2021学年第十六章 一元二次方程综合与测试课后测评

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程章节训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（    ）

A．(x＋2)2＝5 B．(x＋2)2＝2 C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝2

2、方程的解是（    ）

A．6 B．0 C．0或6 D．-6或0

3、若一元二次方程有一个根为1，则下列等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

4、某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第十二月的总营业额要达到9100万元，求该公司11；12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（    ）

A． B．

C． D．

5、已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（　　）

A．17 B．11 C．15 D．11或15

6、若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣且a≠0 B．a≤﹣ C．a≥﹣ D．a≤﹣且a≠0

7、下列方程是一元二次方程的是（    ）

A． B．

C． D．

8、方程x2﹣8x＝5的根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根

9、把方程化成（a，b为常数）的形式，a，b的值分别是（    ）．

A．2，7 B．2，5 C．，7 D．，5

10、一元二次方程根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法判断

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、智能音箱是市场上最火的智能产品之一，某商户一月份销售了100个智能音箱，三月份比一月份多销售44个，设该公司二、三月销量的月平均增长率为x，则可列方程为 _____．

2、甲公司前年缴税100万元，今年缴税121万元，则该公司缴税的年平均增长率 _____．

3、凌源市“百合节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2018年约为5万人次，2020年约为6.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则可列方程________________．

4、方程x2﹣9＝0的解是_____．

5、小华在解一元二次方程x2＝6x时，只得出一个根是x＝6，则被他漏掉的一个根是x＝______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解下列方程：

（1）；                   

（2）．

2、（1）用配方法解方程：3x2﹣6x﹣1＝0；

（2）用公式法解方程：4x2﹣8x+3＝0．

3、解方程：

（1）（x﹣5）2＝（2﹣3x）2；

（2）x2﹣10x+16＝0；

（3）2x2﹣x﹣2＝0．

4、（1）解一元二次方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；

（2）求证：无论m取何值时，方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0总有两个不相等的实数根．

5、我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．

（1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式：　   　；

（2）已知两个根分式M＝与N＝．

①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；

②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

方程的两边同时加上一次项系数一半的平方即可，进而即求得答案．

【详解】

解：x2＋4x＝1

即

故选A

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．

2、C

【分析】

根据一元二次方程的解法可直接进行求解．

【详解】

解：

，

解得：；

故选C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

3、D

【分析】

将代入方程即可得出答案．

【详解】

解：由题意，将代入方程得：，

故选：D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，熟记一元二次方程的根的定义（使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根）是解题关键．

4、C

【分析】

根据等量关系第10月的营业额×（1+x）2=第12月的营业额列方程即可．

【详解】

解：根据题意，得：，

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．

5、C

【分析】

先求出方程的解，然后根据三角形三边关系利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．

【详解】

解：（x﹣3）2＝4，

x﹣3＝±2，

解得x1＝5，x2＝1．

若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；

若x＝1时，6﹣4＝2＞1，不能构成三角形，

6、A

【分析】

根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，

∴，

解得：且．

故选A．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键．

7、C

【分析】

判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

【详解】

A.有两个未知数，错误；

B.不是整式方程，错误；

C.符合条件；

D.化简以后为，不是二次，错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．

8、A

【分析】

计算一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】

∵方程x2﹣8x＝5，

移项得：，

，，，

∴判别式，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：A．

【点睛】

此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．

9、C

【分析】

利用配方法将一元二次方程进行化简变形即可得．

【详解】

解：，

，

，

，

∴，，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查利用配方法将一元二次方程进行变形，熟练掌握配方法是解题关键．

10、A

【分析】

计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况．

【详解】

∵，，，

∴，

∴方程有有两个不相等的实数根．

故选：A

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式的值的情况可以判断方程有无实数根．

二、填空题

1、100（1+x）2=144．

【分析】

设该公司二、三月销量的月平均增长率为x，利用增长率表示三月销量100（1+x）2,列方程即可．

【详解】

解：设该公司二、三月销量的月平均增长率为x，

则可列方程为100（1+x）2=100+44，

即100（1+x）2=144，

故答案为：100（1+x）2=144．

【点睛】

本题考查一元二次方程解增长率问题应用题，掌握一元二次方程解增长率问题应用题方法与步骤，抓住等量关系利用增长率表示三月销售智能音箱100（1+x）2与100+44相等列方程是解题关键．

2、10%

【分析】

设公司缴税的年平均增长率为x，根据增长后的纳税额＝增长前的纳税额×（1+增长率），即可得到去年的纳税额是100（1+x）万元，今年的纳税额是100（1+x）2万元，据此即可列出方程求解．

【详解】

解：设该公司缴税的年平均增长率为x，依题意得100（1+x）2＝121

解方程得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）

所以该公司缴税的年平均增长率为10%．

故答案为：10%．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的实际应用---增长率问题，认真审题找到等量关系是是解题的关键．

3、5(1+x)²=6.8

【分析】

根据2015年及2017年的观赏人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：由题意得：5(1+x)²=6.8

故答案为：5(1+x)²=6.8

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

4、x＝±3

【分析】

这个等式左边是一个平方差公式，直接分解因式，然后求出x即可．

【详解】

解：x2﹣9＝0，

（x+3）（x﹣3）＝0，

或

所以x＝3或x＝﹣3．

故答案为：x＝±3．

【点睛】

本题考查的是利用因式分解解一元二次方程，掌握“利用平方差公式把方程的左边分解因式”是解题的关键.

5、0

【分析】

由因式分解法解一元二次方程步骤因式分解即可求出．

【详解】

原式为x2＝6x

移项得x2-6x＝0

化积为x（x-6）=0

转化得x=0，x-6=0

解得x=0，x=6

故答案为：0．

【点睛】

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项→将方程的右边化为零；化积→把方程的左边分解为两个一次因式的积； 转化→令每个因式分别为零，转化成两个一元一次方程；求解→解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

三、解答题

1、（1），；（2）

【分析】

（1）先求解 再利用求根公式解方程即可；

（2）先移项，把方程的右边化为0，再把方程的左边分解因式，化为两个一次方程，再解一次方程即可.

【详解】

解：（1）

即                    

（2）

或

解得：

【点睛】

本题考查的是公式法，因式分解法解一元二次方程，掌握“一元二次方程的求根公式”是解本题的关键.

2、（1）x1=，x2=；（2）x1=，x2=．

【分析】

（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．

【详解】

解：（1）∵3x2-6x-1=0，

∴x2-2x=，

配方得：x2-2x+1=+1，

∴（x-1）2=，

∴x-1=，

∴x1=，x2=；

（2）∵4x2﹣8x+3=0，

∴a=4，b=-8，c=3，

∴△=64-4×4×3=16>0，

∴x==，

∴x1=，x2=．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法、直接开平方法、公式法、配方法．

3、（1）x1＝，x2＝﹣；（2）x1＝2，x2＝8；（3）x1＝，x2＝﹣．

【分析】

（1）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可；

（2）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可；

（3）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可．

【详解】

解：（1）∵（x﹣5）2＝（2﹣3x）2，

∴，

∴，

∴

解得：x1＝，x2＝；

（2）∵x2﹣10x+16＝0，

∴（x﹣2）（x﹣8）＝0，

∴x﹣2＝0或x﹣8＝0，

解得x1＝2，x2＝8；

（3）∵，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程 ，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．

4、（1）；（2）见详解．

【分析】

（1）首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；
（2）首先表示出Δ，得出Δ符号进而求出即可．

【详解】

（1）解：，

，
则，
整理得：，
解得：；
（2）证明：把化为一般形式：，



，
故无论m为何值，4m2+1永远大于0，则方程总有两个不相等的实数根．

【点睛】

此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及根的判别式，正确分解因式是解题关键．

5、（1）；（2）①不存在，见解析；②，，，（答案不唯一）

【分析】

（1）依照根分式的定义写一个即可；

（2）①根据建立关于x的等式，即可求出x的值，注意需要判断x的值是否使根分式有意义；

②表达，分离整式，再判断什么时候为整数，求出x的值．

【详解】

（1）由题意得：

故答案是：；

（2）①∵，

∴，

∴，

解得：，

检验，当时，，

∴原分式方程无解，

从而不存在x的值使得；

②，

∴当是一个整数时，可以取1或2，等，

∴当x是无理数时，或，

，解得：，

，解得：，

∴，，（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查求解一元二次方程，分式与二次根式的应用，掌握题目给出的新定义是解题的关键．