初中数学北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试课后测评

这是一份初中数学北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试课后测评，共26页。试卷主要包含了下列命题中，是真命题的是，已知，则的余角的补角是等内容，欢迎下载使用。
京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明重点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC＝125°，则∠BOD等于（　　）

A．55° B．125° C．115° D．65°
2、嘉淇在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下推理过程：
已知：如图，b∥a，c∥a，
求证：b∥c；
证明：作直线DF交直线a、b、c分
别于点D、E、F，
∵a∥b，∴∠1＝∠4，又∵a∥c，
∴∠1＝∠5，
∴b∥c．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴∠1＝∠5”和“∴b∥c”之间作补充，下列说法正确的是（　　）
A．嘉淇的推理严谨，不需要补充
B．应补充∠2＝∠5
C．应补充∠3+∠5＝180°
D．应补充∠4＝∠5
3、以下命题是假命题的是（ ）
A．的算术平方根是2
B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．三角形三个内角的和等于180°
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
4、已知∠1与∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（　　）
A．∠1 B． C．∠2 D．
5、如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（ ）

A．77° B．64° C．26° D．87°
6、如图，直线l1l2，直线l3与l1、l2分别相交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠2＝30°，则∠1的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
7、下列有关“线段与角”的知识中，不正确的是（ ）
A．两点之间线段最短 B．一个锐角的余角比这个角的补角小
C．互余的两个角都是锐角 D．若线段，则是线段的中点
8、下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．同旁内角相等，两直线平行
C．平行于同一直线的两直线平行 D．相等的角是对顶角
9、已知，则的余角的补角是（ ）
A． B． C． D．
10、如图，O为直线AB上一点，∠COB＝36°12'，则∠AOC的度数为（　　）

A．164°12' B．136°12' C．143°88' D．143°48'
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，OE是的平分线，交OA于点C，交OE于点D，，则的度数是______°．

2、如图，已知，CE平分，，则______°．

3、若一个角的余角为35°，则它的补角度数为 ______．
4、已知直线AB、CD相交于点O，且A、B和C、D分别位于点O两侧，OE⊥AB，，则____________．
5、如图，直线AB、CD相交于O，∠COE是直角，∠1＝57°，则∠2＝_____．


三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A＋∠D．（完成图中的填空部分）．
证明：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（ 　 　）
∵MN∥AB，
∴∠A＝（ 　 　）（ 　 　）
∵MN∥CD，
∴∠D＝ 　 　（ 　 　）
∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．
【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，直接写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系．
【应用拓展】如图3，AH平分∠GAB，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数．

2、已知AB∥CD，点是AB，CD之间的一点．
（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；
以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ 　 　），
∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（ 　 　），
∴∠BAE+∠DCE＝　 　+　 　（等式的性质）．
即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 　 　．
（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；
②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．

3、如图，已知AEBF，AC⊥AE，BD⊥BF，AC与BD平行吗？补全下面的解答过程（理由或数学式）．
解：∵AEBF，
∴∠EAB＝ ．（ ）
∵AC⊥AE，BD⊥BF，
∴∠EAC＝90°，∠FBD＝90°．
∴∠EAC＝∠FBD（ ）
∴∠EAB﹣ ＝∠FBG﹣ ，
即∠1＝∠2．
∴ （ ）．

4、如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试说明∠ADC＝90°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵∠1＝∠C，（已知）
∴GD∥　 　．（ ）
∴∠2＝∠DAC．（ ）
∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换）
∴AD∥EF．（ ）
∴∠ADC＝∠　 　．（ ）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°．（ ）
∴∠ADC＝90°．（等量代换）

5、小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB
则有∠BEF＝∠B
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠FED＝∠D
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
（1）直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．


---------参考答案-----------
一、单选题
1、B
【分析】
根据对顶角相等即可求解．
【详解】
解：∵直线AB和CD相交于点O，∠AOC＝125°，
∴∠BOD等于125°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了对顶角的性质，熟知对顶角相等的性质是解题的关键．
2、D
【分析】
根据平行线的性质与判定、平行公理及推论解决此题．
【详解】
解：证明：作直线DF交直线a、b、c分别于点D、E、F，
∵a∥b，
∴∠1=∠4，
又∵a∥c，
∴∠1=∠5，
∴∠4=∠5．
∴b∥c．
∴应补充∠4=∠5．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质与判定、平行公理及推论，熟练掌握平行线的性质与判定、平行公理及推论是解决本题的关键．
3、A
【分析】
分别利用算术平方根、等腰三角形的判定、三角形内角和公式、平行的相关内容，进行分析判断即可．
【详解】
解：A、的算术平方根应该是， A是假命题，
B、有两边相等的三角形是等腰三角形，B是真命题，
C、三角形三个内角的和等于180°，C是真命题，
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，D是真命题，
故选：A．
【点睛】
本题主要是考查了真假命题，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题，根据所学知识，对各个命题的正确与否进行分析，这是解决该题的关键．
4、B
【分析】
由已知可得∠2＜90°，设∠2的余角是∠3，则∠3＝90°﹣∠2，∠3＝∠1﹣90°，可求∠3＝，∠3即为所求．
【详解】
解：∵∠1与∠2互为补角，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＞∠2，
∴∠2＜90°，
设∠2的余角是∠3，
∴∠3＝90°﹣∠2，
∴∠3＝∠1﹣90°，
∴∠1﹣∠2＝2∠3，
∴∠3＝，
∴∠2的余角为，
故选B．

【点睛】
本题主要考查了与余角补角相关的计算，解题的关键在于能够熟练掌握余角和补角的定义．
5、A
【分析】
本题首先根据∠BGD′＝26°，可以得出∠AEG=∠BGD′＝26°,由折叠可知∠α=∠FED，由此即可求出∠α=77°．
【详解】
解：由图可知： AD∥BC
∴∠AEG=∠BGD′＝26°,
即：∠GED=154°，
由折叠可知: ∠α=∠FED，
∴∠α==77°
故选：A．
【点睛】
本题主要考察的是根据平行得性质进行角度的转化．
6、D
【分析】
根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
【详解】
解：∵BC⊥l3交l1于点B，
∴∠ACB＝90°，
∵∠2＝30°，
∴∠CAB＝180°−90°−30°＝60°，
∵l1l2，
∴∠1＝∠CAB＝60°．
故选：D．
【点睛】
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
7、D
【分析】
根据线段的性质及余角补角的定义解答．
【详解】
解：两点之间线段最短，故A选项不符合题意；
一个锐角的余角比这个角的补角小，故B选项不符合题意；
互余的两个角都是锐角，故C选项不符合题意；
若线段，则不一定是线段的中点，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查线段的性质，余角与补角的定义，熟记定义及线段的性质是解题的关键．
8、C
【分析】
根据平行线的性质和判定，对顶角的性质，逐项判断即可求解．
【详解】
解：A、两直线平行，同位角相等，则原命题是假命题，故本选项错误，不符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行，则原命题是假命题，故本选项错误，不符合题意；
C、平行于同一直线的两直线平行，则原命题是真命题，故本选项正确，符合题意；
D、相等的角不一定是对顶角，则原命题是假命题，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了真假命题的判断，平行线的性质和判定，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质和判定，对顶角的性质是解题的关键．
9、A
【分析】
根据余角和补角定义解答．
【详解】
解：的余角的补角是，
故选：A ．
【点睛】
此题考查余角和补角的定义：和为90度的两个角互为余角，和为180度的两个角是互为补角．
10、D
【分析】
根据邻补角及角度的运算可直接进行求解．
【详解】
解：由图可知：∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠COB＝36°12'，
∴∠AOC=180°-∠BOC=143°48'，
故选D．
【点睛】
本题主要考查邻补角及角度的运算，熟练掌握邻补角及角度的运算是解题的关键．
二、填空题
1、25
【分析】
先证明再证明从而可得答案.
【详解】
解： OE是的平分线，

∵，


故答案为：
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，熟练的运用平行线的性质与角平分线的定义证明角的相等是解本题的关键.
2、65
【分析】
由平行线的性质先求解再利用角平分线的定义可得答案.
【详解】
解： ， ，

CE平分，

故答案为：
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，掌握“两直线平行，同旁内角互补”是解本题的关键.
3、125°度
【分析】
若两个角的和为 则这两个角互余，若两个角的和为 则这两个角互补，根据定义直接可得答案.
【详解】
解： 一个角的余角为35°，
这个角为：
则它的补角度数为：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是余角与补角的计算，掌握“余角与补角的含义”是解本题的关键.
4、130°或50°
【分析】
根据题意作出图形，根据垂直的定义，互余与互补的定义，分类讨论即可
【详解】
①如图，


，

，


②如图，


，

，


综上所述，或
故答案为：130°或50°
【点睛】
本题考查了相交线所成角，对顶角相等，垂直的定义，求一个角的余角，补角，分类讨论是解题的关键．
5、33°
【分析】
由题意直接根据∠2＝180°﹣∠COE﹣∠1，进行计算即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：∠2＝180°﹣∠COE﹣∠1＝180°﹣90°﹣57°＝33°．
故答案为：33°．
【点睛】
本题考查余角和补角的知识，属于基础题，注意数形结合思维分析的运用．
三、解答题
1、基础问题：平行于同一条直线的两条直线平行；∠AGM；两直线平行，内错角相等；∠DGM，两直线平行，内错角相等；类比探究：∠AGD＝∠A-∠D；应用拓展：42°．
【解析】
【分析】
基础问题：由MN∥AB，可得∠A＝∠AGM，由MN∥CD，可得∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D；
类比探究：如图所示，过点G作直线MN∥AB，同理可得∠A＝∠AGM，∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．
应用拓展：如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，由MN∥AB，PQ∥AB，得到∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，由MN∥CD，PQ∥CD，得到∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，再由∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，可得∠GDH=44°，∠DHP=22°，则∠CDG=66°，∠AHP=54°，∠DGM=66°，∠BAH=54°，再由AH平分∠BAG，即可得到∠AGM=108°，则∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．
【详解】
解：基础问题：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），
∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；∠AGM；两直线平行，内错角相等；∠DGM，两直线平行，内错角相等；
类比探究：如图所示，过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM，
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM，
∴∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．


应用拓展：如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，PQ∥CD
∵MN∥AB，PQ∥AB，
∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，
∵MN∥CD，PQ∥CD，
∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，
∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，
∴∠GDH=44°，∠DHP=22°，
∴∠CDG=66°，∠AHP=54°，
∴∠DGM=66°，∠BAH=54°，
∵AH平分∠BAG，
∴∠BAG=2∠BAH=108°，
∴∠AGM=108°，
∴∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．


【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
2、（1）平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，∠AEC＝∠BAE+∠DCE；（2）①37°；②52°
【解析】
【分析】
（1）结合图形利用平行线的性质填空即可；
（2）①过F作FG∥AB，由（1）得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，根据AB∥CD，FG∥AB，CD∥FG，得出∠AFC=∠AFG+∠GFC＝∠BAF+∠DCF，根据AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，可得∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，根据角的和差∠AFC＝∠BAF+∠DCF=∠AEC即可；
②由①得：∠AEC＝2∠AFC，可求∠AFC＝42°，∠AEC＝82°，根据CG⊥AF，求出∠GCF=90-∠AFC=48°，根据角平分线计算得出∠GCF＝3∠DCF，求出∠DCF＝16°即可．
【详解】
解：（1）平行于同一条直线的两条直线平行，
两直线平行，内错角相等，
∠1，∠2，
∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
（2）①过F作FG∥AB，
由（1）得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
∵AB∥CD，FG∥AB，
∴CD∥FG，
∴∠BAF=∠AFG，∠DCF=∠GFC，
∴∠AFC=∠AFG+∠GFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，
∴∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
＝∠BAE+∠DCE，
=（∠BAE+∠DCE），
＝∠AEC，
＝×74°，
＝37°；

②由①得：∠AEC＝2∠AFC，
∵∠AEC+∠AFC＝126°，
∴2∠AFC+∠AFC＝126°
∴3∠AFC＝126°，
∴∠AFC＝42°，∠AEC＝84°，
∵CG⊥AF，
∴∠CGF＝90°，
∴∠GCF=90-∠AFC=48°，
∵CE平分∠DCG，
∴∠GCE＝∠ECD，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE＝2∠DCF＝2∠ECF，
∴∠GCF＝3∠DCF，
∴∠DCF＝16°，
∴∠DCE＝32°，
∴∠BAE＝∠AEC﹣∠DCE＝52°．

【点睛】
本题考查平行线性质，角平分线有关的计算，垂直定义，角的和差倍分，简单一元一次方程，掌握平行线性质，角平分线有关的计算，垂直定义，角的和差倍分，简单一元一次方程是解题关键．
3、∠FBG；两直线平行，同位角相等；等量代换；∠EAC；∠FBD；AC；BD；同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】
由平行线的性质得∠EAB＝∠FBD+∠2，再证∠1＝∠2，然后由平行线的判定即可得出结论．
【详解】
∵AE∥BF，
∴∠EAB＝∠FBG（两直线平行，同位角相等）．
∵AC⊥AE，BD⊥BF，
∴∠EAC＝90°，∠FBD＝90°．
∴∠EAC＝∠FBD（等量代换），
∴∠EAB﹣∠EAC＝∠FBG﹣∠FBD，
即∠1＝∠2．
∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠FBG；两直线平行，同位角相等；等量代换；∠AEC，∠FBD；AC，BD，同位角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
4、AC，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；EFC，两直线平行，同位角相等；垂直定义
【解析】
【分析】
根据平行线的判定与性质以及垂直的定义即可完成填空．
【详解】
解：如图，

∵∠1＝∠C，（已知）
∴，（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠DAC，（两直线平行，内错角相等）
∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠DAC+∠3＝180°，（等量代换）
∴，（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠ADC＝∠EFC，（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°，（垂直的定义）
∴∠ADC＝90°．（等量代换）
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定定理以及性质是解题的关键．
5、（1）55°；（2）当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD；
【解析】
【分析】
（1）过点P作PG∥l1，可得∠APG=∠PAC=15°，由l1∥l2，可得PG∥l2，则∠BPG=∠PBD=40°，即可得到∠APB=∠APG+∠BPG=55°；
（2）分当P在线段CD上时；当P在DC延长线上时；当P在CD延长线上时，三种情况讨论求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC=15°，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠APG+∠BPG=55°；

（2）由（1）可得当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；
如图1所示，当P在DC延长线上时，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠BPG-∠APG=∠PBD-∠PAC；

如图2所示，当P在CD延长线上时，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠APG-∠BPG=∠PAC-∠PBD；
∴综上所述，当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．