高考数学(文数)二轮复习解答题通关练习04《解析几何》(教师版)

这是一份高考数学(文数)二轮复习解答题通关练习04《解析几何》(教师版)，共4页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知A，F分别是椭圆C，如图，椭圆C等内容，欢迎下载使用。
4.解析几何1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且C过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值.(1)解　由题意可得解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明　由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，由消去y，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，∵直线l与椭圆交于两点，∴Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0.设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.∵直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，∴k2＝·＝，整理得km(x1＋x2)＋m2＝0，∴＋m2＝0，又m≠0，∴k2＝，结合图象(图略)可知k＝－，故直线l的斜率为定值.2.已知抛物线Γ：x2＝2py(p>0)，直线y＝2与抛物线Γ交于A，B(点B在点A的左侧)两点，且|AB|＝4.(1)求抛物线Γ在A，B两点处的切线方程；(2)若直线l与抛物线Γ交于M，N两点，且MN的中点在线段AB上，MN的垂直平分线交y轴于点Q，求△QMN面积的最大值.解　(1)由x2＝2py，令y＝2，得x＝±2，所以4＝4，解得p＝3，所以x2＝6y，由y＝，得y′＝，故y′|x＝2＝.所以在A点的切线方程为y－2＝(x－2)，即2x－y－2＝0，同理可得在B点的切线方程为2x＋y＋2＝0.(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，故设l：y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x2＝6y与y＝kx＋m联立，得x2－6kx－6m＝0，Δ＝36k2＋24m>0，所以x1＋x2＝6k，x1x2＝－6m，故|MN|＝·＝2··.又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝6k2＋2m＝4，所以m＝2－3k2，所以|MN|＝2··，由Δ＝36k2＋24m>0，得－<k<且k≠0.因为MN的中点坐标为(3k,2)，所以MN的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3k)，令x＝0，得y＝5，即Q(0,5)，所以点Q到直线kx－y＋2－3k2＝0的距离d＝＝3，所以S△QMN＝·2···3＝3·.令1＋k2＝u，则k2＝u－1，则1<u<，故S△QMN＝3·.设f(u)＝u2(7－3u)，则f′(u)＝14u－9u2，结合1<u<，令f′(u)>0，得1<u<；令f′(u)<0，得<u<，所以当u＝，即k＝±时，(S△QMN)max＝3×＝.3.已知A，F分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，|AF|＝2|PF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若椭圆C上存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限)，求直线AP与OQ的斜率之积；(3)记圆O：x2＋y2＝为椭圆C的“关联圆”.若b＝，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M，N，直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m，n，求证：＋为定值.(1)解　由PF⊥x轴，知xP＝c，代入椭圆C的方程，得＋＝1，解得yP＝±.又|AF|＝2|PF|，所以a＋c＝，所以a2＋ac＝2b2，即a2－2c2－ac＝0，所以2e2＋e－1＝0，由0<e<1，解得e＝.(2)解　因为四边形AOPQ是平行四边形，所以PQ＝a且PQ∥x轴，所以xP＝，代入椭圆C的方程，解得yP＝±b，因为点P在第一象限，所以yP＝b，同理可得xQ＝－，yQ＝b，所以kAPkOQ＝·＝－，由(1)知e＝＝，得＝，所以kAPkOQ＝－.(3)证明　由(1)知e＝＝，又b＝，解得a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1，圆O的方程为x2＋y2＝.①连接OM，ON(图略)，由题意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，所以四边形OMPN的外接圆是以OP为直径的圆，设P(x0，y0)，则四边形OMPN的外接圆方程为2＋2＝(x＋y)，即x2－xx0＋y2－yy0＝0.②①－②，得直线MN的方程为xx0＋yy0＝，令y＝0，则m＝，令x＝0，则n＝.所以＋＝49，因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，所以＋＝49(为定值).4.如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(2,0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点(|PM|>|PN|)，若S△PAM∶S△PBN＝λ，求实数λ的取值范围.解　(1)因为BF1⊥x轴，得到点B，所以解得所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)因为＝＝＝λ，所以＝(λ>2)，所以＝－.由(1)可知P(0，－1)，设MN方程为y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k2＋3)x2－8kx－8＝0，Δ>0恒成立，即得(*)又＝(x1，y1＋1)，＝(x2，y2＋1)，有x1＝－x2，将x1＝－x2代入(*)可得，＝.因为k>，所以＝∈(1,4)，则1<2<4且λ>2，即得4<λ<4＋2.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋2).