初中数学沪科版八年级上册15.4 角的平分线课堂教学ppt课件
展开分成两个相等的角,
这条射线叫做这个角的平分线。
在半透明的纸上画∠BAC,对折,使角的两条边完全重合,然后用直尺画出折痕OD。 从上面试验可以看出,角是轴对称图形,对称轴是它的角平分线所在的直线。
不利用作图工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,又该怎么办呢?
用尺规作图的方法作出角的平分线。
已知:如图,∠AOB。求作:∠AOB的平分线。
1.以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N。
2.分别以M、N为圆心。大于1/2MN的长为半径作弧。两弧在∠AOB的内部交于C。
3.作射线OC。
过直线上一点作这条直线的垂线
1.以C为圆心,适当长为半径作弧,交AB于D,E。
2.分别以D,E为圆心。大于 1/2 DE的长为半径作弧。两弧交于F。
3.作直线FC,直线FC,即为所求。
过直线外一点作这条直线的垂线
1.任意取一点K,使K和C在AB两旁。
3.分别以D、E为圆心。大于1/2DE的长为半径作弧。两弧交于F。
4.作直线FC,即为所求。
2.以C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于D、E。
已知:如下图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E。求证:PD=PE。
定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。
∵ OC是∠AOB的平分线(已知),
∴∠1=∠2(角平分线的定义)。
∵PD⊥OA,PE⊥OB(已知),
∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。
在△PDO和△PEO中,
∠PDO=∠PEO (已证),
OP=OP(公共边),
∴△PDO≌△PEO (AAS)。
已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,点D、E为垂足,PD=PE。求证:点P在∠AOB的平分线上。
证明:PD⊥OA,PE⊥OB,点D、E为垂足,
在Rt△PDO与Rt△PEO中
∴∠PDO=∠PEO=90°
∴Rt△PDO≌△PDO
∴∠1=∠2即点P在∠AOB的平分线上。
反过来,到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?
角平分线的判定定理: 角的内部到角两边的距离相等的点在这个角平分线上。
角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径。
已知:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。 求证:点P在∠BAC的角平分线上。
证明: 过点P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F, ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上。 ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等) 同理,PE=PF ∴PD=PF ∴AP平分∠BAC
已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。求证:点F在∠DAE的平分线上。
1.画一个已知角的角平分线;
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
3.角平分线的判定结论:
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
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