高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 习题课 空间向量应用的综合问题（84张PPT）

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习题课　空间向量应用的综合问题第6章　空间向量与立体几何通过对空间向量的学习，能熟练利用空间向量求点、线、面间的距离、空间角及解决有关探索性问题.学习目标随堂演练课时对点练一、利用空间向量求空间角二、利用空间向量求距离三、利用空间向量解决探索性问题内容索引一、利用空间向量求空间角例1　如图，PA⊥平面ABCD，CF∥AP，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AP＝BC＝2.(1)求直线CP与平面BDP所成角的正弦值；解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，设n＝(x1，y1，z1)为平面BDP的法向量，不妨令z1＝1，可得n＝(2,2,1).(2)若二面角P－BD－F的余弦值为 ，求线段CF的长.解　设m＝(x2，y2，z2)为平面BDF的法向量，CF＝h，延伸探究　本例条件换为如图，在四棱锥P－ABCD中，直线PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝2AB＝2AD＝4BE＝4.(1)求证：直线DE⊥平面PAC；证明　∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，PA⊥AD，又AB⊥AD，∴PA，AD，AB两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P(0,0，λ)(λ>0)，由已知得A(0,0,0)，D(0,2,0)，E(2,1,0)，C(2,4,0)，∴DE⊥AC，DE⊥AP，又AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC，∴DE⊥平面PAC.(2)若直线PE与平面PAC所成角的正弦值为 ，求二面角A－PC－D的余弦值.解　由(1)，得平面PAC的一个法向量是设直线PE与平面PAC所成的角为θ，∴λ＝2，即P(0,0,2)，设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，令x0＝1，则n＝(1，－1，－1)，∵二面角A－PC－D是锐角，反思感悟　运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论.跟踪训练1　如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，AF＝2 FD，∠DFE＝∠CEF＝45°.(1)求异面直线BC，DF所成角的大小；解　因为四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，所以AF⊥平面DCEF.又∠DFE＝∠CEF＝45°，所以在平面DCEF内作DO⊥EF，垂足为点O，以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OD所在的直线为z轴建立空间直角坐标系(如图所示).D(0,0，a)，F(a,0,0)，B(－3a,4a,0)，C(－2a,0，a).(2)求二面角D－BE－C的余弦值.设平面DBE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，取x1＝1得平面DBE的一个法向量为n1＝(1,0，－3)，设平面CBE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，取x2＝1得平面CBE的一个法向量为n2＝(1,0，－1)，由图可知，二面角D－BE－C为锐角，二、利用空间向量求距离例2　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离.解　建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0,0,2)，E(4，－2，0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)，设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z).∴x＝－y，z＝－3y.取y＝1，则n＝(－1,1，－3).跟踪训练2　在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CC1的中点.(1)求证：AD∥平面A1EFD1；证明　如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，D1(0,0，a)，A1(a,0，a)，所以DA∥D1A1.又D1A1⊂平面A1EFD1，DA⊄平面A1EFD1，所以DA∥平面A1EFD1.(2)求直线AD与平面A1EFD1的距离.设n＝(x，y，z)是平面A1EFD1的一个法向量，点D到平面A1EFD1的距离三、利用空间向量解决探索性问题(1)取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB；证明　取BC的中点E，连接DE，交AC于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(2，－1,0)，C(0,1,0)，D(－1,0,0)，P(0，－1,2).∵点N为PC的中点，∴N(0,0,1)，设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，可得n＝(0,1,0)，又∵DN⊄平面PAB，∴DN∥平面PAB.(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；设直线AC与PD所成的角为θ，(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M－AC－D的大小为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由.设平面ACM的一个法向量为m＝(a，b，c)，可得m＝(2－2λ，0，λ)，由图知平面ACD的一个法向量为u＝(0,0,1)，设BM与平面MAC所成的角为φ，∴φ＝30°.故存在点M，使得二面角M－AC－D的大小为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°.反思感悟　(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.(2)对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.跟踪训练3　如图，将长方形OAA1O1(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，其中OA＝1, OO1＝2， 的长为 ，AB为⊙O的直径.(1)在 上是否存在点C(C，B1在平面OAA1O1的同侧)，使得BC⊥AB1，若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由；解　存在符合题意的点C，当B1C为圆柱OO1的母线时，BC⊥AB1.证明如下：在 上取点C，使B1C为圆柱的母线，则B1C⊥BC，如图，连接BC，AC，因为AB为⊙O的直径，所以BC⊥AC，又B1C∩AC＝C，所以BC⊥平面AB1C.因为AB1⊂平面AB1C，所以BC⊥AB1.(2)求二面角A1－O1B－B1的余弦值.解　取 的中点D(D，B1在平面OAA1O1的同侧)，连接OD，OC，由题意可知，OD，OA，OO1两两垂直，故以O为坐标原点，以OD，OA，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设平面O1BB1的法向量为n＝(x，y，z)，设二面角A1－O1B－B1的大小为θ，1.知识清单：(1)利用空间向量求空间角.(2)利用空间向量求距离.(3)利用空间向量解决探索性问题.2.方法归纳：坐标法、转化化归.3.常见误区：对于有限制条件的探索性问题求解时易忽视参数的范围.课堂小结随堂演练1.在三棱柱ABC­-A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α的值是1234√解析　如图，建立空间直角坐标系，123412342.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为√解析　不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，SA，SB，SC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系S－xyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，1234123412343.已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为______.1234解析　取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系.1234设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________.12341234课时对点练基础巩固12341.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，AB＝PA，PA⊥底面ABCD，∠ABC＝ ，E是PC上任一点，AC∩BD＝O.(1)求证：平面EBD⊥平面PAC；1234证明　在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.1234(2)若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值.1234解　取BC的中点F，连接AF，所以△ABC为等边三角形，所以AF⊥BC，所以AF⊥AD，如图，建立空间直角坐标系，令AB＝PA＝2，1234设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，1234设直线ED与平面EBC所成角为θ，2.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.1234(1)求证：BC⊥平面PAC；证明　∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.12341234解　设AP＝h，取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB.又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AB，故建立如图所示的空间直角坐标系，设平面PDC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，12341234所以点A到平面PBC的距离为12343.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝ ，∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；1234解　如图，在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.因为AB＝AD＝2，12341234(2)求二面角A－A1D－B的平面角的正弦值.1234设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，1234设二面角A－A1D－B的平面角的大小为θ，因为θ∈[0，π]，1234(1)求证：CD⊥平面PAD；证明　因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.又AD⊥CD，AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.1234(2)求二面角F－AE－P的余弦值；1234解　过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD.以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，－1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).因为E为PD的中点，所以E(0,1,1).1234设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，令z＝1，则y＝－1，x＝－1.于是n＝(－1，－1,1)为平面AEF 的一个法向量.易得平面PAD的一个法向量为p＝(1,0,0)，1234由题意知，二面角F－AE－P为锐二面角，12341234解　直线AG在平面AEF 内.理由如下：由(2)知，平面AEF 的一个法向量n＝(－1，－1,1)，所以直线AG在平面AEF内.本课结束