专题67 电磁感应的电路问题 2022届高中物理常考点归纳二轮复习

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常考点 电磁感应的电路问题
【典例1】
如图所示，固定在水平面上的半径为r＝0.1m的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B＝4T
的匀强磁场。长为l＝0.2m、单位长度电阻为R0＝10Ω的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直
导电转轴OO′上，随轴以角速度ω＝100rad/s匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有如图所示的电路，电
阻R1和R2阻值均为1Ω，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．棒产生的电动势为8V
B．通过电流表的电流方向自右向左，示数为1A
C．导体棒消耗的电功率为1W
D．电阻R2消耗的电功率为W
解：A、由于在圆环内存在磁感应强度为B的匀强磁场，所以金属棒有效切割长度为r，根据E＝Br，可得棒产生的电动势为E＝，代入数据解得E＝2V，故A错误；
B、根据右手定则可知通过电流表的电流方向自左向右，电路总电阻R总＝＝＝1.5Ω，根据闭合电路欧姆定律有I＝＝A＝A，故B错误；
C、导体棒消耗的电功率为P棒＝I2•r•R0，代入数据解得P棒＝W，故C错误；
D、由于电阻R1和R2阻值均为1Ω，根据并联电路电流规律可知I2＝，根据电功率计算公式可知P2＝，代入数据解得P2＝W，故D正确
【典例2】
如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN、M′N′位于同一水平面上，两轨道之间的距离l＝0.50m，轨
道的MM′端之间接一阻值R＝0.40Ω的定值电阻，NN′端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、
N′P′平滑连接，两半圆轨道的半径均为R0＝0.50m。直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B＝0.5T
的匀强磁场中，磁场区域的宽度d＝0.80m，且其右边界与NN′重合。现有一质量m＝0.20kg、电阻r＝0.10Ω
的导体杆ab静止在距磁场的左边界s＝2.0m处。在与杆垂直的水平恒力F＝2.0N的作用下ab杆开始运动，
当运动至磁场的左边界时撤去F，结果导体ab恰好能以最小速度通过半圆形轨道的最高点PP′．已知导体
杆ab在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab与直轨道之间的动摩擦因数μ＝0.10，
轨道的电阻可忽略不计，取g＝10m/s2，求：
（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向；
（2）导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R上的电荷量；
（3）导体杆穿过磁场的过程中整个电路产生的焦耳热。
解：（1）导体棒从静止开始到磁场左边界过程，由动能定理得：
解得：v0＝6m/s，
根据法拉第电磁感应定律得：E＝Blv0＝1.5V，
导体杆中的电流为：＝3A，据右手定则知电流方向由b到a；
（2）根据电荷量的推论公式得：；
（3）导体棒恰能通过半圆轨道最高点，有：，
对导体棒运动的全程根据功能关系得：，
解得焦耳热为：Q＝0.94J。
答：（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小为3A，方向由b到a；
（2）导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R上的电荷量为0.4C；
（3）导体杆穿过磁场的过程中整个电路产生的焦耳热为0.94J。
1． 解决电磁感应中的电路问题三部曲
2． 电磁感应中电路知识的关系图
3． 感应电量问题
推导过程：q＝eq \x\t(I)Δt；E＝neq \f(ΔΦ,Δt) ；eq \x\t(I)= 推导出：q＝n
结论：通过回路截面的电荷量q仅与n、ΔΦ和回路总电阻R总有关，与时间长短无关。
【变式演练1】
光滑金属导轨宽L＝0.5m，电阻不计，均匀变化的磁场充满整个轨道平面，如图甲所示，磁场的磁感应强度
随时间变化的情况如图乙所示。金属棒ab的电阻为2Ω，垂直固定在导轨上静止不动，且与导轨左端距离
l＝0.2m，则（ ）
A．1s末回路中的电动势为0.1V
B．1s末回路中的电流为0.5A
C．2s内回路产生的电热为0.1J
D．2s末，ab所受安培力大小为0.5N
解：A.由图乙知
＝1T/s
由法拉第电磁感应定律，感应电动势为
E＝＝
联立代入数据解得E＝0.1V
故A正确；
B.回路中的感应电流为
I＝＝A＝0.05A
故B错误；
C.2s内回路产生的电热为
Q＝I2Rt＝0.052×2×2J＝0.01J
故C错误；
D.2s末，B＝2T，ab所受的安培力为
F＝BIL＝2×0.05×0.5N＝0.05N
故D错误。
【变式演练2】
如图所示，关于x轴对称的正方形闭合金属线圈abcd水平放置在坐标系xOy面内，线圈的ad边与y轴重
合，匝数为N，边长为L，电阻为R.一金属直导线垂直于z轴放在x轴正上方，通有沿x轴负方向的电流
现让线圈沿图示方向绕x轴以角速度a匀速转动，在线圈由图示位置开始转动90°的过程中，用冲击电流
计测得流过线圈导线横截面的电荷量为q.则在此过程，线圈中（ ）
A．感应电流方向为adcb
B．感应电流的平均值为
C．感应电动势的平均值为
D．磁通量的变化量为qR
解：A.由右手螺旋定则可知，导线下方的磁场是垂直纸面穿出，当线圈从图示位置转动90°过程中，磁通量向外变大，由楞次定律可得感应电流的方向为abcda，故A错误；
B.转动90°，则时间
t＝
又
q＝Δt
得出
＝
故B错误；
C.由B可知
＝
根据闭合电路欧姆定律由
＝R＝
故C正确；
D.由电磁感应定律由
＝N
t＝
联立可得
ΔΦ＝
故D错误。
【变式演练3】
在同一水平面中的光滑平行导轨P、Q相距L＝1m，导轨左端接有如图所示的电路。其中水平放置的平行板
电容器两极板M、N间距离d＝10mm，定值电阻R1＝R2＝12Ω，R3＝2Ω，金属棒ab电阻r＝2Ω，其它电阻
不计。磁感应强度B＝1T的匀强磁场竖直穿过导轨平面，当金属棒ab沿导轨向右匀速运动时，悬浮于电容
器两极板之间，质量m＝1×10﹣14kg，带电量q＝﹣1×10﹣14C的微粒恰好静止不动。取g＝10m/s2，在整个
运动过程中金属棒与导轨接触良好。且运动速度保持恒定。试求：
（1）匀强磁场的方向；
（2）ab两端的路端电压；
（3）金属棒ab运动的速度。
解：（1）带负电的微粒受到重力和电场力处于静止状态，因重力竖直向下，则电场力竖直向上，故M板带正电。
ab棒向右切割磁感线产生感应电动势，ab棒等效于电源，感应电流方向由b→a，其a端为电源的正极，由右手定则可判断，磁场方向竖直向下。
（2）由平衡条件，得 mg＝Eq
又 E＝
所以MN间的电压：UMN＝＝V＝0.1V
R3两端电压与电容器两端电压相等，由欧姆定律得通过R3的电流 I＝＝A＝0.05A
ab棒两端的电压为 Uab＝UMN+I ＝0.1+0.05×6＝0.4V
（3）由闭合电路欧姆定律得ab棒产生的感应电动势为：E感＝Uab+Ir＝0.4+0.05×2V＝0.5V
由法拉第电磁感应定律得感应电动势 E感＝BLv
联立上两式得 v＝0.5m/s
答：
（1）匀强磁场的方向竖直向下；
（2）ab两端的路端电压为0.4V；
（3）金属棒ab运动的速度为0.5m/s。
1．如图所示，一直升飞机停在南半球的地磁极上空，该处地磁场的方向竖直向上，磁感应强度为B，直升飞机螺旋桨叶片的长度为l，近轴端为a，远轴端为b，转动的频率为f，顺着地磁场的方向看，螺旋桨按顺时针方向转动．如果忽略a到转轴中心线的距离，用ε表示每个叶片中的感应电动势，则（ ）
A．ε＝πfl2B，且a点电势低于b点电势
B．ε＝﹣2πfl2B，且a点电势低于b点电势
C．ε＝πfl2B，且a点电势高于b点电势
D．ε＝2πfl2B，且a点电势高于b点电势
解：每个叶片都切割磁感线，根据右手定则，a点电势低于b点电势。
叶片端点的线速度：v＝ωL＝2πfL，
叶片的感应电动势电动势：E＝BLv＝E＝BL×2πLf＝πfL2B。
2．如图所示是法拉第做成的世界上第一台发电机模型的原理图．将铜盘放在磁场中，让磁感线垂直穿过铜盘；图中a、b导线与铜盘的中轴线处在同一竖直平面内；转动铜盘，就可以使闭合电路获得电流．若图中铜盘半径为L，匀强磁场的磁感应强度为B，回路总电阻为R，从上往下看逆时针匀速转动铜盘的角速度为ω．则下列说法正确的是（ ）
A．回路中有大小和方向周期性变化的电流
B．回路中电流大小恒定，且等于
C．回路中电流方向不变，且从a导线流进灯泡，再从b导线流向旋转的铜盘
D．若将匀强磁场改为仍然垂直穿过铜盘的正弦变化的磁场，不转动铜盘，灯泡中一定有电流流过
解：A、C，把铜盘看做若干条由中心指向边缘的铜棒组合而成，当铜盘转动时，每根金属棒都在切割磁感线，相当于电源，由右手定则知，中心为电源正极，盘边缘为负极，若干个相同的电源并联对外供电，电流方向由b经灯泡再从a流向铜盘，方向不变，故A错误，C错误。
B、回路中感应电动势为E＝BL＝BωL2，所以电流，故B正确。
D、当铜盘不动，磁场按正弦规律变化时，铜盘中形成涡流，但没有电流通过灯泡，故D错误。
3．如图所示，平行导轨置于磁感应强度为B的匀强磁场中（方向向里），间距为L，左端电阻为R，其余电阻不计，导轨右端接一电容为C的电容器．现有一长2L的金属棒ab放在导轨上，ab以a为轴顺时针以ω转过90°的过程中，通过R的电量为（ ）
A．Q＝B．Q＝2BL2ωC
C．Q＝D．Q＝BL2ωC）
解：由ab棒以a为轴旋转到b端脱离导轨的过程中，产生的感应电动势一直增大，对C不断充电，同时又与R构成闭合回路，ab产生的感应电动势平均值
E＝
△S表示ab扫过的三角形面积，。
通过R的电量。
在这一过程中电容器充电的电量Q2＝CUm。
Um为ab棒在转动过程中产生感应电动势的最大值。
。
所以ab棒脱离导轨后电容器放电，流过R的电量等于。
则流过R的总电量Q＝Q1+Q2＝BL2．故D正确，A、B、C错误。
4．如图甲所示，一个环形导线线圈电阻为r，其面积为S，位于一垂直于环形面向里的匀强磁场中，磁场磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。有一电阻R将其两端分别与图中的环形线圈a、b相连，其余电阻不计，在0～t0时间内，下列说法正确的是（ ）
A．a、b间的电压大小，a点电势高于b点
B．a、b间的电压大小，a点电势低于b点
C．流过R的电流大小，方向从上到下
D．流过R的电流大小，方向从下到上
解：根据楞次定律可知感应电流产生的磁场方向垂直纸面向外，再根据右手螺旋定则可知环形导线中的感应电流为顺时针，即a点为电源的正极，所以a点电势高于b点，流经R的电流方向为从上到下。
感应电动势E＝S＝S，
则流过R的电流大小为I＝＝S，
a、b间的电压大小为路端电压U＝IR＝SR，故ABD错误，C正确。
5．如图甲所示，在光滑绝缘水平面上，虚线MN的右侧存在方向竖直向下，磁感应强度大小为B＝2T的匀强磁场，MN的左侧有一质量为m＝0.1kg的矩形线圈bcde，电阻R＝2Ω，bc边长L1＝0.2m．t＝0时，用一恒定拉力F拉线圈，使其由静止开始向右做匀加速运动，经过1s，线圈的bc边到达磁场边界MN，此时立即将拉力F改为变力，又经过1s，线圈恰好完全进入磁场，在整个运动过程中，线圈中感应电流i随时间t变化的图象如图乙所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．恒定拉力大小为0.05N
B．线圈在第2s内的加速度大小为1m/s2
C．线圈be边长L2＝0.5m
D．在第2s内流过线圈的电荷量为0.2C
解：A、由乙图知：t＝1s时，线圈中感应电流为：i＝0.1A，
由i＝＝ 得v1＝，代入数据得v1＝0.5m/s，
根据v1＝at，F＝ma，得F＝m，代入数据得F＝0.05N，故A正确；
B、t＝2s时线圈速度v2＝，代入数据得v2＝1.5m/s，
线圈在第2s时间内的加速度a2＝，代入数据得a2＝1m/s2，故B正确；
C、线圈be边长为L2＝•t，代入数据得L2＝1m，故C错误；
D、在第2s内流过线圈的电量为q＝＝，代入数据得q＝0.2C，故D正确。
6．如图所示，线圈匝数为n，横截面积为S，线圈电阻为R，处于一个均匀增强的磁场中，磁感应强度随时间的变化率为k，磁场方向水平向右且与线圈平面垂直，电容器的电容为C，两个电阻的阻值均为2R。下列说法正确的是（ ）
A．电容器上极板带负电
B．通过线圈的电流强度为
C．电容器所带的电荷量为
D．电容器所带的电荷量为
解：A、已知图中电场向右增强，根据楞次定律知，感应电流产生的磁场要阻碍这种变化，故上极板应带正电，故A错误；
B、由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E＝n＝n＝nkS，
根据欧姆定律，通过线圈的电流强度为I＝＝，故B错误；
CD、对图中电路，线圈相当于电源，则加在电容器上的电压UC为外电路电压，所以UC＝E＝，
则电容器所带的电荷量为Q＝CU＝，故C错误，D正确。
7．（多选）半径为r带缺口的刚性金属圆环在纸面上固定放置，在圆环的缺口两端引出两根导线，分别与两块垂直于纸面固定放置的平行金属板连接，两板间距为d，如图甲所示。有一变化的磁场垂直于纸面，规定向内为正，变化规律如图乙所示。在t＝0时刻平板之间中心有一重力不计，电荷量为q的静止微粒。则以下说法正确的是（ ）
A．第1秒内上极板为正极
B．第2秒内上极板为负极
C．第2秒末微粒的速度为0
D．第2秒末两极板之间的电场强度大小为
解：A、由图象可知，在第1s内，磁场垂直于纸面向内，磁感应强度变大，穿过金属圆环的磁通量变大，假设环闭合，由楞次定律可知，感应电流磁场与原磁场方向相反，即感应电流磁场方向垂直于纸面向外，然后由安培定则可知，感应电流沿逆时针方向，由此可知，上极板电势低，是负极，故A错误；
B、由图象可知，在第2内，磁场垂直于纸面向内，磁感应强度变小，穿过金属圆环的磁通量变小，假设环闭合，由楞次定律可知，感应电流磁场与原磁场方向相同，即感应电流磁场方向垂直于纸面向内，然后由安培定则可知，感应电流沿顺时针方向，由此可知，上极板电势高，是正极，故B错误；
C、第1s和第2s极板间电压相等，电场力相等，方向相反，作用时间相等，故电场力的总冲量为0，故第2秒末微粒的速度为0，故C正确；
D、法拉第电磁感应定律可知，在第2s内产生的感应电动势：E＝；
两极板间的电场强度为：＝，故D正确。
8．（多选）如图所示，用一根横截面积为s的硬导线做成一个半径为r的圆环，把圆环部分置于均匀变化的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随时间的变化率，ab为圆环的一条直径，导线的电阻率为ρ．则（ ）
A．圆环中产生顺时针方向的感应电流
B．圆环具有扩张的趋势
C．圆环中感应电流的大小为
D．图中ab两点间的电压大小为
解：由于磁场均匀增大，线圈中的磁通量变大，根据楞次定律可知线圈中电流为逆时针，同时为了阻碍磁通量的变化，线圈将有收缩的趋势，故AB错误；
根据法拉第电磁感应定律得电动势为：
回路中的电阻为：
所以电流为：，故选项C正确；
ab两端电压为：，故D正确。
9．（多选）如图甲所示，一个圆形线圈的匝数n＝100，线圈面积S＝100cm2，线圈的电阻r＝1Ω，线圈外接一个阻值R＝4Ω的电阻，把线圈放入一方向垂直线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化规律如图乙所示。下列说法中正确的（ ）
A．线圈中的感应电流方向为逆时针方向
B．电阻R两端的电压随时间均匀增大
C．前4s内通过电阻R的电荷量为4×10﹣2C
D．线圈电阻r消耗的功率为4×10﹣2W
解：A、由图可知，穿过线圈的磁通量变大，由楞次定律可得：线圈产生的感应电流逆时针，故A正确。
B、根据法拉第电磁感应定律，可知，磁通量的变化率恒定，所以电动势恒定，则电阻两端的电压恒定，故B错误；
CD、由法拉第电磁感应定律：E＝N＝N＝100××0.01V＝0.05V，
由闭合电路欧姆定律，可知电路中的电流为I＝＝A＝0.01A，
前4s内通过R的电荷量Q＝It＝0.01×4C＝0.04C，
所以线圈电阻r消耗的功率P＝I2R＝0.012×1W＝1×10﹣4W，故C正确，D错误
10．如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN，PQ水平放置于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中，导轨的M、P两端连接一阻值为R的电阻，金属棒ab垂直于导轨放置且接触良好，并通过水平细线跨过滑轮与物体A相连，已知ab棒与物体A质量均为m，重力加速度为g，不计除R外其余部分的电阻、一切摩擦以及细线和滑轮的质量。现将ab棒由静止释放，测得ab棒沿导轨滑行达到最大速度的过程中，流过电阻R的总电量为q。求：
（1）ab棒运动过程中的最大速度v的大小；
（2）b棒速度为最大速度一半时加速度a的大小；
（3）ab棒从开始运动到最大速度的过程中电阻R上产生的焦耳热Q。
解：（1）以ab棒为研究对象，则棒受拉力和安培力作用，拉力大小等于A的重力mg，安培力随速度大小增大而增大，即棒做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，速度最大，有：
FI＝mg…①
又FI＝…②
联立①②得：
vm＝
（2）当速度为最大速度的一半时有：
v＝…③
此时安培力为：
FI'＝…④
对金属棒和A整体，由牛顿第二定律得：
mg﹣FI'＝2ma…⑤
联立解得：
a＝
（3）设从开始释放到最大速度，金属棒的位移为x，则有：
q＝…⑥
根据能量守恒定律有：
Q+2×mvm2＝mgx…⑦
联立①②⑥⑦代入数据得：
Q＝﹣
答：（1）ab棒运动过程中的最大速度v的大小为；
（2）b棒速度为最大速度一半时加速度a的大小为；
（3）ab棒从开始运动到最大速度的过程中电阻R上产生的焦耳热Q为﹣。