初中数学第十六章 一元二次方程综合与测试达标测试

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专项训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列事件为必然事件的是（　　）

A．抛掷一枚硬币，正面向上

B．在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球

C．方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根

D．如果|a|＝|b|，那么a＝b

2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能为（    ）．

A．3 B．4 C．5 D．6

3、一元二次方程的两个根是 （    ）

A．， B．， C．， D．，

4、一元二次方程2x2 - 1 = 6x化成一般形式后，常数项是 - 1，一次项系数是（    ）

A．- 2 B．- 6 C．2 D．6

5、下列方程中是一元二次方程的是（     ）

A．y＋2＝1 B．＝0 C． D．

6、如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为米，根据题意可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

7、用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　）

A．（x﹣5）2＝4 B．（x+5）2＝4 C．（x﹣5）2＝121 D．（x+5）2＝121

8、对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有下列说法：

①当a＜0，且b＞a＋c时，方程一定有实数根；

②若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根；

③若a－b＋c＝0，则方程一定有一个根为－1；

④若方程有两个不相等的实数根，则方程bx2＋ax＋c＝0一定有两个不相等的实数根．

其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④

9、已知一个直角三角形的两边长是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（    ）

A．3 B． C．3或 D．5或

10、将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建团队参加，为增进了解，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片，则这个团队有_______人．

2、若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个根为1，则m的值为_______．

3、若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则a+b的值为 _____．

4、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______．

5、下列各数：－2，－1，0，2，3，是一元二次方程x²＋3x＋2＝0的根的是_________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．

（1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式：　   　；

（2）已知两个根分式M＝与N＝．

①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；

②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值．

2、已知关于x的方程x2 - 5x + m = 0

（1）若方程有一根为 - 1，求m的值；

（2）若方程无实数根，求m的取值范围

3、解方程：

4、解方程:2x2 - 4x - 1 = 0

5、解一元二次方程：

（1）       

（2）

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件，进行逐一判断即可

【详解】

解：A、抛掷一枚硬币，可能正面向上，也有可能反面向上，不是必然事件，不符合题意；

B、在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球是不可能发生的，不是必然事件，不符合题意；

C、∵，∴方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根，是必然事件，符合题意；

D、如果|a|＝|b|，那么a＝b或a=-b，不是必然事件，不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了必然事件的定义，熟知定义是解题的关键．

2、A

【分析】

根据方程有两个不相等的实数根，判别式△＞0，确定a的取值范围，判断选择即可．

【详解】

∵方程有两个不相等的实数根，

∴判别式△＞0，

∴，

∴a＜4，

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．

3、C

【分析】

分别令和，即可求出该方程的两个根．

【详解】

解：由可知：或，

方程的解为：，

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了一元二次方程的求解，一定要熟练掌握两项乘积为的一元二次方程的求解：令每一项都为0，即可求出该方程的两个根．

4、B

【分析】

先把一元二次方程化为一般形式，即可得出一次项系数．

【详解】

∵一元二次方程化为一般形式，

∴一次项系数是．

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程的相关概念，一元二次方程一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．

5、B

【分析】

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，据此解答即可．

【详解】

解：A．是二元二次方程，故本选项不合题意；

B．是一元二次方程，故本选项符合题意；

C．是二元二次方程，故本选项不合题意；

D．当a=0时，不含二次项，故本选项不合题意；

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．

6、C

【分析】

设小道的宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，根据种植面积为600平方米，列出关于的一元二次方程即可.

【详解】

解：设小道的宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，

依题意得：.

故选：C.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、列出一元二次方程是解答本题的关键.

7、A

【分析】

利用配方法，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解．

【详解】

解：x2﹣10x+21＝0，

移项得： ，

方程两边同时加上25，得： ，

即 ．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握利用配方法，需要方程的两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键．

8、C

【分析】

①令，，，由判别式即可判断；②若，则a、c异号，由判别式即可判断；③令得，即可判断；④取，，来进行判断即可．

【详解】

①由当，，，，方程此时没有实数根，故①错误；

②若，a、c异号，则，方程一定有两个不相等的实数根，所以②正确；

③令得，则方程一定有一个根为；③正确；

④当，，时，有两个不相等的根为，但方程只有一个根为1，故④错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解以及判别式，掌握用判别式判断根的情况是解题的关键．

9、D

【分析】

利用因式分解法求出一元二次方程的两根，按斜边是否是两根中的一个，进行分类讨论，通过勾股定理求斜边长，最后即可求出答案．

【详解】

解：，

因式分解得：，解得：，，

情况1：当为斜边的长时，此时斜边长为5，

情况2：当，，都为直角边长时，此时斜边长为，

这个直角三角形的斜边长为5或，

故选：D．

【点睛】

本题主要是考查了因式分解法求解方程，以及勾股定理求边长，在不确定直角边和斜边的情况下，一定要分类讨论，分情况进行求解．

10、B

【分析】

先利用得到，再利用x的一次式表示出，则进行化简，然后解方程，从而得到的值．

【详解】

解：根据题意，∵，

∴，

∴，

∴

；

∵，

解得：，，

∵，

∴，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．

二、填空题

1、10

【分析】

设这个团队有x人，根据“每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片，”列出方程求解即可．

【详解】

解：设这个团队有x人，则

x（x-1）=90，

解得：(舍)，

∴个团队有10，

故答案为：10．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程．

2、

【分析】

根据关于x的方程x2-2x+m=0的一个根是1，将x=1代入可以得到m的值，本题得以解决．

【详解】

解：∵关于x的方程x2-2x+m=0的一个根是1，

∴1-2+m=0，

解得m=1，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

3、-2

【分析】

根据一元二次方程解得定义把代入到进行求解即可．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，

∴，

∴，

故答案为：-2．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程解得定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．

4、且

【分析】

根据“关于x的方程有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．

【详解】

解：根据题意得：
Δ=9+4m＞0且 ，
解得：m＞-且，
故答案为：m＞-且．

【点睛】

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．

5、-1和-2

【分析】

直接用因式分解的方法求出一元二次方程的根即可得到答案．

【详解】

解：∵，

∴，

解得，，

∴-2，-1，0，2，3，中是方程的根的是-2，-1，

故答案为：-1和-2．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程根的定义，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．

三、解答题

1、（1）；（2）①不存在，见解析；②，，，（答案不唯一）

【分析】

（1）依照根分式的定义写一个即可；

（2）①根据建立关于x的等式，即可求出x的值，注意需要判断x的值是否使根分式有意义；

②表达，分离整式，再判断什么时候为整数，求出x的值．

【详解】

（1）由题意得：

故答案是：；

（2）①∵，

∴，

∴，

解得：，

检验，当时，，

∴原分式方程无解，

从而不存在x的值使得；

②，

∴当是一个整数时，可以取1或2，等，

∴当x是无理数时，或，

，解得：，

，解得：，

∴，，（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查求解一元二次方程，分式与二次根式的应用，掌握题目给出的新定义是解题的关键．

2、（1）m的值为．（2）

【分析】

（1）将代入原方程，即可求出m的值．

（2）令根的判别式，即可求出m的取值范围．

【详解】

（1）解：方程有一根为 - 1，

是该方程的根，

，解得：，

故m的值为．

（2）解：方程无实数根

，解得：．

【点睛】

本题主要是考查了一元二次方程的根以及根的判别式，熟练利用根的判别式，求出对应无实数根的方程中的参数取值，这是解决该题的关键．

3、，

【分析】

因式分解，可化为的形式，令，得出方程的解．

【详解】

解：

或

，．

【点睛】

本题考察了一元二次方程求解．解题的关键与难点是将方程进行因式分解．

4、，．

【分析】

此题采用公式法即可求出一元二次方程的解．

【详解】

解：由题意可知：，，

∴

∴

∴，．

【点睛】

本题主要是考查了公式法求解一元二次方程，熟练记忆一元二次方程的求根公式，是求解该题的关键．

5、（1），；（2），

【分析】

（1）根据直接开平方法解一元二次方程；

（2）根据公式法解一元二次方程先确定；再求，然后代入公式即可．

【详解】

解：（1）开方得：，

解得：，；

（2），

∵，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．