数学七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试同步训练题

京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若的补角是150°，则的余角是（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2、一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是(   ) ．

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°．

B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°．

C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°．

D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°．

3、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）

A． B．

C． D．

4、下列语句中叙述正确的有（     ）

①画直线cm；

②连接点A与点B的线段，叫做A、B两点之间的距离；

③等角的余角相等； 

④射线AB与射线BA是同一条射线．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5、如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于（　　）

A．60° B．90° C．120° D．150°

6、已知∠A＝37°，则∠A的补角等于（　　）

A．53° B．37° C．63° D．143°

7、如图所示，直线l1l2，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝52°，那么∠2＝（　　）

A．138° B．128° C．52° D．152°

8、下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

9、如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOC＝35°，则∠AOD的度数为（      ）

A．55° B．125° C．65° D．135°

10、如图，直尺的一条边经过直角三角尺的直角顶点且平分直角，它的对边恰巧经过60°角的顶点．则∠1的大小是（　　）

A．30°  B．45°  C．60°  D．75°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，已知ABCD，，，则____．

2、∠1与∠2的两边分别平行，且∠2的度数比∠1的度数的3倍少40°，那么∠2的度数为 ___．

3、如图，已知，且∠1=48°，则∠2＝_____，∠3＝_____，∠4＝_____．

4、若与互余，且，则______．

5、如图，直线AB和CD交于O点，OD平分∠BOF，OE ⊥CD于点O，∠AOC=40，则∠EOF=_______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知中，，，平分，求的度数．

2、如图，在下列解答中，填写适当的理由或数学式：  

（1）∵∠A=∠CEF，（ 已知 ）  

∴________∥________；  （________）

（2）∵∠B+∠BDE=180°，（ 已知 ）  

∴________∥________；（________）

（3）∵DE∥BC，（ 已知 ）  

∴∠AED=∠________； （________）

（4）∵AB∥EF，（ 已知 ）  

∴∠ADE=∠________．（________）

3、已知：如图①，AB∥CD，点F在直线AB、CD之间，点E在直线AB上，点G在直线CD上，∠EFG＝90°．

（1）如图①，若∠BEF＝130°，则∠FGC＝　   　度；

（2）小明同学发现：如图②，无论∠BEF度数如何变化，∠FEB﹣∠FGC的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：过点E作EM∥FG，交CD于点M．请你根据小明同学提供的辅助线方法，补全下面的证明过程；

（3）拓展应用：如图③，如果把题干中的“∠EFG＝90°”条件改为“∠EFG＝110°”，其它条件不变，则∠FEB﹣∠FGC＝　   　度．

解：如图②，过点E作EM∥FG，交CD于点M．

∵AB∥CD（已知）

∴∠BEM＝∠EMC（ 　   　）

又∵EM∥FG

∴∠FGC＝∠EMC（ 　   　）

∠EFG+∠FEM＝180°（ 　   　）

即∠FGC＝（ 　   　）（等量代换）

∴∠FEB﹣∠FGC＝∠FEB﹣∠BEM＝（ 　   　）

又∵∠EFG＝90°

∴∠FEM＝90°

∴∠FEB﹣∠FGC＝　   　

即：无论∠BEF度数如何变化，∠FEB﹣∠FGC的值始终为定值．

4、已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON按如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线OC，且OC恰好平分．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的度数．

5、（1）已知：如图1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，请判断∠AOD和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；

（2）已知：如图2，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请判断∠AOC与∠BOC之间的数量关系，并说明理由；

（3）已知：如图3，∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．直接写出锐角∠MPN的度数是 　 　．

---------参考答案-----------

一、单选题

1、B

【分析】

根据补角、余角的定义即可求解．

【详解】

∵的补角是150°

∴=180°-150°=30°

∴的余角是90°-30°=60°

故选B．

【点睛】

此题主要考查余角、补角的求解，解题的关键是熟知如果两个角的和为90度，这两个角就互为余角；补角是指如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角

2、A

【分析】

根据题意分析判断即可；

【详解】

由第一次向左拐30°，第二次向右拐30°可得转完两次后相当于在原方向上转过了，和原来方向相同，故A正确；

第一次向右拐50°，第二次向左拐130°可得转完两次后相当于在原方向上左拐，故B错误；

第一次向左拐50°，第二次向左拐130°可得转完两次后相当于在原方向上右拐，故C错误；

第一次向左拐50°，第二次向右拐130°可得转完两次后相当于在原方向上右拐，故D错误；

综上所述，符合条件的是A．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了平行的判定与性质，准确分析判断是解题的关键．

3、B

【分析】

根据对顶角的定义作出判断即可．

【详解】

解：根据对顶角的定义可知：只有B选项的是对顶角，其它都不是．

故选：B．

【点睛】

本题考查对顶角的定义，解题关键是明确两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

4、B

【分析】

根据直线的性质判断①，根据两点间距离的定义判断②，根据余角的性质判断③，根据射线的表示方法判断④．

【详解】

解：因为直线是向两端无限延伸的，所以①不正确；

因为连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离，所以②不正确；

③正确；

因为射线AB和射线BA的端点不同，延伸方向也不同，所以④不正确．

故选：B．

【点睛】

本题考查直线的性质，两点间的距离的定义（连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离），余角的性质，射线的表示方法，熟练掌握这些知识点是解题关键．

5、C

【分析】

先由AB∥CD，得到∠1=∠CEF，根据∠2+∠CEF=180°，得到∠2+∠1＝180°，再由∠2＝2∠1，则3∠1=180°，由此求解即可．

【详解】

解：∵AB∥CD，

∴∠1=∠CEF，

又∵∠2+∠CEF=180°，

∴∠2+∠1＝180°，

∵∠2＝2∠1，

∴3∠1=180°，

∴∠1=60°，

∴∠2＝120°，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，领补角互补，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．

6、D

【分析】

根据补角的定义：如果两个角的度数和为180度，那么这两个角互为补角，进行求解即可．

【详解】

解：∵∠A=37°，

∴∠A的补角的度数为180°-∠A=143°，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了求一个角的补角，熟知补角的定义是解题的关键．

7、B

【分析】

根据两直线平行同位角相等，得出∠1＝∠3＝52°．再由∠2与∠3是邻补角，得∠2＝180°﹣∠3＝128°．

【详解】

解：如图．

∵l1//l2，

∴∠1＝∠3＝52°．

∵∠2与∠3是邻补角，

∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣52°＝128°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质、邻补角的定义是解决本题的关键．

8、C

【分析】

根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，逐一判断即可．

【详解】

解：①中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故①符合题意；

②中∠1和∠2是对顶角，故②不符合题意；

③中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故③符合题意；

④中∠1和∠2没有公共点，故④符合题意．

∴∠1 和∠2 不是对顶角的有3个，

故选C．

【点睛】

此题考查的是对顶角的识别，掌握对顶角的定义是解决此题的关键．

9、B

【分析】

先根据余角的定义求得，进而根据邻补角的定义求得即可．

【详解】

EO⊥AB，∠EOC＝35°，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂直的定义，求一个角的余角、补角，掌握求一个角的余角与补角是解题的关键．

10、D

【分析】

由AC平分∠BAD，∠BAD=90°，得到∠BAC=45°，再由BD∥AC，得到∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，由此求解即可．

【详解】

解：∵AC平分∠BAD，∠BAD=90°，

∴∠BAC=45°

∵BD∥AC，

∴∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，

∵∠CBD=∠ABD+∠ABC=45°+60°=105°，

∴∠1=75°，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．

二、填空题

1、95°

【分析】

过点E作EF∥AB，可得∠BEF+∠ABE=180°，从而得到∠BEF=60°，再由AB//CD，可得∠FEC=∠DCE，从而得到∠FEC=35°，即可求解．

【详解】

解：如图，过点E作EF∥AB，

∵EF//AB，

∴∠BEF+∠ABE=180°，

∵∠ABE=120°，

∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，

∵EF//AB，AB//CD，

∴EF//CD，

∴∠FEC=∠DCE，

∵∠DCE=35°，

∴∠FEC=35°，

∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°．

故答案为：95°

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．

2、20°或125°或20°

【分析】

根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案．

【详解】

解：∵∠1与∠2的两边分别平行，

∴∠1，∠2相等或互补，

①当∠1=∠2时，

∵∠2=3∠1-40°，

∴∠2=3∠2-40°，

解得∠2=20°；

②当∠1+∠2=180°时，

∵∠2=3∠1-40°，

∴∠1+3∠1-40°=180°，

解得∠1=55°，

∴∠2=180°-∠1=125°；

故答案为：20°或125°．

【点睛】

本题考查了平行线的性质的运用，关键是注意：同一平面内两边分别平行的两角相等或互补．

3、48°    132°    48°   

【分析】

根据两直线平行内错角相等可求出∠2，根据两直线平行，同位角相等可求出∠4，同旁内角互补可求出∠3．

【详解】

解：∵    //，∠1=48°，

∴∠2=∠1=48°，

∵    //，∠1=48°，

∴∠4=∠1=48°，

∵    //，

∴∠3+∠4=180°

∴∠3=180°-∠4=180°-48°=132°

故答案为：48°；132°；48°

【点睛】

此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．

4、69°

【分析】

由题意可设∠α=2x，∠β=3x，根据与互余可得关于x的方程，解方程即可求出x，然后代值计算即可；

【详解】

解：因为，

所以设∠α=2x，∠β=3x，

因为与互余，

所以2x+3x=90°，解得x=18°，

所以∠α=36°，∠β=54°，

所以；

故答案为69°．

【点睛】

本题考查了互余的概念和简单的一元一次方程的应用，属于基本题目，熟练掌握基本知识，掌握求解的方法是关键．

5、130°

【分析】

根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=40°．根据OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=40°，根据OE⊥CD，得出∠EOD=90°，利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°即可．

【详解】

解：∵AB、CD相交于点O，

∴∠BOD=∠AOC=40°．

∵OD平分∠BOF，

∴∠DOF=∠BOD=40°，

∵OE⊥CD，

∴∠EOD=90°，

∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°．

故答案为130°．

【点睛】

本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．

三、解答题

1、25°

【解析】

【分析】

由两直线平行同位角相等，得出，由角平分线的性质得出，即可得出答案．

【详解】

解：∵，

∴，

∵平分，

∴

∴．

【点睛】

本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，熟练掌握各性质是解得此题的关键．

2、（1）AB；EF；同位角相等，两直线平行；（2）DE；BC；同旁内角互补，两直线平行；（3）C；两直线平行，同位角相等；（4）DEF；两直线平行，内错角相等

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，即可得；

（2）根据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行，即可得；

（3）根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得；

（4）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即可得．

【详解】

解：（1）∵，（已知）

∴，（同位角相等，两直线平行）；

（2）∵，（已知）

∴，（同旁内角互补，两直线平行）；

（3）∵，（已知）

∴，（两直线平行，同位角相等）

（4）∵，（已知）

∴（两直线平行，内错角相等）．

故答案为：（1）AB；EF；同位角相等，两直线平行；（2）DE；BC；同旁内角互补，两直线平行；（3）C；两直线平行，同位角相等；（4）DEF；两直线平行，内错角相等．

【点睛】

题目主要考查平行线的判定定理和性质，熟练掌握理解平行线的性质定理并结合图形是解题关键．

3、（1）40°；（2）见解析；（3）70°

【解析】

【分析】

（1）过点F作FN∥AB，由∠FEB＝150°，可计算出∠EFN的度数，由∠EFG＝90°，可计算出∠NFG的度数，由平行线的性质即可得出答案；

（2）根据题目补充理由和相关结论即可；

（3）类似（2）中的方法求解即可．

【详解】

解：（1）过点F作FN∥AB，

∵FN∥AB，∠FEB＝130°，

∴∠EFN+∠FEB＝180°，

∴∠EFN＝180°﹣∠FEB＝180°﹣130°＝50°，

∵∠EFG＝90°，

∴∠NFG＝∠EFG﹣∠EFN＝90°﹣50°＝40°，

∵AB∥CD，

∴FN∥CD，

∴∠FGC＝∠NFG＝40°．

故答案为：40°；

（2）如图②，过点E作EM∥FG，交CD于点M．

∵AB∥CD（已知）

∴∠BEM＝∠EMC（两直线平行，内错角相等）

又∵EM∥FG

∴∠FGC＝∠EMC（两直线平行，同位角相等）

∠EFG+∠FEM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

即∠FGC＝（∠BEM）（等量代换）

∴∠FEB﹣∠FGC＝∠FEB﹣∠BEM＝（∠FEM）

又∵∠EFG＝90°

∴∠FEM＝90°

∴∠FEB﹣∠FGC＝90°

故答案为：两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，∠BEM，∠FEM，90°

（3）过点E作EH∥FG，交CD于点H．

∵AB∥CD

∴∠BEH＝∠EHC

又∵EM∥FG

∴∠FGC＝∠EHC

∠EFG+∠FEH＝180°

即∠FGC＝∠BEH

∴∠FEB﹣∠FGC＝∠FEB﹣∠BEH＝∠FEH

又∵∠EFG＝110°

∴∠FEH＝70°

∴∠FEB﹣∠FGC＝70°

故答案为：70°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．

4、（1）48°；（2）45°．

【解析】

【分析】

（1）先根据余角的定义求出∠MOC，再根据角平分线的定义求出∠BOM，然后根据∠AOM=180°-∠BOM计算即可；

（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；

【详解】

解：（1）∵∠MON=90°，∠CON=24°，

∴∠MOC=90°-∠CON=66°，

∵OC平分∠MOB，

∴∠BOM=2∠MOC=132°，

∴∠AOM=180°-∠BOM=48°；

（2）∵∠BON=2∠NOC，OC平分∠MOB，

∴∠MOC=∠BOC=3∠NOC，

∵∠MOC+∠NOC=∠MON=90°，

∴3∠NOC+∠NOC=90°，

∴4∠NOC=90°，

∴∠BON=2∠NOC=45°，

∴∠AOM=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-45°=45°；

【点睛】

本题考查了角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得出正确结论的关键．

5、（1）∠AOD+∠BOD=90°，理由见解析；（2）∠AOC+∠BOC=180°，理由见解析；（3）45°

【解析】

【分析】

（1）由∠AOC=90°，得到∠AOD+∠COD=90°，再由OD平分∠BOC，可得∠BOC=2∠COD=2∠BOD，则∠AOD+∠BOD=90°；

（2）由OC平分∠BOD，得到∠BOD=2∠COD=2∠BOC，再由∠AOC+∠COD=180°，即可得到∠AOC+∠BOC=180°；

（3）由∠EPQ和∠FPQ互余，得到∠EPQ+∠FPQ=90°，由射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，得到，，则．

【详解】

解：（1）∠AOD+∠BOD=90°，理由如下：

∵∠AOC=90°，

∴∠AOD+∠COD=90°，

∵OD平分∠BOC，

∴∠BOC=2∠COD=2∠BOD，

∴∠AOD+∠BOD=90°；

（2）∠AOC+∠BOC=180°，理由如下：

∵OC平分∠BOD，

∴∠BOD=2∠COD=2∠BOC，

∵∠AOC+∠COD=180°，

∴∠AOC+∠BOC=180°；

（3）∵∠EPQ和∠FPQ互余，

∴∠EPQ+∠FPQ=90°，

∵射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，

∴，，

∴，

故答案为：45°．

【点睛】

本题主要考查了与余角和补角有关的计算，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．