人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.1 基本计数原理学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.1 基本计数原理学案，共11页。学案主要包含了补偿训练，思路导引等内容，欢迎下载使用。
基本计数原理必备知识·自主学习导思什么是分类？什么是分步？1.分类加法计数原理完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．(1)定义中每一类中的每一种方法能否独立完成这件事？提示：能，每一类中的每一种方法都能独立完成这件事．(2)各类办法之间有何关系？每一类办法中各种方法之间有何关系？提示：各类办法之间相互独立，并且任何一类办法中任何一种方法也相互独立．2．分步乘法计数原理完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．(1)定义中每一步中的每一种方法能否独立完成这件事？提示：不能，每一步中的每一种方法不能独立完成这件事．(2)定义中的“完成一件事”指的是什么？提示：完成一件事指的是将完成这件事划分成几个步骤，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成．(3)根据定义完成一件事的方法数怎样计算？提示：从计数上看，各步的方法数的积就是完成这一件事的方法总数．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系 分类加法计数原理分步乘法计数原理关键词分类分步本质每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事各类(步)的关系各类方法之间是互斥的、并列的、独立的，即“分类互斥”各步之间是关联的、独立的，“关联”确保连续性，“独立”确保不重复，即“分步互依”分类加法计数原理每一类中的方法和分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别？提示：分类加法计数原理每一类中的方法可以完成一件事情，而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同办法中的方法可以相同．(　×　)提示：在分类加法计数原理中，两类不同办法中的方法是不同的，若相同它只能在同一类办法中且只能算是一种方法．(2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出26＋10＝36种不同的号码．(　√　)提示：因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0～9共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码．(3)在分类加法计数原理中的每一种办法都可以完成这件事．(　√　)提示：在分类加法计数原理中的每一种办法都是独立的，可单独完成这件事．(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　×　)提示：因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．(5)已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个．(　√　)提示：因为x从集合{2，3，7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4，8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．(6)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种．(　×　)提示：因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况．2．某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人：从中选一人担任学生会主席，共有________种不同选法．(　　)A．100　 　　B．102　 　　C．152　 　　D．50【解析】选C.这名学生会主席可能是一班学生，可能是二班学生，也可能是三班学生．依分类加法计数原理，共有50＋50＋52＝152种不同选法．3．现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为(　　)A．7　    B．12　    C．64　    D．81【解析】选B.完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法；第二步，选长裤有3种不同的选法．所以根据分步乘法计数原理共有4×3＝12种不同的搭配法．4．用1，2，3这三个数字能写出________个没有重复数字的偶数．【解析】用1，2，3这三个数字能写出1个一位偶数，2；用1，2，3这三个数字能写出2个没有重复数字的两位偶数，12，32；用1，2，3这三个数字能写出2个没有重复数字的三位偶数，132，312.所以用1，2，3这三个数字共能写出5个没有重复数字的偶数．答案：5关键能力·合作学习类型一　分类加法计数原理(数学抽象)1．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是(　　)A．5　　　　B．4　　　　C．9　　　　D．20【解析】选C.由分类加法计数原理求解，5＋4＝9(种).2．某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有(　　)A．20种  B．15种  C．10种    D．4种【解析】选B.若4本中有3 本语文参考书和1 本数学参考书，则有4种方法，若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法，若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠送方法共有4＋4＋6＋1＝15(种).3．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有(　　)A．4种      B．5种      C．6种      D．7种【解析】选A.分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆至少1个，只有2种分法．即1个和4个，2个和3个．三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆至少1个，只有2种分法．即2个和4个，3个和3个．三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的．所以不同的分法共有2＋2＝4. 分类加法计数原理解题的一般思路【补偿训练】有3个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个、白色小球5个、黄色小球4个．若从3个袋子中任取1个小球，则有________种不同的取法．【解析】有3类不同办法：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．其中，从这3个袋子的任意1个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15(种).答案：15类型二　分步乘法计数原理(数学抽象)【典例】一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?四步内容理解题意条件：①有4个拨号盘；②每个拨号盘上有从0到9共十个数字，结论：可以组成多少个四位数的号码．思路探求根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理．书写表达按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．注意书写的规范性：①注意分出明确步骤；②注意号码可以重复，每步有10种方式，最后用乘法．题后反思注意区分分类与分步；注意号码是否可重复． 1．使用分步乘法计数原理计数的两个注意点一是要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；二是各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事．2．利用分步乘法计数原理计数时的解题流程1．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为(　　)A．15　　　B．30　　　C．6　　　D．9【解析】选D.某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，则恰好选出1药1方的方法种数为3×3＝9.2．定义集合A与B之间的运算A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B中对象个数为________．【解析】确定有序数对(x，y)需要两个步骤，第一步，确定x的值有3种不同的方法；第二步，确定y的值有4种不同的方法．所以集合A*B中对象个数为3×4＝12.答案：12【补偿训练】1.从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为________．【解析】由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种选法；c的值有4种选法．由分步乘法计数原理，得抛物线的条数为5×5×4＝100.答案：1002．用0，1，2，3，4，5，6这七个数字共能组成多少个两位数．【解析】第一步，确定十位数字，1，2，3，4，5，6六个数字都可以选择，有6种方法；第二步，确定个位数字，0，1，2，3，4，5，6七个数字都可以选择，有7种选法．根据分步乘法计数原理，不同的两位数共有6×7＝42(个).故可以组成42个两位数．类型三　两个原理综合应用(数学抽象　逻辑推理)角度1　抽取(分配)问题【典例】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　)A．16种　　　B．18种　　　C．37种　　　D．48种(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________种．【思路导引】(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解．(2)先让一人去抽，然后再让被抽到的贺卡所写人去抽．【解析】(1)选C.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种).(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种).答案：9角度2　组数问题【典例】用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的：(1)银行存折的四位密码？(2)四位整数？(3)比2 000大的四位偶数？【思路导引】(1)用分步乘法计数原理求解(1)问；(2)0不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解；(3)可以按个位是0，2，4分三类，也可以按首位是2，3，4，5分四类解决，也可以用间接法求解．【解析】(1)分步解决．第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个).(2)分步解决．第一步：首位数字有5种选取方法；第二步：百位数字有5种选取方法；第三步：十位数字有4种选取方法；第四步：个位数字有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有5×5×4×3＝300(个).(3)方法一：按末位是0，2，4分为三类：第一类：末位是0的有4×4×3＝48个；第二类：末位是2的有3×4×3＝36个；第三类：末位是4的有3×4×3＝36个．则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个).方法二：按千位是2，3，4，5分四类：第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个).则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个).方法三：间接法．用0，1，2，3，4，5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：第一类：末位是0的有5×4×3＝60(个)；第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个).共有60＋96＝156(个).其中比2 000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)，所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个).角度3　涂色（种植）问题【典例】将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？【思路导引】可以按照B，D是否同色对各区域按照顺序B→D→C→A→E的涂色顺序即可求解；也可以按照所用颜色的种数分类讨论．【解析】方法一：①当B与D同色时，有4×3×2×2＝48种．②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．方法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：第一类，用4种颜色：此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2×4×3×2×1＝48种不同涂法．第二类，用3种颜色：此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共4×3×2×1＝24种不同涂法．由分类加法计数原理共48＋24＝72种不同涂法． 1．求解抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．2．组数问题(1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．3．涂色(种植)问题求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．1．某系列智能手机玻璃面板有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色．若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃面板的该系列手机．若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有________种．【解析】分2类情况讨论：①若甲购买“亮黑色”，则还剩下3种颜色，又由乙不购买“罗兰紫”，所以乙有2种选择方法，还剩下2种颜色，剩下的2人选择剩下的2种颜色，有2×1＝2种选择方法，则此时有2×2＝4种购买方案；②若甲购买“星河银”，则同①方案种数完全一致，有4种购买方案，由分类加法计数原理知，有4＋4＝8种不同的购买方案．答案：82．由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？【解析】(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个).(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个).3．用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔．问：该板报有多少种书写方案？【解析】第一步，选英语角用的彩色粉笔，有6种不同的选法；第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角用的颜色相同，有5种不同的选法；第三步，选理综视界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同，有4种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只需与理综视界的颜色不同即可，有5种不同的选法，共有6×5×4×5＝600种不同的书写方案．【补偿训练】如图所示的几何体是由一个正三棱锥P­ABC与正三棱柱ABC­A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．【解析】先涂三棱锥P­ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：12课堂检测·素养达标1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为(　　)A．10      B．16   C．20      D．24【解析】选A.每一种方法都能证明该问题，根据分类加法计数原理，不同的选法共有6＋4＝10(种).2．由数字0，1，2，3组成的无重复数字的4位数中，比2 019大的数的个数为(　　)A．10      B．11      C．12      D．13【解析】选B.根据题意，分2种情况讨论：①当千位为3时，百位有3种情况；十位有2种情况，个位有1种情况，共有3×2×1＝6种情况．②当千位为2时，若百位为1或3时，则剩下的十位有2种情况，个位有1种情况，总共2×2×1＝4种情况，即有4个符合条件的4位数；若百位为0时，只有2 031一个符合条件的4位数；综上共有6＋4＋1＝11个符合条件的4位数．3．一个科技小组中有4名女同学和5名男同学，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种；若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种．【解析】根据分类加法计数原理知，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有4＋5＝9种；由分步乘法计数原理知，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有4×5＝20种．答案：9　204.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．【解析】按照焊点脱落的个数进行分类：第一类：脱落一个焊点，只能是脱落1或4，有2种情况；第二类：脱落两个焊点，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)共6种情况；第三类：脱落三个焊点，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)共4种情况；第四类：脱落四个焊点，只有(1，2，3，4)1种情况．于是焊点脱落的情况共有2＋6＋4＋1＝13(种).答案：135．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？【解析】(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步乘法计数原理，得知P可表示平面上的点数是6×6＝36(个).(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种确定方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6(个).(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．结合(1)得，不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个).