专题25 开普勒三定律与万有引力定律 2022届高中物理常考点归纳二轮复习

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常考点 开普勒三定律与万有引力定律详解及解题方法分析
【典例1】
（多选）2021年5月15日，天问一号火星探测器成功着陆火星，7天后祝融号火星车驶上火星，开启了火星表面巡视探测之旅。我国火星探测任务实现了人类航天器首次在一次任务中完成火星环绕、着陆与巡视探测。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，公转轨道半径约为地球公转轨道半径的，则（ ）
A．火星的公转周期大于地球的公转周期
B．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
C．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
D．同一物体在火星表面受到的引力大于在地球表面受到的引力
【解析】A、火星的公转半径大于地球的公转半径，根据开普勒第三定律＝k知火星的公转周期大于地球的公转周期，故A正确；
B、设行星的质量为M，半径为R，该行星的第一宇宙速度为v，根据万有引力提供向心力，得G＝m，得v＝
则火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为＝＝＝＜1，即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故B错误；
C、火星探测器已脱离地球的束缚，所以火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故C正确；
D、根据F＝G得同一物体在火星表面受到的引力与在地球表面受到的引力之比为＝•＝×22＝＜1，则同一物体在火星表面受到的引力小于在地球表面受到的引力，故D错误。
【典例2】
“天问一号“预计于2021年5月中旬着陆火星，着陆前在离火星表面一定高度处的圆轨道上做匀速圆周运
动并做相关探测，若“天问一号“在圆轨道上做圆周运动的周期为T，“天问一号”与火星中心连线在单位
时间内扫过的面积为S，则圆轨道的半径为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设圆轨道半径为r，由题意可知，一个周期内扫过的面积为πr2，
故单位时间内扫过的面积为：
解得：，故A正确，BCD错误。
【典例3】
“嫦娥五号”飞到月球后，轨道舱会继续在原轨道绕月运行，假定“嫦娥五号”轨道舱绕月轨道半径近似
为月球半径。已知地球密度为月球密度的k倍，则地球近地卫星周期与轨道舱绕月飞行周期的比值为（ ）
A．B．C．D．k
【解析】近地卫星绕月飞行，万有提供向心力，
则＝R
可得：T＝
其中M＝ρπR3
则T＝2π＝2π＝
所以＝＝，故A正确，BCD错误。
【技巧点拨】
1． 开普勒行星运动定律
三点说明：
①开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，对于卫星绕行星运转，也遵循类似的运动规律。
②比例系数k与中心天体质量有关，与行星或卫星质量无关，是个常量，但不是恒量，在不同的星系中，k值不相同。
③行星运动近似圆处理。2． 牛顿得出万有引力定律的过程（三个阶段）
第一阶段：行星环绕太阳运动理想化质点围绕太阳做匀速圆周运动
太阳对行星的引力是行星做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律 又因为开普勒第三定律 太阳对行星的引力是跟行星的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比。
第二阶段：由牛顿第三定律
行星对太阳的引力跟太阳的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比。即
行星与太阳间的引力大小跟这两者的质量的乘积成正比，而与它们距离 的平方成反比。即
将其写成等式，则为
第三阶段：月地检验。牛顿在研究了太阳与行星间的引力关系后认为，太阳、行星都不是特殊天体，因此他认为这一规律也应适用于其它天体间，其它物体间。
3． 万有引力定律
(1)公式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，叫做引力常量。
(2)适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离。
4． 重力加速度
5.引力加速度、重力加速度和向心加速度的区别
地球赤道物体：引力加速度=重力加速度+（自转）向心加速度
天上环绕星球：引力加速度=重力加速度=（公转）向心加速度
6． 球体内部万有引力的两个有用推论
(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即ΣF引＝0.
(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2).
7． 黄金代换与抛体、圆周运动的综合
①黄金代换（g为星球表面重力加速度）
②自由落体运动；
③竖直上抛上升时间；上升高度
④平抛运动水平射程
⑤竖直面单层轨道通过最高点的临界速度
8． 星球瓦解问题
重力是万有引力的一个分力，地球赤道上物体的重力mg＝－mRω自2，假设地球自转加快，即ω自变大物体的重力将变小。当=mRω自2时，mg=0，此时地球赤道上的物体无重力，要开始“飘”起来了，若自转继续加快，星球即将瓦解。可求得：
①瓦解临界角速度ω瓦==；
②瓦解临界周期T瓦=；
③瓦解临界密度ρ瓦= 。
【变式演练1】
如图，地球在椭圆轨道上运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。A、B、C、D是地球运动轨道上的四个位置，
其中A距离太阳最近，C距离太阳最远；B和D点是弧线ABC和ADC的中点。则地球绕太阳（ ）
A．做匀速率的曲线运动
B．经过A点时的加速度最小
C．从B经A运动到D的时间小于从D经C运动到B的时间
D．从A经D运动到C的时间大于从C经B运动到A的时间
【解析】A、由开普勒第二定律，地球在近日点的速度大，在远日点的速度小，故A错误。
B、根据公式得，可知A点的加速度最大，故B错误。
C、由A可知，地球在近日点的速度大，远日点的速度小，所以从B经A运动到D的时间小于从D经C运动到B的时间，故C正确。
D、由C可知，从A经D运动到C的时间等于从C经B运动到A的时间，故D错误。
【变式演练2】
如图所示，地球和某小行星绕太阳做匀速圆周运动，地球和小行星做匀速圆周运动的半径在之比为1：4，
不计地球和小行星之间的相互影响以及其它天体对该系统的影响。此时地球和小行星距离最近，下列说法
错误的是（ ）
A．小行星绕太阳做圆周运动的周期为8年
B．地球和小行星的线速度大小之比为2：1
C．至少经过年，地球和小行星距离再次最近
D．经过相同时间，地球、小行星圆周运动半径扫过的面积之比为2：1
【解析】A、根据万有引力提供圆周运动向心力可得，解得行星的公转周期T＝，
地球和行星做匀速圆周运动的半径r1、r2之比为r1：r2＝1：4，地球公转周期为1年，故行星公转周期为8年，故A正确；
B、万有引力提供圆周运动向心力可得，解得行星的线速度，
地球和行星做匀速圆周运动的半径r1、r2之比为r1：r2＝1：4，可得地球和行星的线速度大小之比为2：1，故B正确；
C、地球周期短，故当地球比行星多转动一周时，地球将再次位于太阳和行星之间，即，解得t＝，
即至少经过年，地球和行星距离再次最近，故C正确；
D、行星与太阳连线在时间t内扫过的面积为S＝，地球和行星的线速度大小之比为2：1，地球和行星做匀速圆周运动的半径r1、r2之比为r1：r2＝1：4，则经过相同时间，地球、行星圆周运动半径扫过的面积之比为1：2，故D错误。
1．若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设星球的质量为M，半径为R，卫星的质量为m，运行周期为T，在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星所需的向心力由星球对其的万有引力提供，则根据牛顿第二定律得：G＝m①
星球的密度：②
联立①②解得T＝，故A正确，BCD错误。
2．在浩瀚的天空，有成千上万颗的人造天体一直在运行。为研究某未知天体，人类发射了一颗探测器围绕该天体做圆周运动，如图所示。若测得该天体相对探测器的张角为θ，探测器绕该天体运动的周期为T，引力常量为G，则该天体的密度为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设该天体的质量为M，半径为R，探测器的质量为m，探测器绕该天体运动的轨道半径为r，根据万有引力提供探测器匀速圆周运动的向心力，
＝
解得天体的质量为M＝
根据球密度公式：
ρ＝
得：＝
3．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处以相同的速率水平抛出一物体，它们在水平方向运动的距离之比为。已知该行星质量约为地球的5倍，地球的半径为R，由此可知该行星的半径约为（ ）
A．2RB．C．D．
【解析】对于任一行星，设其表面重力加速度为g。
根据平抛运动的规律得：h＝gt2
解得：t＝
则水平射程为：x＝v0t＝v0，解得：g＝
所以该行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为：＝＝
根据万有引力与重力的关系可得：＝mg，则：g＝，
可得：＝
解得：R行＝2R，故A正确，BCD错误。
4．2020年11月嫦娥5号进行了环月球表面飞行，已知嫦娥5号紧贴月球表面飞行一圈所需时间为T，引力常量为G，则可求出的数据是（ ）
A．月球质量B．月球半径
C．月球密度D．嫦娥5号的质量
【解析】设月球半径为R，月球质量为M，探测器质量为，则探测器绕月运行的向心力由探测器和月球间的引力提供，＝，因为月球半径和质量未知，可得月球质量M＝，而其M＝ρV＝，整理可得：，故C正确，ABD错误。
5．一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为（ ）
A．B．C．D．
【解析】卫星受到的万有引力提供向心力，则：
可得地球质量为：M0＝
密度：＝
地球的平均密度为：ρ0＝
若地球不致因自转而瓦解，则地球表面的物体受到的万有引力也是恰好提供向心力，则：
可得地球质量为：M＝
密度：ρ＝＝，
地球的平均密度为：ρ＝
所以球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为：，故ABC错误，D正确。
6．2018年2月12日，中国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第二十八、二十九颗北斗导航卫星。这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，是中国北斗三号工程第五、六颗组网卫星，其距离地表的高度为地球半径的3倍。已知地球的半径为R，地表的重力加速度为g，根据以上信息可以知道，这两颗卫星（ ）
A．线速度为B．角速度为
C．周期为D．向心加速度为g
【解析】A、根据，GM＝gR2得卫星的线速度v＝，故A错误。
B、根据，GM＝gR2得卫星的角速度ω＝，故B正确。
C、卫星的周期为：T＝＝，故C错误。
D、卫星的向心加速度为：a＝，故D错误。
7．北京时间2019年11月5日1时43分，我国成功发射了北斗系统的第49颗卫星，据介绍，北斗系统由中圆地球轨道（MEO）卫星、地球静止轨道（GEO）卫星、倾斜地球同步轨道（IGSO）卫星三种卫星组成，其中（MEO）卫星距地高度大约2.4万公里，（GEO）卫星和（IGSO）卫星距地高度都是大约为3.6万公里，这三种卫星的轨道均为圆形，下列相关说法正确的是（ ）
A．发射地球静止轨道卫星速度应大于11.2km/s
B．倾斜地球同步轨道卫星可以相对静止于某个城市的正上空
C．根据题中信息和地球半径，可以估算出中圆地球轨道卫星的周期
D．中圆地球轨道卫星的加速度小于倾斜地球同步轨道卫星的加速度
【解析】A、11.2km/s是第二宇宙速度，是卫星脱离地球的最小发射速度，故发射地球静止轨道卫星速度应小于11.2km/s，故A错误。
B、倾斜地球同步轨道卫星相对地球表面运动，不能相对静止于某个城市的正上空，故B错误。
C、中圆地球轨道卫星和地球同步卫星均绕地球做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律可知，，其中r＝R+h，已知地球半径R，两颗卫星据地高度h，同步卫星的周期24h，可以估算出中圆轨道卫星的周期，故C正确。
D、根据万有引力提供向心力，，解得加速度a＝，中圆地球轨道卫星的轨道半径小，故加速度大于倾斜地球同步轨道卫星的加速度，故D错误。
8．嫦娥四号是我国探月工程二期发射的月球探测器，也是人类第一个着陆月球背面的探测器。嫦娥四号于2018年12月12日完成近月制动被月球捕获。若探测器近月环绕周期为T，探测器降落到月球表面后，从距月球表面高度为h处由静止释放一物体，测出物体落到月球表面的时间为t，已知月球半径为R，引力常量为G，将月球视为质量均匀分布的球体，通过以上物理量可求得月球的平均密度为（ ）
A．B．C．D．
【解析】物体落到月球表面有：h＝g月t2，月球表面有：G＝mg月，根据密度公式ρ＝，V＝，联立解得：密度ρ＝，
探测器近月环绕运动，根据万有引力提供向心力，有：G＝m，解得：M＝，根据密度公式ρ＝，V＝，联立解得：ρ＝。
故D正确，ABC错误。
9．2020年7月23日，中国首个火星探测器“天问一号”成功升空，要一次性完成“绕、落、巡”三大任务。进入任务使命轨道，开展对火星全球环绕探测，同时为着陆巡视器开展中继通讯，接着，着陆巡视器进入火星大气后，通过气动外形减速、降落伞减速、反推发动机动力减速、多级减速、着陆反冲后，软着陆在火星表面。若“天问一号”被火星捕获后，某阶段进入环绕火星的椭圆轨道Ⅰ上运行，在“近火点”A制动后，后来进入轨道Ⅱ绕火星做匀速圆周运动。“天问一号”在轨道Ⅰ上的运行周期为T1，经过点A时的速率为v1，在轨道Ⅱ上运行的周期为T2，轨道半径为R，运行速率为v2。已知火星质量为M，万有引力常量为G，则（ ）
A．T1＜T2，v1＝v2＝B．T1＜T2，v1＞v2＝
C．T1＞T2，v1＞v2＝D．T1＞T2，v1＜v2＝
【解析】“天问一号”在轨道Ⅰ上做椭圆运动，在轨道Ⅱ上做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律可知，＝，已知轨道Ⅰ的轨道半径大，则T1＞T2，“天问一号”在轨道Ⅱ上做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可知，G＝m，解得线速度：v＝，则有v2＝，根据卫星变轨原理可知，探测器R由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ需要在A点点火加速，故v1＞v2＝，故C正确，ABD错误。
10．根据开普勒行星运动定律，下列说法错误的是（ ）
A．绕地球运行的不同卫星的的值都相同
B．同一卫星离地球越远，速率越小
C．不同卫星，轨道的半长轴越长，周期越大
D．同一卫星绕不同的行星运行，的值都相同
【解析】A、由开普勒第三定律，推广可知绕地球运行的不同卫星的的值都相同，故A正确；
B、同一卫星离地球越远，根据开普勒第二定律知运行速率越小，故B正确；
C、由开普勒第三定律，不同卫星，轨道的半长轴越长，则周期T越大，故C正确；
D、开普勒第三定律成立的条件是中心天体相同，同一卫星绕不同的行星运行，的值不相同，故D错误。轨道定律
面积定律：v1r1=v2r2
周期定律：a3/T2=k
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
地面
天上
地下
两极(或不计自转)
赤道
=
g=
=
g= －Rω自2