专题23 竖直面内圆周运动的动力学问题 2022届高中物理常考点归纳 (1)二轮复习

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常考点 竖直面内圆周运动的动力学问题题型分类
【典例1】
如图所示，飞机特技表演既震撼又刺激一质量为m的飞行员驾驶飞机在竖直面内做匀速圆周运动，飞行至
最低点时飞行员对座椅的压力大小为N1，飞行至最高点时飞行员对座椅的压力大小为N2，已知重力加速度
为g，则N1与N2大小之差为（ ）
A．0B．2mgC．4mgD．6mg
【解析】飞机在最高点和最低点均只受重力和支持力作用，最高点时受支持力为N′1，最低点受支持力为N′2；由牛顿第二定律得在最低点有N′1﹣mg＝，在最高点有N′2+mg＝，联立解得N′1﹣N′2＝2mg，根据牛顿第三定律可知，压力大小之差等于支持力之差，为2mg，故B正确，ACD错误。
【典例2】
如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，其质量为M，有一质量为m的小球以水平速度v0从圆轨道最低点A开始向左运动，小球沿圆轨道运动且始终不脱离圆轨道，在此过程中，铁块始终保持静止，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（ ）
A．地面受到的压力始终大于Mg
B．小球到达与圆心等高的B点时对铁块一定有作用力
C．经过最低点A时地面受到的压力可能等于Mg+mg
D．小球在圆轨道最高点C点时，地面受到的压力可能为0
【解析】A、小球在由B经C到D的运动过程中对M的作用力在竖直方向有向上的分力，此时地面受到的压力小于Mg，故A错误；
B、如果小球只能在下半圆运动，那么小球到达与圆心等高的B点时速度为零，此时对铁块无作用力，故B错误；
C、由于小球在A点的向心加速度向上，则小球对M的压力大于mg，则地面受到的压力大于Mg+mg，故C错误；
D、当小球在最高点的向心力等于Mg+mg＝m时，小球对M的压力竖直向上等于Mg，此时地面受到M的压力为0，故D正确。
1． 竖直面内的变速圆周运动
2． 过拱形桥问题
【变式演练1】
（多选）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆
周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F一v2图象如
图乙所示．不计空气阻力，则（ ）
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，杆对小球的弹力方向向下
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小不相等
【解析】A、在最高点，若v＝0，则N＝mg＝a；若N＝0，则mg＝m，解得g＝，m＝R，故A正确，B错误；
C、由图可知：当v2＜b时，杆对小球弹力方向向上，当v2＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2＝c时，杆对小球弹力方向向下，所以小球对杆的弹力方向向上，故C正确；
D、若c＝2b。则N+mg＝m，解得N＝a＝mg，故D错误。
【变式演练2】
汽车在崎岖不平的道路上以相同的速率行驶，假设道路如图所示，汽车最容易爆胎的位置是（ ）
A．A处B．B处C．C处D．D处
【解析】在A处，重力的分力和支持力充当向心力，则有：mgcsθ﹣N＝m，解得N＝mgcsθ﹣m＜mg在最高点B处，类似于拱桥，则由牛顿第二定律有：mg﹣N＝m，解得：N＝mg﹣m＜mg。
在最低点C处类似于凹桥，则有：N﹣mg＝m，解得：N＝mg+m＞mg。
在水平面D处，N＝mg；
则可知同样的速率，在C处汽车所受的支持力最大，C处最容易爆胎，故C正确，A、B、D错误。
1.“荡秋千”是小孩常玩的游戏之一。小孩在荡秋千的过程中，若空气阻力忽略不计，下列说法正确的是（ ）
A．小孩运动到最高点时加速度为零
B．小孩所受合外力始终指向其做圆周运动的圆心
C．小孩运动过最低点时秋千对小孩的作用力大于其所受重力
D．小孩运动过最低点时秋千对小孩的作用力等于其所受重力
【解析】A、小孩运动到最高点时，速度为零，受重力和拉力的作用，沿轨迹半径方向的拉力大于重力的分力，沿轨迹切线方向有重力的分力，合力均不为零，则加速度不为零，故A错误；
B、匀速圆周运动的合力始终指向其做圆周运动的圆心，而小孩从最高点到最低点，速度逐渐增加，其运动不是匀速圆周运动，所以小孩所受合外力并没有始终指向其做圆周运动的圆心，故B错误；
CD、小孩运动过最低点时，小孩受到竖直向下的重力以及向上的拉力，而重力和秋千拉力的合力提供圆周运动的向心力，那么秋千对小孩的作用力大于其所受重力，故C正确，D错误。
2.北京时间2月25日消息，2019年体操世界杯墨尔本站男子单杠单项的决赛，中国体操队选手张成龙获得铜牌。假设张成龙训练时做“单臂大回环”的高难度动作时，用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。如图甲所示，张成龙运动到最高点时，用力传感器测得张成龙与单杠间弹力大小为F，用速度传感器记录他在最高点的速度大小为v，得到F﹣v2图像如图乙所示。g取10m/s2，则下列说法中错误的是（ ）
A．张成龙的质量为65kg
B．张成龙的重心到单杠的距离为0.9m
C．当张成龙在最高点的速度为4m/s时，张成龙受单杠的弹力方向向上
D．当张成龙在最高点的速度为4m/s时，张成龙受单杠的弹力方向向下
【解析】A、对张成龙在最高点进行受力分析，由F﹣v2图像可知，v2＝0，F﹣mg＝0，则张成龙的质量为：m＝＝kg＝65kg，故A正确；
B、由F﹣v2图像知，v2＝9m2/s2，F＝0时，重力提供向心力，设张成龙的重心到单杠的距离为r，根据牛顿第二定律得：mg＝m，代入数据解得张成龙的重心到单杠的距离：r＝0.9m，故B正确；
CD、当张成龙在最高点的速度为4m/s时，设他受单杆的弹力方向向下，根据牛顿第二定律得：F+mg＝m，代入数据解得：F＝505.5N≈506N，方向竖直向下，故C错误，D正确。
3．如图所示，长为L的轻质细绳一端固定在O点，O点离地高度为H，另一端系一质量为m的小球，将细绳拉至水平，由静止释放小球，小球到达最低点时，细绳刚好被拉断，小球水平飞出。若忽略空气阻力，则（ ）
A．细绳所能承受的最大拉力F＝2mg
B．改变绳长L，则L越大小球落地时的速度越大
C．改变绳长L，当L＝时，小球平抛过程中的水平位移最大
D．当L＝时，小球在下落过程中重力的最大功率为mg
【解析】A、下摆过程，根据机械能守恒定律，有：mgL＝，
解得：v＝；
产生拉力和重力的合力提供向心力，故：F﹣mg＝m，
解得：F＝3mg；故A错误；
B、对运动全过程，根据机械能守恒定律，有：mgH＝，
故，与绳长L无关，故B错误；
C、对平抛运动，有：x＝vt，H﹣L＝，
联立得到：x＝2，
故当，即L＝时，x最大，故C正确；
D、重力的瞬时功率等于重力与竖直方向分速度的乘积，落地的瞬时速度最大，为，
故任意位置的速度的竖直分量均小于，故小球在下落过程中重力的最大功率一定小于mg。
4．如图所示，一质量为m的小物块沿竖直面内半径为R的圆弧轨道下滑，滑到最低点时的瞬时速度为v，若小物块与轨道的动摩擦因数是μ，则当小物块滑到最低点时受到的摩擦力为（ ）
A．μmgB．μmC．μ（mg﹣m）D．μ（mg+m）
【解析】由于物体在轨道最低点受重力和支持力作用，两力的合力充当向心力，且合力方向向上，则有：FN﹣mg＝m；
所以物块对轨道的压力FN＝mg+m；根据滑动摩擦力公式f＝μFN可知，f＝μ（mg+m），故D正确ABC错误。
5．应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入。例如你用木板平托一物块，保持这样的姿势在竖直平面内以速率v按顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动。假设t＝0时刻物块在最低点a且重力势能为零，关于物块从最低点a运动到最高点c的过程，下列说法正确的是（ ）
A．物块在最高点c受到木板的支持力为
B．物块的重力势能随时间的变化关系为
C．物块在最左侧b点时，木板对物块的作用力方向竖直向上
D．物块在运动过程中的加速度不变
【解析】A、物块在最高点c时，受竖直方向的重力mg和支持力N，它们的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：mg﹣N＝m，解得支持力：N＝mg﹣m，故A错误；
B、在t时刻，物块相对于a点的高度为：h＝R（1﹣csωt）＝R[1﹣cs（t）]，则物块的重力势能随时间的变化关系为：Ep＝mgh＝mgR[1﹣cs（t），故B正确；
C、物块在最左侧b点时，木板对物块的作用力提供向心力，方向指向圆心，即水平向右，故C错误；
D、由于物块做匀速圆周运动，所以物块在运动过程中的加速度大小不变，但方向一直指向圆心，故D错误。
6．如图所示质量为1kg的滑块从半径为50cm的半圆形轨道的边缘A点滑向底端B，此过程中，摩擦力做功为﹣3J．若滑块与轨道间的动摩擦因数为0.2，则在B点时滑块受到摩擦力的大小为（重力加速度g取10m/S2）（ ）
A．3.6NB．2NC．2.6ND．2.4N
【解析】由A到B过程，由动能定理可得：mgR﹣Wf＝mv2﹣0，
在B点由牛顿第二定律得：F﹣mg＝m，
滑块受到的滑动摩擦力为：f＝μF，
解得：f＝3.6N
7．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，如图甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一个圆，在极限情况下，这个圆叫做A点的曲率圆，其半径叫做A点的曲率半径。现将一物体沿着与水平面成α角的方向以某一速度从地面抛出，如图乙所示，其轨迹最高点P离地面的高度为h，曲率半径为，忽略空气阻力，则tanα的值为（ ）
A．B．C．2D．4
【解析】物体可以看成从P点向左侧的平抛运动，物体在其轨迹最高点P处只有水平速度，其水平速度大小为v0csα，
在最高点，把物体的运动看成圆周运动的一部分，物体的重力作为向心力，由向心力的公式得：
mg＝m
解得：v0csα＝
竖直方向自由落体，则h＝，
可知v0sinα＝gt＝
则tanα＝＝＝2，故C正确，ABD错误。
8．如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。它可等效为一质点在圆轨道外侧运动模型，如图乙所示。在竖直面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，当质点以速率通过A点时，对轨道的压力为其重力的6倍，不计摩擦和空气阻力，质点质量为m，重力加速度为g，则（ ）
A．质点在A点对轨道的压力小于在B点对轨道的压力
B．强磁性引力的大小为6mg
C．只要质点能做完整的圆周运动，则质点对A、B两点的压力差恒为7mg
D．为确保质点做完整的圆周运动，则质点通过B点的最大速率为
【解析】AC、质点能完成圆周运动，在A点：根据牛顿第二定律有：F+mg﹣NA＝m，根据牛顿第三定律有：NA＝NA′；
在B点，根据牛顿第二定律有：F﹣mg﹣NB＝m，根据牛顿第三定律有：NB＝NB′；
从A点到B点过程，根据机械能守恒定律有：mg•2R＝mv。
联立解得：NA′﹣NB′＝6mg，故AC错误；
B、在A点，对质点，由牛顿第二定律有：mg+F﹣6mg＝m，根据牛顿第三定律有：FA＝6mg，强磁性引力的大小为6mg，故B正确；
D、若磁性引力大小恒为F，在B点，根据牛顿第二定律：F﹣mg﹣FB＝m，当FB＝0，质点速度最大，vB＝。
9．如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，一质量为M的小孩坐在座舱里，则（ ）
A．小孩运动周期为
B．线速度的大小大于ωR
C．在A位置小孩受座舱作用力的大小为Mg
D．小孩所受合力大小始终为Mω2R
【解析】A、根据角速度和周期的关系可知，周期T＝，故A错误；
B、线速度大小v＝ωR，故B错误；
C、在A位置，由于小孩的重力Mg和座舱对小孩的作用力F充当合外力，故座舱对小孩的作用力F不等于Mg，故C错误；
D、小孩做匀速圆周运动，受到的合外力充当向心力，故合力大小F＝Mω2R，故D正确。
10．如图所示，长为0.5m的轻质细杆，一端固定一个质量为2kg的小球，使杆绕0点在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点的速率为2m/s，g取10m/s2．关于球在不同位置受杆的作用力，下列判断正确的是（ ）
A．小球通过最高点时，杆对小球向下的拉力大小是16N
B．小球通过最高点时，杆对小球向上的支持力大小是4N
C．小球通过最低点时，杆对小球向上的拉力大小是32N
D．小球通过最低点时，杆对小球向上的拉力大小是30N
【解析】AB．设小球在最高点时，重力刚好能提供向心力时，小球的速度为v，根据牛顿第二定律有，解得，由于v1＝2m/s＜v，所以杆在最高点对小球产生支持力，方向向上，设大小为N，由牛顿第二定律有，代入数据可得N＝4N，故B正确，A错误；
CD．设小球运动到最低点的速度为v2，由动能定理有，设杆对小球的拉力为F，根据牛顿第二定律有：，联立可得F＝116N，故CD错误。
11．如图所示，一辆质量为m的汽车通过拱形桥最高点的速率为v。桥面的圆弧半径为R，重力加速度为g，则汽车在拱形桥最高点时对桥面的压力大小为（ ）
A．mB．mgC．mg﹣mD．mg+m
【解析】根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力大小等于桥对汽车的支持力大小
对汽车受力分析，受重力和支持力，由于汽车做圆周运动，故竖直方向上的合力提供向心力，有
mg﹣FN＝m
解得
FN＝mg﹣m，故C正确，ABD错误。轻绳模型（没有支撑）
轻杆模型（有支撑）
常见
类型
过最高点的临界条件
由mg＝meq \f(v2,r)得v临＝eq \r(gr)
由小球能运动即可得v临＝0
对应最低点速度v低≥
对应最低点速度v低≥
绳不松不脱轨条件
v低≥或v低≤
不脱轨
最低点弹力
F低-mg =mv低2/r
F低=mg+mv低2/r，向上拉力
F低-mg =mv低2/r
F低=mg+mv低2/r，向上拉力
最高点弹力
过最高点时，v≥eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、轨道对球产生弹力FN＝meq \f(v2,r)-mg
向下压力
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力
(2)当0＜v＜eq \r(gr)时，－FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN向上支持力，随v的增大而减小
(3)当v＝eq \r(gr)时，FN＝0
(4)当v＞eq \r(gr)时，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN为向下压力并随v的增大而增大
在最高
点的FN
图线
取竖直向下为正方向
取竖直向下为正方向
拱形桥
圆轨外侧
凹形桥
示意图
v
作用力
最高点(失重)：FN＝G－mv2/R，可知：
（1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G；
（2）当汽车的速度增大到mv2/R=mg 即v= 时，FN=0，汽车在桥顶只受重力G，又具水平速度V，因此开始做平抛运动；
（3）当0≤v≤时，0≤FN≤mg，且速度v越大，FN越小；
（4）当v>时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运动，即所谓的“飞车”。
最高点(超重)：FN＝G+mv2/R可知：
（1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G；
（2）当汽车的速度v≠0时，FN>mg，且速度v越大，FN越大。