初中数学北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试综合训练题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专题测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一元二次方程的两个根是 （    ）

A．， B．， C．， D．，

2、用配方法解方程，则方程可变形为（    ）

A． B． C． D．

3、已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

4、若方程的一个根为，则的值是（    ）

A．7 B． C．4 D．

5、若a是方程的一个根，则的值为（    ）

A．2020 B． C．2022 D．

6、参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

7、方程的解是（    ）

A．6 B．0 C．0或6 D．-6或0

8、为落实教育优先发展，南充市财政一般公共预算2019年教育经费投入93.15亿元，2021年教育经费投入99.45亿元，设南充市财政一般公共预算教育经费投入年平均增长率为x，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

9、中秋佳节前某月饼店7月份的销售额是2万元，9月份的销售额是4.5万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是（　　）

A．20% B．25% C．50% D．62.5%

10、关于x的方程有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（　　）

A．n＜ B．n ≤ C．n＞ D．n＞

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、关于x的方程的一个根是，则m＝________．

2、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为 _____．

3、某工厂生产一款零件的成本为500元，经过两年的技术创新，现在生产这款零件的成本为405元，求该款零件成本平均每年的下降率是多少？设该款零件成本平均每年的下降率为，可列方程为______．

4、已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是______．

5、已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则k的值是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．

（1）若，求k的值．

（2）若，，求k的取值范围．

2、解方程：

（1）（配方法）

（2）（公式法）

3、如图，是边长为的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线运动，点Q沿折线运动，且它们的速度都为．当点Q到达点A时，点P随之停止运动连接，，设点P的运动时间为．

（1）当点Q在线段上运动时，的长为_______（），的长为_______（）（用含t的式子表示）；

（2）当与的一条边垂直时，求t的值；

（3）在运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出t的值．

4、某商城购进了一批某种品牌冰箱，标价为每台3000元．

（1）为回馈新老用户，在国庆节期间，商城对冰箱进行了连续两次降价销售，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；

（2）市场调研表明：当每台冰箱的售价为3000元时，每天能售出8台；当每台冰箱的售价每降50元时，每天就能多售出4台；若商城计划在某天销售20台冰箱，则每台冰箱的售价应定为多少元？

5、在商场中，被称为“国货之星”某运动品牌的鞋子，每天可销售20双，每双可获利40元．为庆祝新年，对该鞋子进行促销活动，该鞋子每双每降价1元，平均每天可多售出2双．若设该鞋子每双降价x元，请解答下列问题：

（1）用含x的代数式表示：降价x元后，每售出一双该鞋子获得利润是        元，平均每天售出        双该鞋子；

（2）在此次促销活动中，每双鞋子降价多少元，可使该品牌的鞋子每天的盈利为1250元？

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

分别令和，即可求出该方程的两个根．

【详解】

解：由可知：或，

方程的解为：，

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了一元二次方程的求解，一定要熟练掌握两项乘积为的一元二次方程的求解：令每一项都为0，即可求出该方程的两个根．

2、D

【分析】

根据配方法解一元二次方程步骤变形即可．

【详解】

∵

∴

∴

∴

∴

故选：D．

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，具体步骤为（1）化二次项系数为1. 当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数（2）加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．

3、B

【分析】

把代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可．

【详解】

解：把代入一元二次方程得，

，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

4、D

【分析】

将代入方程求解即可．

【详解】

解：将代入可得：

，

解得：，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查方程与根的关系，将根代入方程求解是解题关键．

5、C

【分析】

先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：是关于的方程的一个根，

，

，

，

．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，利用整体代入的方法计算可简化计算．

6、A

【分析】

设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此列出方程即可．

【详解】

解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：

，

故选：A．

【点睛】

题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．

7、C

【分析】

根据一元二次方程的解法可直接进行求解．

【详解】

解：

，

解得：；

故选C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

8、A

【分析】

根据题意可直接进行求解．

【详解】

解：由题意可列方程为；

故选A．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题是解题的关键．

9、C

【分析】

设该商店销售额平均每月的增长率为x，利用9月份的销售额＝7月份的销售额×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该商店销售额平均每月的增长率为50%．

【详解】

解：设该商店销售额平均每月的增长率为x，

依题意得：2（1+x）2＝4.5，

解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．

∴该商店销售额平均每月的增长率为50%．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键在于理解清楚题目的意思，根据条件找出等量关系，列出方程求解．

10、A

【分析】

利用判别式的意义得到△＝＞0，然后解不等式即可．

【详解】

解：

根据题意得△＝(﹣3)²﹣4n＞0，

解得n＜ ．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．

二、填空题

1、

【分析】

将代入方程即可求解．

【详解】

解：关于x的方程的一个根是，

解得

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解定义，掌握方程解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．

2、

【详解】

延长B1D交BC于E，由B1D⊥BC，根据含角直角三角形和勾股定理的性质，推导得DE＝BD，BE＝BD，设BD＝x，在Rt△B1CE中根据轴对称、勾股定理的性质,建立方程计算即可解得答案．

【解答】

延长B1D交BC于E，如图：

∵B1D⊥BC，

∴∠BED＝∠B1EC＝90°，

∵∠B＝30°，

∴DE＝BD，

∴BE＝＝BD，

设BD＝x，

∵将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，

∴B1D＝x，

∵BC＝3，

∴CE＝3﹣x，B1C＝BC＝3，

在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，

∴（x+x）2+（3﹣x）2＝32

∴

∴x＝0（舍去）或x＝

∴BD＝

故答案为：．

【点睛】

本题考查了勾股定理、一元二次方程、轴对称、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理；轴对称、含角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解．

3、

【分析】

根据题意可用x表示出经过两年的技术创新后生产这款零件成本的代数式，即可列出方程．

【详解】

设该款零件成本平均每年的下降率为x，

经过第一年的技术创新后生产这款零件的成本为（元），

经过第二年的技术创新后生产这款零件的成本为（元），

所以可列方程为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解答本题的关键．

4、

【分析】

设该方程的另一个根为结合一元二次方程根与系数的关系可得：再解一次方程即可得到答案.

【详解】

解：是一元二次方程的一个根，设该方程的另一个根为

则

所以该方程的另一个根是

故答案为：

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握“利用一元二次方程的根与系数的关系求解方程的根或方程中未知系数的值”是解本题的关键.

5、-2

【分析】

知道方程的一根，把x=2代入方程中，即可求出未知量k．

【详解】

解：将x=2代入一元二次方程x2-x+k=0，

可得：4-2+k=0，
解得k=-2，

故答案为：-2．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用．

三、解答题

1、（1）或；（2）

【分析】

（1）根据方程的特点，因式分解法解方程，进而求得的值；

（2）根据方程的解，以及，，即可求得k的取值范围．

【详解】

解：

有实根

（1）

即

解得

即或

解得或

（2）若，，则

解得

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，求得方程的解是解题的关键．

2、（1）；（2）

【分析】

（1）利用配方法，首先将常数项移项，再配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方求出即可；

（2）利用公式法直接代入求出即可．

【详解】

（1）

（2）

∴

∴

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、配方法的解题步骤是解题的关键．

3、（1）；；（2）当或或时，PQ与的一条边垂直；（3）当或时，为等腰三角形．

【分析】

（1）根据点的位置及运动速度可直接得出；

（2）根据题意分三种情况讨论：①当时，；②当时，；③当时，；作出图形，分别应用直角三角形中角的特殊性质求解即可得；

（3）根据题意，分四种情况进行讨论：①当点Q在BC边上时，时；②当点Q在BC边上时，时；③当点Q在BC边上时，时；④当点Q在AC边上时，只讨论情况；分别作出四种情况的图形，然后综合运用勾股定理及解一元二次方程求解即可．

【详解】

解：（1）点Q从点B出发，速度为，点P从点A出发，速度为，

∴，，

∴，

故答案为：；；

（2）根据题意分三种情况讨论：

①如图所示：当时，，

∵三角形ABC为等边三角形，

∴

∴

∴，

由（1）可得：，

解得：；

②如图所示：当时，，

∵

∴

∴，

由（1）可得：，

解得：；

③如图所示：当时，，

∵

∴

∴，

由（1）可得：，

解得：；

综上可得：当或或时，PQ与的一条边垂直；

（3）根据题意，分情况讨论：

①当点Q在BC边上时，时，

如图所示：过点Q作，

∵

∴

∴，

∴，

，，

∴

∵，

∴，

解得：或（舍去）；

②当点Q在BC边上时，时，

如图所示：过点P作，

∵

∴

∴，

∴，

，，

∴

∵，

∴，

解得：（舍去）；

③当点Q在BC边上时，时，如图所示：

由图可得：，，

，

∴这种情况不成立；

④当点Q在AC边上时，只讨论情况，如图所示：

过点Q作，过点C作，

∵，为等边三角形，

∴，，

∴，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

解得：或（舍去），

综上可得：当或时，为等腰三角形．

【点睛】

题目主要考查三角形与动点问题，包括勾股定理的应用，含角的直角三角形的特殊性质，等腰三角形的判定和性质，求解一元二次方程等，根据题意，作出相应图形，然后利用勾股定理求解是解题关键．

4、（1）每次降价的百分率是10%；（2）定价为2850元．

【分析】

（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x）元，第二次后的价格是60（1﹣x）2元，据此即可列方程求解；

（2）假设下调a个50元，销售冰箱数量＝原销售量+多售出量，即可列方程求解．

【详解】

解：（1）设每次降价的百分率为x，

依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，

解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）

答：每次降价的百分率是10%；

（2）假设下调a个50元，依题意得：20＝8+4a．

解得a＝3．

所以下调150元，因此定价为3000-150=2850元．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．

5、（1）（40-x），；（2）15元

【分析】

（1）根据利用40 减去降价，可得每售出一双该鞋子获得利润，再用20加上多售出的数量，即可求解；

（2）根据该品牌的鞋子每天的盈利为1250元，列出方程，即可求解．

【详解】

解：（1）根据题意得：每售出一双该鞋子获得利润是（40-x）；平均每天售出双该鞋子；

（2）由题意可列方程（40-x）（20＋2x）＝1250             

x2-30x＋225＝0，

（x-15）2＝0，

解得x1＝x2＝15 ，        

答：每双鞋子降价15元，可使该品牌的鞋子每天的盈利为1250元．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．