衡水金卷2021-2022学年度高三一轮复习摸底测试数学（二）（含答案解析）

这是一份衡水金卷2021-2022学年度高三一轮复习摸底测试数学（二）（含答案解析），共22页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，二项式展开式中项的系数为，已知数列的前项和为，若，且，则等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前衡水金卷2021-2022 学年度高三一轮复习摸底测试卷数学（二） 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题1．已知复数在复平面上对应的点在直线上，则（    ）A． B．2 C． D．32．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．3．二项式展开式中项的系数为（    ）A． B． C． D．4．已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ）A． B．C． D．5．《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其卷五“商功”中记载这样一个问题:今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺，问积几何?其含义是:今有正四棱锥，下底边长为丈尺，高丈尺，问它的体积为多少立方尺（    ）(注丈尺)A． B． C． D．6．已知数列的前项和为，若，且，则（    ）A． B． C． D．7．某无人机配件厂商从其所生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其某项质量测试指标值X服从正态分布，且落在区间内的无人机配件个数为则可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为（    ）(附:若随机变量服从正态分布，则A． B． C． D．8．动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（    ）A． B． C． D． 二、多选题9．受疫情影响，全球经济普遍下滑.某公司及时调整产研策略，加大研发力度，不断推出新的产品，使2021年的经济由亏转盈，并健康持续发展.下表为2021年1月份至6月份此公司的经济指标万元)与时间月份)的关系:123456其中，其对应的回归方程为，则下列说法正确的有（    ）A．与负相关B．C．回归直线可能不经过点D．2021年10月份的经济指标大约为10．已知函数满足，且，则下列说法正确的有（    ）A．B．C．直线是图象的一条对称轴D．点是图象的一个对称中心11．直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，为抛物线准线上一点，则以下可以成立的是（    ）A．的面积为B．C．D．对任意总存在点使得重心在抛物线上12．若正实数满足，则下列结论正确的有（    ）A． B． C． D． 第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题13．已知，则__________.14．已知向量，若向量的夹角为，则的值为_________.15．在中，角所对的边分别为，当时，若不等式恒成立，则的取值范围为___________. 四、双空题16．已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆交轴正半轴于点，线段交双曲线的渐近线于点，若点恰好为线段的中点(为坐标原点)，则的大小为_________，双曲线的离心率为_________. 五、解答题17．已知的内角所对的边分别为.且，    在①的周长为6；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.（1）求；（2）求的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.18．已知等差数列中，等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）记，比较与的大小.19．如图所示，直三棱柱的上、下底面的顶点分别在圆柱的上、下底面的圆周上，且AB过圆柱下底面的圆心为与的交点.（1）求证:平面；（2）若圆柱底面半径为，母线长为，求直线与平面所成角的正切值.20．已知椭圆的离心率为，圆与轴相切，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，是否存在直线使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21．交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线路的行驶过程要经过两段路，若已知路段共要过个交通岗，且经过交通岗时遇到红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，在路段的行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为，且上一交通岗遇到红灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为；若上一交通岗遇到绿灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，记段线路中第个交通岗遇到红灯的概率为.（1）求该司机在路段的行驶过程中遇到红灯次数的分布列与期望；（2）①求该司机在路段行驶过程中第个交通岗遇到红灯的概率的通项公式；②试判断在最后离开路段时的最后一个交通岗遇到红灯的概率大于，还是小于，请用数据说明.22．已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案1．D【分析】由复数的四则运算得出复数在复平面上对应的点的坐标，再代入直线方程得出.【详解】因为所以其对应点的坐标为由题意知，解得故选：D.2．B【分析】由已知求得集合,根据即可求得结果.【详解】题可知所以由得.故选:B.3．D【分析】由二项展开式的通项求解即可.【详解】令，得故选：D.4．D【分析】根据已知条件取特殊值或者作差法比较大小，依次判断各选项即可得出结果.【详解】令，则，即.所以A选项错误；令，则，即，所以B选项错误；令，则，所以C选项错误；因为，由得，所以D选项正确.故选:D.5．A【分析】由已知分别计算出底面积，根据锥体的体积公式计算即可得出结果.【详解】由题可知下底面积为，高为所以由体积公式可知立方尺.故选:A.6．B【分析】由，得，则数列是周期为的数列，根据已知条件计算即可得出结果.【详解】由，得，所以数列是周期为的数列，所以由得所以，所以，故选：B.7．B【分析】利用正态分布的性质得出的值，进而估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数.【详解】因为服从正态分布，所以则且在区间内的个数为，故可估计值约万个.则故可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为.故选：B.8．A【分析】当点处的切线和直线平行时，的值最小，结合导数和解析式求得点，再由点到直线距离公式即可求解.【详解】设点是直线上任意一点﹐点是曲线上任意一点，当点处的切线和直线平行时，这两条平行线间的距离的值最小﹐因为直线的斜率等于，曲线的导数，令，可得或(舍去)，故此时点的坐标为，，故选：A.9．BD【分析】由线性回归方程可直接判断A，由所给数据求出（可判断C），代入回归方程可求；将代入求可判断D.【详解】由回归方程中的系数为正数，知与正相关，故A选项错误﹔由题意可知所以所以，故B选项正确；回归直线过点，即过点，故C选项错误﹔令得，故D选项正确.故选：BD.10．ACD【分析】由可知直线是函数的图象的一条对称轴，又，所以是函数的图象的一个对称中心，则，即，可求得的值，根据余弦型函数的性质计算即可判断各选项.【详解】由可知直线是函数的图象的一条对称轴，故C选项正确；又，所以是函数的图象的一个对称中心，所以，即，又因为，所以因为，所以当时，符合，故A选项正确；所以，所以因为所以当时，符合条件，故B选项错误；从而，故点是图象的一个对称中心﹐故选项正确.故选：ACD.11．AB【分析】对A采用临界条件判断，面积的取值范围为；由抛物线性质可知，以为直径的圆与相切，从而判断B、C；对D，设，，联立直线和抛物线方程，结合重心定义表示出重心，反带抛物线方程检验即可求解.【详解】对于A:与交于接近于时，面积接近于，故面积接近于，故面积的取值范围为，所以A正确；对于B：以为直径的圆与相切﹐故可取；对于C：由知，不可取；对于D：设，，则重心为，设直线方程为，联立，，，则重心为，代入抛物线方程得，化简得，不恒成立，即方程不恒有解，所以D项错误.故选：AB12．AC【分析】通过构造函数，可判断函数为减函数，采用，结合代换，由指数和对数函数单调性即可判断.【详解】设，则在为减函数，因为所以，因为所以，所以，即，从而所以A正确，B错误；而所以所以，所以C正确，D错误.故选：AC.13．【分析】结合诱导公式化简即可求解.【详解】.故答案为：14．【分析】根据条件求出，，再利用数量积公式列方程求解.【详解】由得，由得，又所以，即得到，解得故答案为：.15．【分析】由余弦定理得出，将题设不等式化为再解一元二次不等式即可.【详解】由余弦定理得因为，所以由得所以若不等式，即恒成立﹐则即，所以或(舍).故答案为：16．##【分析】根据题意，可知，再由三角形中位线的性质得出，从而得出；再由双曲线的渐近线为第二、四象限的平分线，所以，结合和离心率，即可得出双曲线的离心率.【详解】解：由点为以为直径的圆与轴正半轴的交点，可知，又因为原点为的中点，为中点，所以，所以，从而双曲线的渐近线为第二、四象限的平分线，所以，而，则，即，所以.故答案为：；.17．（1）（2）答案见详解【分析】（1）先利用正弦定理角化边，然后用余弦定理计算即可.（2）先利用正弦定理进行边角转化，再利用余弦定理求出其他的边角，最后通过面积公式求出面积即可.（1）由正弦定理及得，即，由余弦定理得，由于，所以（2）选①:由的周长为，得，由（1）得所以，所以的面积为.选②:由正弦定理及得，由余弦定理得，，即，解得所以，所以的面积为.选③:由正弦定理及，得，因为，所以，所以，即，整理可得，因为，则，所以为等边三角形，所以的面积为.18．（1）（2）【分析】（1）利用等差数列通项公式基本量的计算可求得，进而利用等比数列的基本量的计算即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可知，则，观察分析即可得出结果.（1）设等差数列的公差为，所以由，得，所以，从而，所以，所以.（2）由（1）可知，所以，当时，为正值﹐所以；当时，为负值﹐所以；当时，为正值﹐所以.19．（1）证明见解析（2）【分析】（1）法一：连接可证得，由线面平行的判定定理即可证得结论；法二：取中点中点，连接可证得四边形为平行四边形，则，由线面平行的判定定理即可证得结论.（2）法一：取中点中点，连接可知,易证得平面，从而平面，则连接为直线与平面所成的角，计算即可求得结果;法二:分别以向量，的方向为的正方向建立空间直角坐标系,求得，求出平面的一个法向量可以记为，利用数量积公式计算即可得出结果.（1）法一:连接由题易知为矩形，所以为的中点，又为中点，所以，又平面平面，所以平面.法二:取中点中点，连接由题易知为矩形，所以为的中点，又为中点，所以，所以，又易知，所以，从而四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面；（2）法一:取中点中点，连接可知又因为点在圆周上，为圆的直径，所以又因为直三棱柱中底面，所以，从而平面，从而平面，所以连接为直线与平面所成的角，圆柱底面半径为，所以，又依题可知，所以，从而，所以在中， 法二:因为点在圆周上，为圆的直径，所以，又因为直三棱柱中底面，所以两两垂直，分别以向量，的方向为的正方向建立如图所示的空间直角坐标系圆柱底面半径为，母线长为，所以，所以，所以，从而，又由平面，且为底面圆的直径，所以，又，可知平面，所以平面的一个法向量可以记为，设直线与平面所成角为，则所以.20．（1）（2）存在，或或或【分析】（1）根据圆与轴相切可得，再结合离心率即可求出椭圆的方程；（2）设直线，，与椭圆联立，利用韦达定理以及求出面积，然后解方程即可.（1）因为圆与轴相切，所以所以，又，所以，所以椭圆；（2）由（1）可知椭圆的右焦点为，①当直线的斜率为时，显然不适合题意；②当直线的斜率不为时，设直线，联立，恒成立，所以，则所以令，解得或，即得或所以符合条件的直线方程分别为或或或.21．（1）分布列见解析，（2）①；②小于，理由见解析【分析】（1）由题意，X的取值可能为由二项分布概率公式计算出概率，得分布列，再由二项分布的期望公式计算出期望；（2）①由已知条件得出的递推关系，变形凑配出等比数列，由此可得通项公式；②由通项公式可得其值与的大小关系．（1）由题可知X的取值可能为且易知，且，所以所以的分布列为1234；（2）①由题可知，即又因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即；②由①可知，，所以最后一个交通岗遇到红灯的概率小于.22．（1）的单调递减区间为，单调递增区间为（2）【分析】（1）求出，令，进一步求出，分析正负取值的情况，进而可得的单调性；（2）将不等式不等式恒成立问题转化为恒成立，令，通过求导求出的最小值，进而可得答案.（1）当时，得，令，则当时，，当时，单调递减﹔当时，单调递增.，又当时，恒成立，且，当时，单调递减﹔当时，单调递减﹔综上:的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）恒成立，即恒成立，即恒成立，因为只需恒成立，只需，令，当时，单调递减，当时，单调递增，所以恒成立，当且仅当时等号成立，所以恒成立，当且仅当时等号成立，由和的图像有交点可得存在使得，所以，所以，所以.【点睛】关键点点睛：（1）当一次求导不能解决问题的时候，我们需要对导函数再次求导来研究函数的性质；（2）对于恒成立问题，我们需要通过参变分离来转化为最值问题，这个过程需要构造函数来研究函数性质.