数学第七章 观察、猜想与证明综合与测试同步达标检测题

京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明同步训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列命题中，是真命题的是（  ）

A．同位角相等 B．同角的余角相等

C．相等的角是对顶角 D．有且只有一条直线与已知直线垂直

2、若的余角为，则的补角为（    ）

A． B． C． D．

3、如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为140°，则第二次的拐角为（　　）

A．40° B．50° C．140° D．150°

4、如图，C、D在线段BE上，下列说法：

①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；

②图中至少有2对互补的角；

③若∠BAE=90°，∠DAC=40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和360°；

④若BC=2，CD=DE=3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（  ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5、如图，不能推出a∥b的条件是（　　）

A．∠4＝∠2 B．∠3+∠4＝180° C．∠1＝∠3 D．∠2+∠3＝180°

6、如图，直线l1l2，直线l3与l1、l2分别相交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠2＝30°，则∠1的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

7、如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上．若∠1＝50°，则∠2的度数为（    ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

8、如图，直尺的一条边经过直角三角尺的直角顶点且平分直角，它的对边恰巧经过60°角的顶点．则∠1的大小是（　　）

A．30°  B．45°  C．60°  D．75°

9、下列命题中，为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．同位角相等 D．对顶角相等

10、如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC＝125°，则∠BOD等于（　　）

A．55° B．125° C．115° D．65°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若α＝25°57′，则2α的余角等于_____．

2、如图，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明．

证明：∵AC平分∠DAB（_______），

∴∠1＝∠______（________），

又∵∠1＝∠2（________），

∴∠2＝∠______（________），

∴AB______（________）．

3、已知：如图，在三角形ABC中，于点D，连接DE，当时，求证：DEBC．

证明：∵（已知），

∴（垂直的定义）．

∴________，

∵（已知），

∴________（依据1：________），

∴（依据2：________）．

4、如图，已知AB∥CD，∠1＝55°，则∠2的度数为 ___．

5、若一个角的余角为35°，则它的补角度数为 ______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图（甲），∠AOC和∠BOD都是直角．

（1）如果∠DOC＝29°，那么∠AOB的度数为 　 　度．

（2）找出图（甲）中相等的角．如果∠DOC≠29°，他们还会相等吗？

（3）若∠DOC越来越小，则∠AOB如何变化？

（4）在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与∠FOE相等的角．

2、如图，O是直线AB上点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．

（1）若∠BOC=70°，求∠COD和∠EOC的度数；

（2）写出∠COD与∠EOC具有的数量关系，并说明理由．

3、如图，在下列解答中，填写适当的理由或数学式：  

（1）∵∠A=∠CEF，（ 已知 ）  

∴________∥________；  （________）

（2）∵∠B+∠BDE=180°，（ 已知 ）  

∴________∥________；（________）

（3）∵DE∥BC，（ 已知 ）  

∴∠AED=∠________； （________）

（4）∵AB∥EF，（ 已知 ）  

∴∠ADE=∠________．（________）

4、如图，已知点，，三点共线，．作，平分．

（1）当时，

①补全图形；

②求的度数；

（2）请用等式表示与之间的数量关系，并呈现你的运算过程．

5、直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，NP平分∠MND．

（1）如图1，若MR平分∠EMB，则MR与NP的位置关系是      ．

（2）如图2，若MR平分∠AMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．

（3）如图3，若MR平分∠BMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．

---------参考答案-----------

一、单选题

1、B

【分析】

利用平行线的性质、对顶角的性质、垂线的定义及互余的定义分别对每个选项进行判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、应该是两直线平行，同位角相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

B、同角的余角相等，是真命题，故本选项符合题意；

C、相等的角不一定是对顶角，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

D、应该是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的性质、垂线的定义及互补的定义等知识．

2、C

【分析】

根据余角和补角的定义，先求出，再求出它的补角即可．

【详解】

解：∵的余角为，

∴，

的补角为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了余角和补角的运算，解题关键是明确两个角的和为90度，这两个角互为余角，两个角的和为180度，这两个角互为补角．

3、C

【分析】

由于拐弯前、后的两条路平行，用平行线的性质求解即可．

【详解】

解：∵拐弯前、后的两条路平行，

∴（两直线平行，内错角相等）．

故选：C．

【点睛】

本题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．

4、B

【分析】

按照两个端点确定一条线段即可判断①；根据补角的定义即可判断②；根据角的和差计算机可判断③；分两种情况讨论：当点F在线段CD上时点F到点B、C、D、E的距离之和最小，当点F和E重合时，点F到点B、C、D、E的距离之和最大计算即可判断④．

【详解】

解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故此说法正确；

②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，故此说法正确；

③由∠BAE=90°，∠CAD=40°，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE=3∠BAE+∠CAD=310°，故此说法错误；

④如图1，当F不在CD上时，FB+FC+FD+FE=BE+CD+2FC，如图2当F在CD上时，FB+FC+FD+FE=BE+CD，如图3当F与E重合时，FB+FC+FE+FD=BE+CD+2ED，同理当F与B重合时，FB+FC+FE+FD=BE+CD+2BC，

∵BC=2，CD=DE=3，

∴当F在的线段CD上最小，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC=2+3+3+3=11，当F和E重合最大则点F到点B、C、D、E的距离之和FB+FE+FD+FC=17，故此说法错误．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了线段的数量问题，补角的定义，角的和差，线段的和差，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

5、B

【分析】

根据平行线的判定方法，逐项判断即可．

【详解】

解：、和是一对内错角，当时，可判断，故不符合题意；

、和是邻补角，当时，不能判定，故符合题意；

、和是一对同位角，当时，可判断，故不合题意；

、和是一对同旁内角，当时，可判断，故不合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查了平行线的判定．解题的关键是：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．

6、D

【分析】

根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．

【详解】

解：∵BC⊥l3交l1于点B，

∴∠ACB＝90°，

∵∠2＝30°，

∴∠CAB＝180°−90°−30°＝60°，

∵l1l2，

∴∠1＝∠CAB＝60°．

故选：D．

【点睛】

此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．

7、B

【分析】

由平角的定义可求得∠BCD的度数，再利用平行线的性质即可求得∠2的度数．

【详解】

解：如图所示：

∵∠1＝50°，∠ACB＝90°，

∴∠BCD＝180°﹣∠1﹣∠BCD＝40°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠BCD＝40°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．

8、D

【分析】

由AC平分∠BAD，∠BAD=90°，得到∠BAC=45°，再由BD∥AC，得到∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，由此求解即可．

【详解】

解：∵AC平分∠BAD，∠BAD=90°，

∴∠BAC=45°

∵BD∥AC，

∴∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，

∵∠CBD=∠ABD+∠ABC=45°+60°=105°，

∴∠1=75°，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．

9、D

【分析】

利用互为相反数的两个数的平方也相等，有理数的大小比较，同位角和对顶角的概念性质进行分析判断即可．

【详解】

解：A、若，则或，故A错误．

B、当时，有，故B错误．

C、两直线平行，同位角相等，故C错误．

D、对顶角相等，D正确．

故选：D ．

【点睛】

本题主要是考查了平方、绝对值的比较大小、同位角和对顶角的性质，熟练掌握相关概念及性质，是解决本题的关键．

10、B

【分析】

根据对顶角相等即可求解．

【详解】

解：∵直线AB和CD相交于点O，∠AOC＝125°，

∴∠BOD等于125°．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了对顶角的性质，熟知对顶角相等的性质是解题的关键．

二、填空题

1、38°6′

【分析】

根据余角的和等于90°列式计算即可求解．

【详解】

解：∵α＝25°57′，

∴2α＝51°54′，

∴2α的余角＝90°﹣51°54′＝38°6′．

故答案为：38°6′．

【点睛】

此题主要考查角度的计算，解题的关键是熟知余角的性质．

2、已知    3    角平分线的定义    已知    3    等量代换    CD    内错角相等，两直线平行   

【分析】

根据平行线证明对书写过程的要求和格式填写即可.

【详解】

证明：∵AC平分∠DAB(已知)，

∴∠1＝∠  3  (角平分线的定义)，

又∵∠1＝∠2(已知)，

∴∠2＝∠  3  (等量代换)，

∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行)．

故答案为：已知；3；角平分线的定义；已知；3；等量代换；CD；内错角相等，两直线平行

【点睛】

本题主要考查平行线证明的书写，正确的逻辑推理和书写格式是解题的关键.

3、        同角的余角相等    内错角相等，两直线平行   

【分析】

根据垂直的定义及平行线的判定定理即可填空．

【详解】

∵（已知），

∴（垂直的定义）．

∴，

∵（已知），

∴（同角的余角相等），

∴（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，熟记 “内错角相等，两直线平行”是解题的关键．

4、

【分析】

如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据邻补角的定义即可得．

【详解】

解：如图，，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．

5、125°度

【分析】

若两个角的和为 则这两个角互余，若两个角的和为 则这两个角互补，根据定义直接可得答案.

【详解】

解： 一个角的余角为35°，

这个角为：

则它的补角度数为：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是余角与补角的计算，掌握“余角与补角的含义”是解本题的关键.

三、解答题

1、（1）；（2）相等，理由见解析；（3）∠AOB越来越大（4）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据∠AOC＝90°，∠DOC＝29°，求出∠AOD的度数，然后即可求出∠AOB的度数；

（2）根据直角和等式的性质可得，∠AOD＝∠BOC；

（3）根据∠AOD+∠DOC+∠DOC+∠BOC＝180°，可得∠AOB+∠DOC＝180°，进而得到∠DOC变小∠AOB变大，若∠DOC越来越大，则∠AOB越来越小．

（4）首先以OE为边，在∠EOF外画∠GOE＝90°，再以OF为边在∠EOF外画∠HOF＝90°，即可得到∠HOG＝∠EOF．

【详解】

解：（1）因为，∠AOC＝∠DOB＝90°，∠DOC＝29°

所以，∠COB＝90°﹣29°＝61°，

所以，∠AOB＝90°+61°＝151°，

（2）相等的角有：∠AOC＝∠DOB＝90°，∠AOD＝∠BOC；

因为∠AOD＝∠AOC-∠DOC＝∠DOB-∠DOC=∠COB

所以∠AOD＝∠BOC；

如果∠DOC≠29°，他们还会相等；

（3）因为∠AOB＝∠AOC+∠DOB-∠DOC＝180°-∠DOC

所以当∠DOC越来越小，则∠AOB越来越大；

（4）如图，

画∠HOF＝∠GOE＝90°，则∠HOG＝∠EOF

即，∠HOG为所画的角．

【点睛】

本题考查了余角和补角，以及角的计算，是基础题，准确识图是解题的关键．

2、（1）∠COD=35°；∠EOC=55°；（2）∠COD+∠EOC；理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据角平分线的定义直接可得∠COD，根据邻补角求得，进而根据角平分线的定义求得；

（2）根据平角的定义以及角平分线的定义，可得∠COD+∠EOC=(∠BOC+∠AOC)=90°，即可求得∠COD与∠EOC的数量关系．

【详解】

解：（1）∵OD平分∠BOC，∠BOC=70°，

∴∠COD=∠BOC=35°，

∵∠BOC=70°，

∴∠AOC=180°-∠BOC=110°，

∵OE平分∠AOC，

∴∠EOC=∠AOC=55°．

（2）∠COD+∠EOC=90°，理由如下：

∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，

∴∠COD=∠BOC，∠EOC=∠AOC，

∴∠COD+∠EOC=(∠BOC+∠AOC)=90°，

∴∠COD+∠EOC．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，求一个角的补角，平角的定义，理解角平分线的意义是解题的关键．

3、（1）AB；EF；同位角相等，两直线平行；（2）DE；BC；同旁内角互补，两直线平行；（3）C；两直线平行，同位角相等；（4）DEF；两直线平行，内错角相等

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，即可得；

（2）根据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行，即可得；

（3）根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得；

（4）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即可得．

【详解】

解：（1）∵，（已知）

∴，（同位角相等，两直线平行）；

（2）∵，（已知）

∴，（同旁内角互补，两直线平行）；

（3）∵，（已知）

∴，（两直线平行，同位角相等）

（4）∵，（已知）

∴（两直线平行，内错角相等）．

故答案为：（1）AB；EF；同位角相等，两直线平行；（2）DE；BC；同旁内角互补，两直线平行；（3）C；两直线平行，同位角相等；（4）DEF；两直线平行，内错角相等．

【点睛】

题目主要考查平行线的判定定理和性质，熟练掌握理解平行线的性质定理并结合图形是解题关键．

4、（1）①见详解，②20°；（2），过程见解析

【解析】

【分析】

（1）①根据角平分线的定义作图即可；②由补角的定义求得∠AOC的度数，根据角平分线的定义求得∠AOD 的度数，用∠AOD－∠AOE即可得出结果；

（2）根据（1）的方法，分别讨论时，时，当时，

即可得出与之间的数量关系．

【详解】

解：（1）①补全图形如图所示：

②∵，

∴，

∵平分，

∴，

∵，即，

∴

∴

（2），理由如下：

∵，

∴当时，

∴，

∵平分．

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

当时，

∴，

∵平分．

∴，

∵，

∴此时点A与点E重合，∴，

∴

当时，

∴

∵平分．

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

综上所述，

【点睛】

本题考查了余角和补角的计算，角平分线的定义以及分类讨论的思想，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

5、（1）MR//NP；（2）MR//NP，理由见解析；（3）MR⊥NP，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据AB∥CD，得出∠EMB=∠END，根据MR平分∠EMB，NP平分∠EBD，得出，可证∠EMR=∠ENP即可；

（2）根据AB∥CD，可得∠AMN=∠END，根据MR平分∠AMN，NP平分∠EBD，可得，得出∠RMN=∠ENP即可；

（3设MR，NP交于点Q，过点Q作QG∥AB，根据AB∥CD，可得∠BMN+∠END=180°，根据MR平分∠BMN，NP平分∠EBD，得出，计算两角和∠BMR+∠NPD=，根据GQ∥AB，AB∥CD，得出∠BMQ=∠GQM，∠GQN=∠PND，得出∠MQN=∠GQM+∠GQN=∠BMQ+∠PND=90°即可．

【详解】

证明：（1）结论为MR∥NP．

如题图1∵AB∥CD，

∴∠EMB=∠END，

∵MR平分∠EMB，NP平分∠EBD，

∴，

∴∠EMR=∠ENP，

∴MR∥BP；

故答案为MR∥BP；

（2）结论为：MR∥NP．

如题图2，∵AB∥CD，

∴∠AMN=∠END，

∵MR平分∠AMN，NP平分∠EBD，

∴

∴∠RMN=∠ENP，

∴MR∥NP；

（3）结论为：MR⊥NP．

如图，设MR，NP交于点Q，过点Q作QG∥AB，

∵AB∥CD，

∴∠BMN+∠END=180°，

∵MR平分∠BMN，NP平分∠EBD，

∴，

∴∠BMR+∠NPD=，

∵GQ∥AB，AB∥CD，

∴GQ∥CD∥AB，

∴∠BMQ=∠GQM，∠GQN=∠PND，

∴∠MQN=∠GQM+∠GQN=∠BMQ+∠PND=90°，

∴MR⊥NP，

【点睛】

本题考查平行线性质与判定，角平分线定义，角的和差，掌握平行线性质与判定，角平分线定义，角的和差是解题关键．