最短可知,当点B与点M重合时,BK的值最小,利用等腰直角三角形的性质可得M的坐标,从而可得答案.
    【详解】
    解:如图,作BH⊥x轴于H.

    ∵C(0,4),K(2,0),
    ∴OC=4,OK=2,
    ∵AC=AB,∵∠AOC=∠CAB=∠AHB=90°,
    ∴∠CAO+∠OCA=90°,∠BAH+∠CAO=90°,
    ∴∠ACO=∠BAH,
    ∴△ACO≌△BAH(AAS),
    ∴BH=OA=m,AH=OC=4,
    ∴B(m+4,m),
    令x=m+4,y=m,
    ∴y=x﹣4,
    ∴点B在直线y=x﹣4上运动,设直线y=x﹣4交x轴于E,交y轴于F,


    作KM⊥EF于M,过作于 则

    根据垂线段最短可知,当点B与点M重合时,BK的值最小,此时B(3,﹣1),
    故答案为:(3,﹣1)
    【点睛】
    本题考查坐标与图形的变化﹣旋转,全等三角形的判定和性质,一次函数的应用,垂线段最短等知识,解题的关键是正确寻找点B的运动轨迹,学会利用垂线段最短解决最短问题.
    5、②③④
    【分析】
    根据切线的性质,正方形的性质,通过三角形全等,证明HD=HM,∠HCM=∠HCD,GM=GB,∠GCB=∠GCM,可判断前两个结论;运用对角互补的四边形内接于圆,证明∠GHF+∠GEF=180°,取GH的中点P,连接PA,则PA+PC≥AC,当PC最大时,PA最小,根据直径是圆中最大的弦,故PC=1时,PA最小,计算即可.
    【详解】
    ∵GH是⊙O的切线,M为切点,且CM是⊙O的直径,
    ∴∠CMH=90°,
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠CMH=∠CDH=90°,
    ∵CM=CD,CH=CH,
    ∴△CMH≌△CDH,
    ∴HD=HM,∠HCM=∠HCD,
    同理可证,∴GM=GB,∠GCB=∠GCM,
    ∴GB+DH=GH,无法确定HD=2BG,
    故①错误;
    ∵∠HCM+∠HCD+∠GCB+∠GCM=90°,
    ∴2∠HCM+2∠GCM=90°,
    ∴∠HCM+∠GCM=45°,
    即∠GCH=45°,
    故②正确;

    ∵△CMH≌△CDH,BD是正方形的对角线,
    ∴∠GHF=∠DHF,∠GCH=∠HDF=45°,
    ∴∠GHF+∠GEF=∠DHF +∠GCH+∠EFC
    =∠DHF +∠HDF+∠HFD
    =180°,
    根据对角互补的四边形内接于圆,
    ∴H,F,E,G四点在同一个圆上,
    故③正确;
    ∵正方形ABCD的边长为1,

    =1
    =,∠GAH=90°,AC=
    取GH的中点P,连接PA,
    ∴GH=2PA,
    ∴=,
    ∴当PA取最小值时,有最大值,
    连接PC,AC,
    则PA+PC≥AC,
    ∴PA≥AC- PC,
    ∴当PC最大时,PA最小,
    ∵直径是圆中最大的弦,
    ∴PC=1时,PA最小,
    ∴当A,P,C三点共线时,且PC最大时,PA最小,
    ∴PA=-1,
    ∴最大值为:1-(-1)=2-,
    ∴四边形CGAH面积的最大值为2,
    ∴④正确;
    故答案为: ②③④.
    【点睛】
    本题考查了切线的性质,直径是最大的弦,三角形的全等,直角三角形斜边上的中线,四点共圆,正方形的性质,熟练掌握圆的性质,灵活运用直角三角形的性质,线段最短原理是解题的关键.
    三、解答题
    1、见解析
    【分析】
    由题意易得AB⊥CD,,则有,由平行线的性质可得,然后可得,进而问题可求证.
    【详解】
    证明:∵AB为⊙O的直径,点E是弦CD的中点,
    ∴AB⊥CD,
    ∴,
    ∴,
    ∵CF∥BD,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    【点睛】
    本题主要考查垂径定理、平行线的性质及圆周角定理,熟练掌握垂径定理、平行线的性质及圆周角定理是解题的关键.
    2、(1)见解析;(2)3
    【分析】
    (1)由题意连接OC,OB,由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°,求出∠OCB=30°,则∠OCE=90°,结论得证;
    (2)根据题意由条件可得∠DBC=30°,∠BEC=90°,进而即可求出CE=BC=3.
    【详解】
    解:(1)证明:如图连接OC、OB.
    ∵是等边三角形



    又 ∵



    ∴与⊙O相切;
    (2)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,


    ∵D为的中点,





    【点睛】
    本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识.解题的关键是正确作出辅助线,利用圆的性质进行求解.
    3、
    (1)见解析;
    (2)
    (3)
    【分析】
    (1)根据题意补全图形即可;
    (2)根据旋转的性质可得,,进而证明,可得,根据角度的转换可得,进而根据三角形的外角性质即可证明;
    (3)过点作,证明,进而根据勾股定理以及线段的转换即可得到
    (1)
    如图,
    (2)
    将线段AE绕点A逆时针旋转90°,得到线段AF,
    ,
    ,









    (3)

    证明如下,如图,过点作,


    又,












    【点睛】
    本题考查了旋转的性质,三角形全等的性质与判定,勾股定理,等腰三角形的性质,掌握旋转的性质是解题的关键.
    4、(1)y=-x2+2x+3;(2);(3)点P(1,4)或(-2,-5).
    【分析】
    (1)3=OC=OA=3OB,故点A、B、C的坐标分别为:(0,3)、(-1,0)、(3,0),即可求解;
    (2)圆的圆心在BC的中垂线上,故设圆心R(1,m),则RA=RC,即:1+(m-3)2=4+m2,解得:m=1,故点R(1,1),即可求解;
    (3)分两种情况讨论,利用等腰直角三角形的性质,即可求解.
    【详解】
    解:(1)令x=0,则y=3,
    则点A的坐标为(3,0),
    根据题意得:OC=3=OA=3OB,
    故点B、C的坐标分别为:(-1,0)、(3,0),
    则抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3),
    把(3,0)代入得-3a=3,
    解得:a=-1,
    故抛物线的表达式为:y=-x2+2x+3;
    (2)圆的圆心在BC的中垂线上,故设圆心R(1,m),
    则RA=RC,即:1+(m-3)2=4+m2,解得:m=1,故点R(1,1),
    则圆的半径为:;
    (3)过点A、C分别作直线AC的垂线,交抛物线分别为P、P1,

    设点P(x,-x2+2x+3),过点P作PQ⊥轴于点Q,
    ∵OA =OC,∠PAC=90°,
    ∴∠ACO=∠OAC=45°,
    ∵∠PAC=90°,
    ∴∠PAQ=45°,
    ∴△PAQ 是等腰直角三角形,
    ∴PQ=AQ=x,
    ∴AQ+AO=x+3=-x2+2x+3,
    解得:(舍去),
    ∴点P(1,4);
    设点P1(m,-m2+2m+3),过点P1作P1D⊥轴于点D,
    同理得△P1CD是等腰直角三角形,且点P1在第三象限,即m

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