初中数学沪科版八年级上册12.4 综合与实践 一次函数模型的应用教学设计及反思

12.4 综合与实践  一次函数模型的应用

教学目标:

    1.学会建立一次函数模型的方法； 

2.能用一次函数解决简单的实际问题； 

3.能结合对函数的关系式的分析，尝试对变量的变化规律进行预测。

教学重点：建立一次函数的模型。

教学难点：建立一次函数的模型，解决实际问题。

教学过程：

一.      引入：求一次函数解析式是我们本学期函数学习的主要内容，掌握建立一次

函数模型以及在实际问题中利用一次函数解决问题，才是我们学习的目的。现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来表示数量关系和变化规律，并求出结果和讨论结果的意义。下面，我们一起看看昨天大家写的学案。

二、学案初步学习讲解

2、小明根据某个一次函数关系式填写了下表:

其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该空格里原来填的数是多少？解释你的理由。

解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.

∵当x=0时，y=1，当x=1时，y=0.

所以当x=-1时，y=4。

3、为了提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，王强同学做了水龙头漏水实验，他用于接水的量筒最大容量为100毫升。他在做实验时，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如表：（漏出的水量精确到1毫升）。

（1）如果王强同学继续试验，请探究多少秒后量筒中的水会满而溢出。

（2）按此漏水速度，一小时会漏水多少千克？（精确到0.1千克）

解：按下面步骤解决上述问题。

①在这个问题中有几个变量？自变量和因变量是什么？它们之间是函数关系吗？

解：有两个变量，自变量是时间t，因变量是漏出的水量V。它们之间是函数关系。

②根据实验得到的数据，把时间和漏水量的每一组对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标系中描出这些点。

解：

③观察这些点的分布有什么特点？从而猜测出时间t和漏水量V之间是什么函数关系？

解：这些点的分布近似一条直线，我们可以推测漏水量V和时间t之间是一次函数关系。

④     根据已知数据用待定系数法求函数的表达式。

解：“设V与t的函数关系式为V=kt+b，
根据表中数据知：当t=10时，V=2；当t=20时，V=5，
所以，
解得：，
所以V与t的函数关系式为

⑤用所求的函数解决实际问题。

解（1）由题意得：   解得

所以337秒后，量筒中的水会满面开始溢出；
（2）一小时会漏水×3600﹣1=1079（毫克）=1.079（千克）≈1.1千克；

三、学案深化学习讲解

例1、（P57问题1）奥运会每4年举办一次，奥运会的游泳记录在不断地被突破，如男子400m自由泳项目，1996年奥运会冠军的成绩比1960年的提高了约30s.下面是该项目冠军的一些数据：

根据上面资料，能否估计2012年伦敦奥运会时该项目的冠军成绩？

按下面步骤解决上述问题

（1）在这个问题中有几个变量？自变量和因变量是什么？它们之间是函数关系吗？

解：有两个变量，自变量是年份x，因变量是冠军成绩y。它们之间是函数关系。

（2）以年份为x轴，每4年为一个单位长度，1980年为原点，1980年对应的成绩是231.31s，那么在坐标系中得到的点为（0，231.31）。请写出其他各组数据在坐标系中对应的点的坐标，并在坐标系中描出这些点。

（3）观察描出的点的分布情况，猜测两个变量x、y之间是何种函数关系？

解：它们之间是一次函数关系。

（4）用待定系数法求出函数的解析式。

解：这里我们选取从原点向右的第三个点（1，231.23）及第7个点（7，221.86）的坐标代入y=kx+b中,得

解方程组可得：k=-1.63,   b=232.86

所以，一次函数的解析式为：y=-1.63x+232.86

（5）根据所得的函数预测2012年和2016年两届奥运会的冠军成绩。

解：当把1980年的x值作为0，以后每增加4年得x的一个值，这样2012年时的x值为8，把x=8代入上式，得y=-1.63×8+232.86=219.82(s)

这样2012年时的x值为9，把x=9代入上式，得y=-1.63×9+232.86=218.19(s)

四、本课小结

【小结】通过上面的探究，总结出建立函数模型来解决实际问题的步骤：

（1） 将实验得到的数据在直角坐标系中描出；

（2）观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式；

(3)进行检验；                                     

（4）应用函数模型解决问题。                                         

五、作业布置