衡水金卷2021-2022学年度高三一轮复习摸底测试卷数学（一）【含答案解析】

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绝密★启用前衡水金卷2021-2022 学年度高三一轮复习摸底测试卷数学（一） 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题1．已知集合，，则集合可以为（    ）A． B．C． D．2．已知，，，复数的实部为，虚部为，则（    ）A． B． C． D．3．已知双曲线与双曲线有相同的焦点.则的渐近线方程为（    ）A． B．C． D．4．已知某圆柱的底面积为，高为4，某母线长为8的圆锥的侧面积恰好与该圆柱的侧面积相等，则此圆锥的体积为（    ）A． B．C． D．5．在药物代谢动力学中，注射药物后瞬时药物浓度（单位：）与时间（单位：）的关系式为，其中为时的药物浓度，为常数.已知给某患者注射某剂量为的药物后，测得不同时间药物浓度如下：1.02.0109.7880.35则该药物的的值大约为（    ）A．0.287 B．0.312 C．0.323 D．0.3566．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）A． B．C． D．7．在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（    ）A． B． C．2 D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（    ）A． B． C． D． 二、多选题9．已知，，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．10．已知一组样本数据，，…，的平均数与中位数均为9，方差为4，极差为10，由这组数据得到新样本数据，，…，，则（    ）A．新样本数据的平均数为26B．新样本数据的中位数为26C．新样本数据的方差为35D．新样本数据的极差为3011．已知函数，则下列结论错误的是（    ）A．的最大值为B．的图象关于直线对称C．的最小正周期为D．在上单调递增12．已知函数的定义域为，其导函数为，对于任意，都有，则使不等式成立的的值可以为（    ）A． B．1 C．2 D．3 第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题13．设命题，，若为假命题，则实数的取值范围是______.14．2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.15．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，目前发现了共有13个这种几何体，而截角四面体就是其中的一种，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得，已知一截角四面体的棱长为1，则该截角四面体的外接球表面积为______. 四、双空题16．记等差数列的前项和为，若，，则公差______；使取得最小值的值为______. 五、解答题17．已知数列的前项和为，，.（1）证明：数列是等比数列；（2）若，求数列的前项和.18．在中，，，分别是角，，的对边，且.（1）求；（2）若，求的中线长度的最小值.19．中医药文化历史悠久.我国经历了数千年的艰难探索和发展，逐渐积淀成博大精深的中医药文化.某医药采购商计划从云南昭通购买500千克乌天麻，购买数据如下表：乌天麻规格（支/千克）数量（千克）20010015050 （1）估计每千克乌天麻的平均支数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）已知生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，方案一：这500千克乌天麻一律售价为280元/千克.方案二：这500千克按规格不同售出，其售价如下：乌天麻规格（支/千克）售价（元/千克）300280260240从采购商的角度考虑，应该选择哪种方案?请说明理由.20．如图①，直角梯形中，，，点，分别在，上，，，将四边形沿折起，使得点，分别到达点，的位置，如图②，平面平面，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．已知抛物线的准线为，直线交于，两点，过点，分别作上的垂线，垂足分别为，.（1）若梯形的面积为，求实数的值；（2）是否存在常数，使得成立?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由?22．已知函数.（1）讨论函数的极值；（2）当时，证明：恒成立.
参考答案1．B【分析】先化简集合M，再根据逐项验证.【详解】由题意得，A项中，，不符合；B项中，，符合；C项中，，不符合；D项中，，不符合.故选：B.2．A【分析】由复数的除法运算化简复数后结合复数的定义可得．【详解】，所以，，所以.故选：A.3．C【分析】根据两个双曲线有相同的焦点，由，得到双曲线的方程求解.【详解】由，得，由题得，解得，所以，所以的渐近线方程为.故选：C.4．C【分析】利用圆柱与圆锥的侧面展开图面积相等，可得圆锥的半径，从而可得圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面圆半径为，圆锥的底面圆半径为，则，.由圆柱与圆锥的侧面展开图面积相等，得，即，解得，故此圆锥的体积.故选:C.5．B【分析】所给数据代入已知表达式，相除后取对数可得值．【详解】由题得，，两式相除得，所以.故选：B.6．D【分析】由定义域排除A，由函数在处的变化趋势排除B，由函数的奇偶性排除C，得正确正确选项．【详解】由图知，排除A选项；当，且趋近于0时，由图知趋近于，排除B；又C选项中，其图象关于轴对称，不符合.故选：D.7．B【分析】由题意可知是线段的中垂线，从而可得结果.【详解】由得是的中点，又由得，所以.故选：B.8．B【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出的关系式，从而求得离心率．【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上.如图，设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，切点也在的角平分线上，所以，由椭圆的定义知，则，所以，所以，所以，.又圆与圆的面积之比为4，所以圆与圆的半径之比为2，因为，所以，即，整理得，故椭圆的离心率.故选：B.9．AC【分析】由不等式的性质判断A，举例说明BD，由指数函数性质判断C．【详解】由不等式的性质可知，A正确；当时，，故B错误；函数为上的增函数，故C正确；当，时，，D错误.故选：AC.10．ABD【分析】根据新数据与原数据之间的关系，得出它们的平均值、方差、中位数、极差的关系，求得新数据的平均值、方差、中位数、极差，从而可判断各选项．【详解】若一组样本数据，，…，的平均数，方差分别为，，则样本数据，，…，的平均数，方差分别为，，故本题中新样本数据的平均数为，方差为，A正确，C错误；若原样本数据的中位数为，则新样本数据的中位数为，B正确；若原样本数据的极差为，则新样本数据极差为，D正确.故选：ABD.11．ACD【分析】举反例说明ACD，根据对称性定义、周期的定义、增函数的定义判断B．【详解】，A错误；，，所以，B正确；，，，且，C，D错误.故选：ACD.12．CD【分析】构造函数，由导数确定其单调性，再由单调性解不等式，确定正确选项．【详解】令，所以，因为，，所以，所以在上单调递增，又，可得的解集为.故选：CD.13．【分析】为假命题，为真命题，将问题转化为，求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】由题得，为真命题，所以，又函数在上单调递减，所以当时，.故只需.故答案为：14．【分析】利用条件概率公式即可得到结果.【详解】设“甲同学被选出”记为事件，“乙同学被选出”记为事件，则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率.故答案为：15．【分析】如图，是下底面正六边形的中心，是上底面正三角形的中心，由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心在原正四面体的高上，利用勾股定理求得后是外接球半径，再由表面积公式得表面积．【详解】如图，是下底面正六边形的中心，是上底面正三角形的中心，由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心在原正四面体的高上，，.设球的半径为，在中，，所以，在中，，所以，所以，解得，所以，所以外接球的表面积.故答案为：．16．4    6    【分析】由得，从而可得公差，然后求出的表达式，结合二次函数性质得最小值及相应的值．【详解】由，得，所以.，所以当时，取得最小值.故答案为：4；6．17．（1）证明见解析（2）【分析】（1）中令和结合求得，然后中利用得数列的递推关系得数列为等比数列；（2）由（1）求得再得出，利用裂项相消法求得和．（1）因为，所以，因为，所以，，即，，解得，，当时，，与联立，得，所以.又因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）得，所以，，所以，所以.18．（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理可得，结合三角恒等变换可得结果；（2）由题意可得，即，结合余弦定理及均值不等式可得结果.（1）因为，所以，即，整理得，因为，为三角形内角，所以，，所以，，所以，即，又因为，所以；（2）因为，所以，整理得，在三角形中，由余弦定理得.因为，当且仅当时取等号，所以，即，所以，即，即长度的最小值为.19．（1）16支（2）选择方案二，理由见解析【分析】（1）根据频率分布表，利用平均数公式求解；（2）根据频率分布表，利用平均数公式求得方案二的产品的平均售价，再比较下结论.（1）解：，所以该采购商购买的乌天麻每千克的平均支数为16支.（2）由题意知：方案二的产品的平均售价为：（元/千克）.因为278<280，所以从采购商的角度考虑，选择方案二.20．（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据，，，，易证，再根据平面平面，，得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定定理证明平面即可；（2）根据（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，设二面角的大小为，由求解.（1）解：因为，，，所以，，又，所以是等腰直角三角形，即，所以.由平面几何知识易知，所以，即.又平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以.又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，F（1，0，0），则，，设平面的一个法向量为，由，得，取，则.由，，，得平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则，由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.21．（1）或（2）存在，-4【分析】（1）直线过焦点.设，，则，，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，再得出，计算梯形面积，可求得值；（2）计算出数量积，可得．（1）由题得准线，直线过焦点.设，，则，，联立得，所以，，所以，，.而梯形的面积解得或.（2），又，所以为常数.22．（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求出导函数，然后分类讨论确定的正负，得单调区间后可得极值；（2）不等式变形为，只要只要证，由（1）得最大值，不等式再变形后，换元，，引入新函数，利用导数求得新函数的最大值，从而证明不等式成立．（1）显然的定义域为，因为，所以，若，则当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减；故在处取得唯一的极大值，且极大值为1.若，则当时恒成立，故函数在上单调递增，无极值.综上，当时，的极大值为，无极小值；当时，无极值.（2）当时，若证恒成立，只需证恒成立，即证，由（1）知在处取得最大值，最大值为，所以即证，即证.令，因为，所以，则只需证明，令，，则，当时，，当时，.故在上单调递增，在上单调递减，故，故，即.因此当时，恒成立.【点睛】本题考查用导数求函数的极值，证明不等式．证明不等式的关键是不等式的转化，一是由不等式的性质转化为，二是换元化简不等式，三是引入新函数，转化为求新函数的最大值．考查逻辑思维能力，运算求解能力．