2021学年第十六章 一元二次方程综合与测试精练

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专项测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

2、若a是方程的一个根，则的值为（    ）

A．2020 B． C．2022 D．

3、已知一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，则一元二次方程ax2－bx+c=3的两根分别为（   ）

A．x1=0，x2=－3 B．x1=－1，x2=－4

C．x1=0，x2=3， D．x1=2，x2=－1

4、将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

5、一元二次方程的解为（    ）

A．， B．， C．， D．，

6、若方程的一个根为，则的值是（    ）

A．7 B． C．4 D．

7、一元二次方程的根的情况是（    ）

A．没有实数根 B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

8、对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有下列说法：

①当a＜0，且b＞a＋c时，方程一定有实数根；

②若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根；

③若a－b＋c＝0，则方程一定有一个根为－1；

④若方程有两个不相等的实数根，则方程bx2＋ax＋c＝0一定有两个不相等的实数根．

其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④

9、用配方法解方程x2+2x=1，变形后的结果正确的是（   ）

A．（x+1）2=-1 B．（x+1）2=0 C．（x+1）2=1 D．（x+1）2=2

10、一元二次方程2x2 - 1 = 6x化成一般形式后，常数项是 - 1，一次项系数是（    ）

A．- 2 B．- 6 C．2 D．6

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝_____，x1x2＝______．

2、已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是______．

3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______．

4、已知关于的一元二次方程有一个根为1，一个根为，则_________，__________．

5、某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园去摘梨子， 第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，…以此类推，后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了6个梨子，请问这组学生的人数为 _______

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解方程：

（1）

（2）

2、解方程：

3、已知函数y1＝x＋1和y2＝x2＋3x＋c（c为常数）.

（1）若两个函数图像只有一个公共点，求c的值；

（2）点A在函数y1的图像上，点B在函数y2的图像上，A，B两点的横坐标都为m．若A，B两点的距离为3，直接写出满足条件的m值的个数及其对应的c的取值范围．

4、解方程：

5、如图，在∆ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．动点P、Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点C移动．（不考虑起始位置，且点P，Q不与点A，B重合）

（1）P、Q两点出发后第几秒时，∆PBQ的面积为4cm2？

（2）P、Q两点出发后第几秒时，PQ的长度为5cm；

（3）∆PBQ的面积能否为7cm2？说明理由．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打场球，每个球队都打场球，并且都重复一次，根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．

【详解】

解：设共有x个班级参赛，根据题意得：

，

解得：，（不合题意，舍去），

则共有6个班级参赛，

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．

2、C

【分析】

先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：是关于的方程的一个根，

，

，

，

．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，利用整体代入的方法计算可简化计算．

3、D

【分析】

首先根据a+b+c=3可得一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为，然后根据根与系数的关系可得，，然后代入一元二次方程ax2－bx+c=3中即可求解．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，

∴一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为1，

∴一元二次方程ax2+bx+c=3化成一般形式为ax2+bx+c-3＝0，

∴，，

∵ax2－bx+c=3化成一般形式为ax2-bx+c-3＝0，即，

∴，

∴，

∴或，

解得：．

故选：D．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．

4、B

【分析】

先利用得到，再利用x的一次式表示出，则进行化简，然后解方程，从而得到的值．

【详解】

解：根据题意，∵，

∴，

∴，

∴

；

∵，

解得：，，

∵，

∴，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．

5、A

【分析】

根据因式分解法即可求解．

【详解】

∴x-1=0或x-3=0

∴，

故选A．

【点睛】

此题主要考查解一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的运用．

6、D

【分析】

将代入方程求解即可．

【详解】

解：将代入可得：

，

解得：，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查方程与根的关系，将根代入方程求解是解题关键．

7、D

【分析】

先求出Δ的值，再判断出其符号即可．

【详解】

解：∵

∴Δ＝b2−4ac＝12−4×1×（－3）＝13＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac的关系是解答此题的关键．

8、C

【分析】

①令，，，由判别式即可判断；②若，则a、c异号，由判别式即可判断；③令得，即可判断；④取，，来进行判断即可．

【详解】

①由当，，，，方程此时没有实数根，故①错误；

②若，a、c异号，则，方程一定有两个不相等的实数根，所以②正确；

③令得，则方程一定有一个根为；③正确；

④当，，时，有两个不相等的根为，但方程只有一个根为1，故④错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解以及判别式，掌握用判别式判断根的情况是解题的关键．

9、D

【分析】

方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可得到答案．

【详解】

解：∵x2+2x=1，
∴x2+2x+1=1+1，
∴（x+1）2=2，
故选D．

【点睛】

本题考查配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

10、B

【分析】

先把一元二次方程化为一般形式，即可得出一次项系数．

【详解】

∵一元二次方程化为一般形式，

∴一次项系数是．

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程的相关概念，一元二次方程一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．

二、填空题

1、3    －1   

【分析】

利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．

【详解】

解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，

∴ ．

故答案为：3，-1

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．

2、

【分析】

设该方程的另一个根为结合一元二次方程根与系数的关系可得：再解一次方程即可得到答案.

【详解】

解：是一元二次方程的一个根，设该方程的另一个根为

则

所以该方程的另一个根是

故答案为：

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握“利用一元二次方程的根与系数的关系求解方程的根或方程中未知系数的值”是解本题的关键.

3、且

【分析】

根据“关于x的方程有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．

【详解】

解：根据题意得：
Δ=9+4m＞0且 ，
解得：m＞-且，
故答案为：m＞-且．

【点睛】

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．

4、0    0   

【分析】

一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；分别将1和﹣1代入方程即可得到两个关系式的值．

【详解】

将1代入方程得：，

即；

将﹣1代入方程得：，即；

故答案为0，0．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，即方程的解的定义，深刻理解根的定义是解题关键．

5、11

【分析】

设这组学生的人数为 人，根据题意列出方程，解出即可．

【详解】

解：设这组学生的人数为 人，根据题意得：

，

即

解得： ．

故答案为：11

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

三、解答题

1、（1）；（2）

【分析】

（1）根据公式法解一元二次方程即可；

（2）根据因式分解法解一元二次方程即可

【详解】

解：（1）

（2）

即或

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．

2、，

【分析】

因式分解，可化为的形式，令，得出方程的解．

【详解】

解：

或

，．

【点睛】

本题考察了一元二次方程求解．解题的关键与难点是将方程进行因式分解．

3、（1）c＝2；（2）当c＞5时，m有0个；当c＝5时，m有1个；当－1＜c＜5时，m有2个；当c＝－1时，m有3个；当c＜－1时，m有4个

【分析】

（1）只需求出y1=y2时对应一元二次方程有两个相等的实数根的c值即可；

（2）根据题意，AB=｜m2＋2m＋c－1｜=3，分m2＋2m＋c－1＞0和m2＋2m＋c－1＜0两种情况，利用一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可．

【详解】

解：（1）根据题意，若两个函数图像只有一个公共点，

则方程x2＋3x＋c＝x＋1有两个相等的实数根，

∴△=b2－4ac＝22－4(c－1)＝0，

∴c＝2；

（2）由题意，A（m，m+1），B（m，m2＋3m＋c）

∴AB=｜m2＋3m＋c－m－1｜=｜m2＋2m＋c－1｜=3，

①当m2＋2m＋c－1＞0时，m2＋2m＋c－1=3，即m2＋2m＋c－4=0，

△=22－4（c－4）=20－4c，令△=20－4c=0，解得：c=5，

∴当c＜5时，△＞0，方程有两个不相等的实数根，即m有2个；

当c=5时，△=0，方程有两个相等的实数根，即m有1个；

当c＞5时，△＜0，方程无实数根，即m有0个；

②当m2＋2m＋c－1＜0时，m2＋2m＋c－1=－3，即m2＋2m＋c+2=0，

△=22－4（c+2）=－4c－4，令△=－4c－4=0，解得：c=－1，

∴当c＜－1时，△＞0，方程有两个不相等的实数根，即m有2个；

当c=－1时，△=0，方程有两个相等的实数根，即m有1个；

当c＞－1时，△＜0，方程无实数根，即m有0个；

综上，当c＞5时，m有0个；

当c＝5时，m有1个；

当－1＜c＜5时，m有2个；

当c＝－1时，m有3个；

当c＜－1时，m有4个．

【点睛】

本题考查函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根的判别式与根的关系、坐标与图形，解答的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系：△＞0，方程有两个不相等的实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程无实数根．

4、 

【分析】

直接用公式法求解即可．

【详解】

∴

∴

，

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

5、（1）1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；（2）2秒后，PQ的长度等于5cm；（3）△PBQ的面积不能等于7cm2．理由见解析

【分析】

（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；

（2）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可；

（3）根据三角形的面积公式，列出方程，再利用判别式，即可求解．

【详解】

解：根据题意，知

BP=AB-AP=5-t，BQ=2t．

（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4cm2，

根据三角形的面积公式，得

PB•BQ=4，

t（5-t）=4，

t2-5t+4=0，

解得t=1秒或t=4秒（舍去）．

故1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；

（2）设t秒后，PQ的长度等于5cm，根据勾股定理，得

PQ2=BP2+BQ2=（5-t）2+（2t）2=25，

5t2-10t=0，

∵t≠0，

∴t=2．

故2秒后，PQ的长度等于5cm；

（3）根据三角形的面积公式，得

PB•BQ=7，

t（5-t）=7，

t2-5t+7=0，

△=（-5）2-4×1×7=-3＜0．

故△PBQ的面积不能等于7cm2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用勾股定理和直角三角形的面积公式列方程求解．