湖南省长沙市2022届高三新高考适应性考试（1月）数学含答案

长沙市2022学年新高考适应性考试

数　　学

(满分：150分　考试时间：120分钟)

2022．1

一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩B＝(　　)

A. [－1，＋∞)    B. [1，3]    C. [－1，1)    D. (1，3]

2. 已知i为虚数单位，若复数z＝，则|iz|＝(　　)

A. 1    B.     C.     D. 2

3. 若数列{an}的前n项和为Sn＝3n2＋2n＋a，则“a＝0”是“数列{an}为等差数列”的(　　)

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

4. 函数y＝(1＋cos x)(x－)在(－5，0)∪(0，5)上的图象大致为(　　)

5. 已知sin (＋2α)＝，则cos (－2α)＝(　　)

A.     B. －    C.     D. ±

6. 若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝x有交点，则其离心率的取值范围是(　　)

A. (2，＋∞)    B. (1，2]    C. (1，2)    D. [2，＋∞)

7. 已知m，n，s，t∈R*，m＋n＝4，＋＝9，其中m，n是常数，且s＋t的最小值是，点M(m，n)是曲线＋＝1的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为(　　)

A. x－4y＋6＝0    B. 4x－y－6＝0

C. 4x＋y－10＝0    D. x＋4y－10＝0

8. 数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若AB＝4，AC＝2，则下列各式不正确的是(　　)

A. ·－4＝0    B. 2＝－

C. ·＋6＝0    D. ＝＋＋

二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若ab＜0，则下列结论正确的是(　　)

A. a2＋b2≥2ab    B. a＋b＜0

C. a(a－b)＞0    D. ＞2

10. 下列选项正确的是(　　)

A. 若n∈N*，则C＋C＋…＋C＝2n

B. 若二项式(5x－)n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项是第5项

C. 若p：∃n∈N，n2＞2n，则p：∀n∈N，n2≤2n

D. 设随机变量ζ～N(2，σ2)，若P(ζ＜3a－2)＝P(ζ＞a＋1)，则a＝1

11. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，N为底面ABCD的中点，P为棱A1D1上的动点(不包括两个端点)，M为线段AP的中点，则下列结论正确的是(　　)

A. CM与PN是异面直线

B. ||＞||

C. 过P，A，C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形

D. 平面PAN⊥平面BDD1B1

12. 若存在，则称为二元函数z＝f(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数，记为f′x(x0，y0)；

若存在，则称为二元函数z＝f(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数，记为f′y(x0，y0).

若二元函数z＝f(x，y)＝x2－2xy＋y3(x＞0，y＞0)，则下列结论正确的是(　　)

A. f′y(1，2)＝10

B. f′x(1，2)＝－2

C. f(x，y)的最小值为－

D. f′x(m，n)＋f′y(m，n)的最小值为－1

三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数f(x)＝ex－1的图象在点(0，f(0))处的切线方程为____________．

14. 某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据列(个数x，加工时间y)为：(10，62)，(20，a)，(30，75)，(40，81)，(50，89).若用最小二乘法求得其回归直线方程为y＝0.67x＋54.9，则a的值为________．

15. 已知事件A，B，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，如果A与B互斥，令m＝P(AB)；如果A与B相互独立，令n＝P(A)，则n－m＝________．

16. 已知函数f(x)＝x2，g(x)＝2a|x－1|，a为常数．若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f(x1)－f(x2)＜g(x1)－g(x2)，则实数a的取值范围是________．

四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分10分)

若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c＝2，2b cos B＝c cos A＋a cos C，且△ABC的面积S＝，求b.

18.(本小题满分12分)

已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*).

(1) 求证：数列{an＋1}是等比数列；

(2) 设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.

19.(本小题满分12分)

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，若平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，平面BCC1B1⊥平面ABC1.

(1) 求证：AB⊥BB1；

(2) 记平面ABC1与平面A1B1C1所成角为α，直线AC1与平面BCC1B1所成角为β，异面直线AC1与BC所成角为φ，当α，β满足cos α·cos β＝m(0＜m＜1，m为常数)时，求sin φ的值．

20. (本小题满分12分)

2022年电商即将开展“欢度春节”促销活动，某电商为了尽快占领市场，对某地区年龄在10到70岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：(年龄单位：岁)

(1) 若以40岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？

(2) 若从年龄在[50，60)，[60，70]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用网上购物”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

参考公式和数据：

K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

21.(本小题满分12分)

已知离心率为的椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，△PF1F2的周长为6，且F1为抛物线C2：y2＝－2px(p＞0)的焦点．

(1) 求椭圆C1与抛物线C2的方程；

(2) 过椭圆C1的左顶点Q的直线l交抛物线C2于A，B两点，点O为原点，射线OA，OB分别交椭圆于C，D两点，△OCD的面积为S1，△OAB的面积为S2.则是否存在直线l使得S2＝S1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22.(本小题满分12分)

已知＜b＜1，函数f(x)＝ex－x－2b，其中e＝2.718 28…为自然对数的底数．

(1) 求函数y＝f(x)的单调区间；

(2) 记x0为函数y＝f(x)在(0，＋∞)上的零点，求证：＜x0＜.

数学参考答案及评分标准

1. D　2. B　3. C　4. B　5. C　6. A　7. A　8. A　9. AC　10. BC　11. BD　12. ABC

13. x－ey＋1＝0　14. 68　15. 0.4　16. [0，1]

17. 解：由2b cos B＝c cos A＋a cos C，

根据正弦定理，有2sin B cos B＝sin C cos A＋sin A cos C，(2分)

即2sin B cos B＝sin (A＋C)＝sin B．(4分)

由B∈(0，π)，sin B≠0，所以cos B＝，故B＝.(6分)

由△ABC的面积S＝ac sin B＝×a×2sin ＝，解得a＝＋1.(8分)

根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋2＋4－2(＋1)×2×＝6，

故b＝.(10分)

18. (1) 证明：依题意，由an＋1＝2an＋1，可得an＋1＋1＝2(an＋1)，(4分)

∴ 数列{an＋1}是以2为公比的等比数列．(5分)

(2) 解：由(1)得an＋1＝(a1＋1)·2n－1，又a1＝1，∴an＝2n－1，∴bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·(2n－1)＝(2n－1)·2n－(2n－1).(6分)

构造数列{dn}：令dn＝(2n－1)·2n，则bn＝dn－(2n－1).

设数列{dn}的前n项和为Sn，则Sn＝d1＋d2＋…＋dn＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，

2Sn＝1·22＋3·23＋…＋(2n－1)·2n＋1，两式相减，可得

－Sn＝1·21＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1＝2＋23＋24＋…＋2n＋1－(2n－1)·2n＋1

＝2＋－(2n－1)·2n＋1＝(3－2n)·2n＋1－6，

∴Sn＝(2n－3)·2n＋1＋6，(10分)

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(d1－1)＋(d2－3)＋…＋[dn－(2n－1)]

＝(d1＋d2＋…＋dn)－[1＋3＋…＋(2n－1)]

＝Sn－＝(2n－3)·2n＋1＋6－n2.(11分)

∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6－n2.(12分)

19. (1) 证明：∵BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1.

又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，

∴BC⊥平面ABB1A1，∴AB⊥BC.(3分)

过点C作CO⊥BC1，∵ 平面BCC1B1⊥平面ABC1，平面BCC1B1∩平面ABC1＝BC1，CO⊂平面BCC1B1，

∴CO⊥平面ABC1.

又AB⊂平面ABC1，∴AB⊥CO.∵AB⊥BC，CO∩BC＝C，∴AB⊥平面BCC1B1.

由BB1⊂平面BCC1B1，

∴AB⊥BB1.(6分)

(2) 解：由棱柱知AB∥A1B1，又AB⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1.

以B1为原点，B1A1，B1B，B1C1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系B1xyz，

 不妨设B1A1＝a，B1B＝b，B1C1＝c，

则＝B1A1＝(a，0，0)，BC1＝(0，－b，c)，

设n1＝(x1，y1，z1)为平面ABC1的法向量，

则∴x1＝0.

令y1＝c，则z1＝b，∴n1＝(0，c，b).

取平面A1B1C1的一个法向量n＝(0，1，0)，∴ cos α＝|cos 〈n1，n〉|＝，(8分)

取平面BCC1B1的一个法向量n2＝(1，0，0)，

由C1A＝(a，b，－c)，∴ sin β＝|cos 〈C1A，n2〉|＝，

∴ cos β＝，则cos αcos β＝，(9分)

|cos 〈C1A，〉|＝cos φ＝＝，(10分)

∴ cos φ＝cos αcos β.(11分)

∵ cos αcos β＝m且m∈(0，1)，φ∈(0，)，

∴ sin φ＝＝，

故sinφ＝为所求．(12分)

(其他解法根据相应步骤酌情给分)

20. 解：(1) 由统计表可得，年龄低于40岁的人数为70，不低于40岁的人数为30，可得列联表如下．

(2分)

于是有K2的观测值

K2＝＝≈14.286＞10.828，(4分)

故可以在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关．(5分)

(2) 由题意可知，X的所有可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，(9分)

于是X的分布列为

(10分)

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)

21. 解：(1) 由题意得解得

∴ 椭圆的方程为＋＝1，抛物线的方程为y2＝－4x.(4分)

(2) 由题意得直线l的斜率不为0，

设直线l的方程为x＝my－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).

由得y2＋4my－8＝0，y1＋y2＝－4m，y1y2＝－8.(6分)

∵S2＝S1，

∴＝＝＝·＝＝.

∵y＝－4x1，∴ 直线OA的斜率为＝－，即直线OA的方程为y＝－x.

由得y＝，(8分)

同理可得y＝，y·y＝×＝，(10分)

∴ ()2＝＝＝，得m＝±1，(11分)

∴ 存在直线l，方程为x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0.(12分)

22. 解：(1) 由题意，知f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－1.(1分)

令f′(x)＞0，得ex＞1，∴x＞0；(2分)

令f′(x)＜0，得ex＜1，∴x＜0，(3分)

故f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0).(4分)

(2) 由(1)知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

且当1＜2b＜2时，f(0)＝1－2b＜0，f(2)＝e2－2－2b＞e2－4＞0，

∴ 由零点存在性定理得f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点x0，且x0∈(0，2)，(5分)

∴ ex0－x0－2b＝0，即2b＝ex0－x0，

要证明的不等式等价于ex0－x0－1＜x＜2(ex0－x0－1).

设h(x)＝ex－x－1－(0＜x＜2)，(7分)

则h′(x)＝ex－1－x＝h1(x)，h′1(x)＝ex－1＞0，

∴h′(x)＞h′(0)＝0，∴h(x)在(0，2)上单调递增，∴h(x)＞h(0)＝0，

∴ ex－x－1－＞0，∴ 当x∈(0，2)时，2(ex－x－1)＞x2成立；(8分)

∵ 1＜2b＜2，∴ 2b－1＜1，∴ 当x0≥1时，＜x0成立，(9分)

因此只需证明：当0＜x＜1时，ex－x－1－x2＜0.

设g(x)＝ex－x－1－x2，

因为g′(x)＝ex－1－2x＝g1(x)，g′1(x)＝ex－2，令g′1(x)＝0⇒x＝ln 2.

当x∈(0，ln 2)时，g′1(x)＜0，

当x∈(ln 2，1)时，g′1(x)＞0，

∴g′(x)＜max{g′(0)，g′(1)}．

∵g′(0)＝0，g′(1)＝e－3＜0，∴g′(x)＜0，

∴g(x)在(0，1)上单调递减，∴g(x)＜g(0)＝0，∴ ex－x－1＜x2，

∴ 当x∈(0，2)时，ex－x－1＜x2成立．(11分)

综上可得ex0－x0－1＜x＜2(ex0－x0－1)，即＜x0＜.(12分)