北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试随堂练习题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程定向训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一元二次方程的两个根是 （    ）

A．， B．， C．， D．，

2、将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（    ）

A． B． C． D．

3、用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　）

A．（x﹣5）2＝4 B．（x+5）2＝4 C．（x﹣5）2＝121 D．（x+5）2＝121

4、已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（    ）

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4

5、某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后售价由298元降到了268元，根据题意可列方程为（    ）．

A． B．

C． D．

6、某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

7、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能为（    ）．

A．3 B．4 C．5 D．6

8、一元二次方程的解是（    ）．

A．5 B．－2 C．－5或2 D．5或－2

9、某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主客场形式（每两队之间在主客场各比赛一场），已知共比赛了30场次，则共有（　　）支队伍参赛．

A．4 B．5 C．6 D．7

10、下列事件为必然事件的是（　　）

A．抛掷一枚硬币，正面向上

B．在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球

C．方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根

D．如果|a|＝|b|，那么a＝b

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、解一元二次方程x2﹣7x＝0的最佳方法是 _____．

2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，若设平均每次降价的百分率为x，则由题意可列方程为 ________________，可得x＝____．

3、方程：的一般形式是______________．

4、关于x的一元二次方程的两实数根，，满足，则m的值是______．

5、方程7x2﹣6x﹣5＝0的解为 ______________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解下列方程：

（1）；

（2）．

2、已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根小于2，求的取值范围．

3、（1）计算：

（2）计算：

（3）解方程：

（4）解方程：

4、已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为(0，12)，经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为(﹣9，3)．

（1）求直线l1，l2的表达式；

（2）点C为直线OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CDy轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF．

①设点C的纵坐标为n，求点D的坐标（用含n的代数式表示）；

②若矩形CDEF的面积为48，请直接写出此时点C的坐标．

5、我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．

（1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式：　   　；

（2）已知两个根分式M＝与N＝．

①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；

②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

分别令和，即可求出该方程的两个根．

【详解】

解：由可知：或，

方程的解为：，

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了一元二次方程的求解，一定要熟练掌握两项乘积为的一元二次方程的求解：令每一项都为0，即可求出该方程的两个根．

2、A

【分析】

将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，即，

故选A．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

3、A

【分析】

利用配方法，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解．

【详解】

解：x2﹣10x+21＝0，

移项得： ，

方程两边同时加上25，得： ，

即 ．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握利用配方法，需要方程的两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键．

4、B

【分析】

根据根的含义将代入一元二次方程x2＋k﹣3＝0求解即可．

【详解】

解：∵一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，

∴将代入得，，解得：．

故选：B．

【点睛】

此题考查了已知一元二次方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得概念．

5、D

【分析】

根据该商品的原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：依题意得：298（1-x）2=268．

故选：D．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

6、A

【分析】

设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打场球，每个球队都打场球，并且都重复一次，根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．

【详解】

解：设共有x个班级参赛，根据题意得：

，

解得：，（不合题意，舍去），

则共有6个班级参赛，

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．

7、A

【分析】

根据方程有两个不相等的实数根，判别式△＞0，确定a的取值范围，判断选择即可．

【详解】

∵方程有两个不相等的实数根，

∴判别式△＞0，

∴，

∴a＜4，

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．

8、D

【分析】

直接把原方程化为两个一次方程或，再解一次方程即可.

【详解】

解：

或

解得：

故选D

【点睛】

本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“因式分解法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键.

9、C

【分析】

由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关系为：球队的个数×（球队的个数1）=30，把相关数值代入计算即可．

【详解】

解：有x个球队参加比赛，

根据题意可列方程为：x（x1）=30，

解得：或（舍去）；

∴共有6支队伍参赛；

故选：C

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．

10、C

【分析】

根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件，进行逐一判断即可

【详解】

解：A、抛掷一枚硬币，可能正面向上，也有可能反面向上，不是必然事件，不符合题意；

B、在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球是不可能发生的，不是必然事件，不符合题意；

C、∵，∴方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根，是必然事件，符合题意；

D、如果|a|＝|b|，那么a＝b或a=-b，不是必然事件，不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了必然事件的定义，熟知定义是解题的关键．

二、填空题

1、因式分解法

【分析】

将一元二次方程先提公因式然后计算即可．

【详解】

解：一元二次方程，即，

解得：，，

∴应采用因式分解法，

故答案为：因式分解法．

【点睛】

题目主要考查一元二次方程的因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题关键．

2、100（1﹣x）2＝81    10%   

【分析】

设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解．

【详解】

解：根据题意得：100（1﹣x）2＝81，

解得：x＝0.1＝10%或x＝1.1（舍去），

故答案为：100（1﹣x）2＝81，10%．

【点睛】

本题考查一元二次方程解降价的百分率问题，掌握一元二次方程解降价的百分率问题的方法与步骤是解题关键．

3、

【分析】

移项即可化为一般形式．

【详解】

移项得：

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为，且a、b、c为常数，因此熟悉一元二次方程的一般形式是关键．

4、2

【分析】

先根据根的判别式求得m的取值范围，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到x1x2＝m2−m＝2，进而求得m＝2或m＝−1，故可得解．

【详解】

解：由题意得Δ＝（2m）2−4（m2−m）≥0，

∴m≥0，

∵关于x的一元二次方程的两实数根，，

则x1x2＝m2−m＝2，

∴m2−m−2＝0，解得m＝2或m＝−1（舍去），

故答案为：2．

【点睛】

本题考查的是解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1x2＝．

5、

【分析】

找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．

【详解】

解：7x2﹣6x﹣5＝0

∵a＝7，b＝﹣6，c＝﹣5，

∵△＝36﹣4×7×（﹣5）＝176＞0，

∴ ，

∴x1＝，x2＝．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法，常用的解法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法，做题的关键是根据题目选择合适的方法．

三、解答题

1、（1）；（2）

【分析】

（1）直接根据因式分解法解一元二次方程即可；

（2）先将方程化为一般形式，进而根据因式分解法解一元二次方程即可．

【详解】

解：（1）

解得

（2）

即

解得

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

2、（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−4）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝4，x2＝k，根据方程有一根小于2，即可得出k的取值范围．

【详解】

（1）∵，

∴△=，

∴方程总有两个实数根．

（2）∵，

∴，

解得：，，

∵该方程有一个根小于2，

∴．

【点睛】

本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方程的两个根，熟练掌握当△≥0时，方程有两个实数根是解题关键．

3、（1）；（2）；（3）；（4）．

【分析】

（1）根据算术平方根的性质、负整指数幂的性质、正弦定义等知识计算解题；

（2）根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则、完全平方公式等知识计算解题，

（3）利用配方法解题；

（4）利用提公因式法结合整体思想解题．

【详解】

解：（1）

；

（2）

；

（3）

（4）

或

【点睛】

本题考查实数的混合运算、二次根式的乘除法、解一元二次方程等知识，涉及正弦、整体思想等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

4、（1）y＝﹣x，y＝x+12；（2）①(﹣3n，﹣3n+12)；②(3，﹣1)或C(﹣12，4)

【分析】

（1）从图中看以看出l1是正比例函数，l2是一次函数，根据点A、B的坐标，用待定系数法即可求得l1、l2的解析式；

（2）①已知点C的纵坐标及点C在直线l1上，求得点C的横坐标；进而知道了点D的横坐标，点D在直线l2上，易得点D的坐标；

②根据点C与点D坐标，求出CF＝|3n|，CD＝|﹣3n+12﹣n|＝|﹣4n+12|，利用矩形的面积＝长×宽，列出关于n的方程，解方程即可．

【详解】

解：（1）设直线l1的表达式为y＝k1x，

∵过点B（﹣9，3），

∴﹣9k1＝3，

解得：k1＝﹣，

∴直线l1的表达式为y＝﹣x；

设直线l2的表达式为y＝k2x+b，

∵过点A （0，12），B（﹣9，3），

∴，

解得：，

∴直线l2的表达式y＝x+12；

（2）①∵点C在直线l1上，且点C的纵坐标为n，

∴n＝﹣x，

解得：x＝﹣3n，

∴点C的坐标为（﹣3n，n），

∵CD∥y轴，

∴点D的横坐标为﹣3n，

∵点D在直线l2上，

∴y＝﹣3n+12，

∴D（﹣3n，﹣3n+12）；

②∵C（﹣3n，n），D（﹣3n，﹣3n+12），

∴CF＝|3n|，CD＝|﹣3n+12﹣n|＝|﹣4n+12|，

∵矩形CDEF的面积为60，

∴S矩形CDEF＝CF•CD＝|3n|×|﹣4n+12|＝48，

解得n＝﹣1或n＝﹣4，

当n＝﹣1时，﹣3n＝3，故C（3，﹣1），

当n＝4时，﹣3n＝1﹣12，故C（﹣12，4）．

综上所述，点C的坐标为：（3，﹣1）或C（﹣12，4）．

【点睛】

本题考查待定系数法求一次函数的解析式，勾股两点距离，矩形面积，解一元二次方程，掌握待定系数法求一次函数的解析式，勾股两点距离，矩形面积，解一元二次方程是解题关键．

5、（1）；（2）①不存在，见解析；②，，，（答案不唯一）

【分析】

（1）依照根分式的定义写一个即可；

（2）①根据建立关于x的等式，即可求出x的值，注意需要判断x的值是否使根分式有意义；

②表达，分离整式，再判断什么时候为整数，求出x的值．

【详解】

（1）由题意得：

故答案是：；

（2）①∵，

∴，

∴，

解得：，

检验，当时，，

∴原分式方程无解，

从而不存在x的值使得；

②，

∴当是一个整数时，可以取1或2，等，

∴当x是无理数时，或，

，解得：，

，解得：，

∴，，（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查求解一元二次方程，分式与二次根式的应用，掌握题目给出的新定义是解题的关键．