初中数学北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试课时训练

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专项测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一元二次方程x2﹣x＝0的解是（　　）

A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1

2、若一元二次方程ax2+bx+c＝0的系数满足ac＜0，则方程根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根 D．无法判断

3、为落实教育优先发展，南充市财政一般公共预算2019年教育经费投入93.15亿元，2021年教育经费投入99.45亿元，设南充市财政一般公共预算教育经费投入年平均增长率为x，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

4、如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为米，根据题意可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

5、用配方法解方程，则方程可变形为（    ）

A． B． C． D．

6、将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（    ）

A． B． C． D．

7、把方程化成（a，b为常数）的形式，a，b的值分别是（    ）．

A．2，7 B．2，5 C．，7 D．，5

8、已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ）．

A．4 B．3 C． D．

9、方程x2＝4x的解是（　　）

A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0

10、将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若关于x的一元二次方程的一个根是m，则的值为______．

2、设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两个根，当x1为1时则x1x2的值是________．

3、设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝_____，x1x2＝______．

4、小华在解方程x2 = 3x时，只得出一个根x = 3，则被他漏掉的一个根是x =_______

5、关于x的一元二次方程的两实数根，，满足，则m的值是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解方程：

（1）；

（2）．

2、已知函数y1＝x＋1和y2＝x2＋3x＋c（c为常数）.

（1）若两个函数图像只有一个公共点，求c的值；

（2）点A在函数y1的图像上，点B在函数y2的图像上，A，B两点的横坐标都为m．若A，B两点的距离为3，直接写出满足条件的m值的个数及其对应的c的取值范围．

3、 “惠民政策”陆续出台，老百姓得到实惠，某种心脏支架原价10000元一副，经过连续两次降价后，现在仅卖729元一副，求该种支架平均每次降价的百分率．

4、已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．

5、解方程：．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

方程左边含有公因式x，可先提取公因式，然后再分解因式求解．

【详解】

解：∵x2-x＝0，

∴x（x-1）＝0，

则x＝0或x-1＝0，

解得：x1＝0，x2＝1．

故选A．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法-因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

2、B

【分析】

判别式Δ＝b2﹣4ac，由于ac＜0，则﹣ac＞0，而b2≥0，于是可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断根的情况．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程为ax2+bx+c＝0，

∴Δ＝b2﹣4ac，

∵ac＜0，

∴﹣ac＞0，

又∵b2≥0，

∴Δ＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0，方程有两个相等的实数根；（3） Δ＜0，方程没有实数根．

3、A

【分析】

根据题意可直接进行求解．

【详解】

解：由题意可列方程为；

故选A．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题是解题的关键．

4、C

【分析】

设小道的宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，根据种植面积为600平方米，列出关于的一元二次方程即可.

【详解】

解：设小道的宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，

依题意得：.

故选：C.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、列出一元二次方程是解答本题的关键.

5、D

【分析】

根据配方法解一元二次方程步骤变形即可．

【详解】

∵

∴

∴

∴

∴

故选：D．

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，具体步骤为（1）化二次项系数为1. 当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数（2）加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．

6、A

【分析】

将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，即，

故选A．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

7、C

【分析】

利用配方法将一元二次方程进行化简变形即可得．

【详解】

解：，

，

，

，

∴，，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查利用配方法将一元二次方程进行变形，熟练掌握配方法是解题关键．

8、A

【分析】

根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出m+n的值，此题得解．

【详解】

解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，

∴m+n=4．

故选：A．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-是解题的关键．

9、C

【分析】

本题可先进行移项得到：x2﹣4x＝0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．

【详解】

解：原方程可化为：x2﹣4x＝0，提取公因式：x（x﹣4）＝0，

∴x＝0或x＝４

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的计算，准确分析计算是解题的关键．

10、B

【分析】

先利用得到，再利用x的一次式表示出，则进行化简，然后解方程，从而得到的值．

【详解】

解：根据题意，∵，

∴，

∴，

∴

；

∵，

解得：，，

∵，

∴，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．

二、填空题

1、-2011

【分析】

由关于x的一元二次方程的一个根是m，可得，再由求解即可．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程的一个根是m，

∴，

∴，

∴．

故答案为：-2011．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解和代数式求值，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．

2、-2

【分析】

把代入，得，所以方程为，即可求解．

【详解】

解：把代入，得：

解得：，

∴方程为，

∴x1x2==-2．

故答案为：-2

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．

3、3    －1   

【分析】

利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．

【详解】

解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，

∴ ．

故答案为：3，-1

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．

4、0

【分析】

根据因式分解法即可求出答案．

【详解】

解：∵x2=3x，
∴x2-3x=0，
∴，
∴x=0或x-3=0，
∴x1=0，x2=3，
故答案为：0．

【点睛】

本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用因式分解法．

5、2

【分析】

先根据根的判别式求得m的取值范围，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到x1x2＝m2−m＝2，进而求得m＝2或m＝−1，故可得解．

【详解】

解：由题意得Δ＝（2m）2−4（m2−m）≥0，

∴m≥0，

∵关于x的一元二次方程的两实数根，，

则x1x2＝m2−m＝2，

∴m2−m−2＝0，解得m＝2或m＝−1（舍去），

故答案为：2．

【点睛】

本题考查的是解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1x2＝．

三、解答题

1、（1）；（2）

【分析】

（1）把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；

（2）先移项，把方程右边化为0，再把方程左边分解因式，得到两个一次方程，再解一次方程即可.

【详解】

解：（1）

或

解得：

（2）

或

解得：

【点睛】

本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“利用提公因式的方法把方程的左边分解因式，再把原方程化为两个一次方程”是解本题的关键.

2、（1）c＝2；（2）当c＞5时，m有0个；当c＝5时，m有1个；当－1＜c＜5时，m有2个；当c＝－1时，m有3个；当c＜－1时，m有4个

【分析】

（1）只需求出y1=y2时对应一元二次方程有两个相等的实数根的c值即可；

（2）根据题意，AB=｜m2＋2m＋c－1｜=3，分m2＋2m＋c－1＞0和m2＋2m＋c－1＜0两种情况，利用一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可．

【详解】

解：（1）根据题意，若两个函数图像只有一个公共点，

则方程x2＋3x＋c＝x＋1有两个相等的实数根，

∴△=b2－4ac＝22－4(c－1)＝0，

∴c＝2；

（2）由题意，A（m，m+1），B（m，m2＋3m＋c）

∴AB=｜m2＋3m＋c－m－1｜=｜m2＋2m＋c－1｜=3，

①当m2＋2m＋c－1＞0时，m2＋2m＋c－1=3，即m2＋2m＋c－4=0，

△=22－4（c－4）=20－4c，令△=20－4c=0，解得：c=5，

∴当c＜5时，△＞0，方程有两个不相等的实数根，即m有2个；

当c=5时，△=0，方程有两个相等的实数根，即m有1个；

当c＞5时，△＜0，方程无实数根，即m有0个；

②当m2＋2m＋c－1＜0时，m2＋2m＋c－1=－3，即m2＋2m＋c+2=0，

△=22－4（c+2）=－4c－4，令△=－4c－4=0，解得：c=－1，

∴当c＜－1时，△＞0，方程有两个不相等的实数根，即m有2个；

当c=－1时，△=0，方程有两个相等的实数根，即m有1个；

当c＞－1时，△＜0，方程无实数根，即m有0个；

综上，当c＞5时，m有0个；

当c＝5时，m有1个；

当－1＜c＜5时，m有2个；

当c＝－1时，m有3个；

当c＜－1时，m有4个．

【点睛】

本题考查函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根的判别式与根的关系、坐标与图形，解答的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系：△＞0，方程有两个不相等的实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程无实数根．

3、该种支架平均每次降价的百分率为73％．

【分析】

设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．

【详解】

解：设该种支架平均每次降价的百分率为x，

由题意得：10000（1﹣x）2＝729，

解得：x1＝0.73，x2＝1.27（不合题意舍去），

∴x＝0.73＝73%，

答：该种支架平均每次降价的百分率为73%．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

4、（1）证明见详解；（2）a的最小值为0．

【分析】

（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根；

（2）根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定a的取值范围，即可求出a的最小值．

【详解】

（1）证明：依题意得：

，

，

∴ ．

∴方程总有两个实数根；

（2）由，

可化为：

得 ，

∵ 方程的两个实数根都是正整数，

∴ ．

∴ ．

∴a的最小值为0．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键．

5、，

【分析】

确定，，，采用求根公式法解答即可．

【详解】

∵，

∴，，，

△，

则，

，．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题的关键．