高中人教B版 (2019)第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.2 排列与排列数第1课时学案设计

这是一份高中人教B版 (2019)第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.2 排列与排列数第1课时学案设计，共8页。学案主要包含了思路导引等内容，欢迎下载使用。
必备知识·自主学习
1.排列：从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．
2.相同排列的两个条件
(1)对象相同．
(2)顺序相同．
(1)排列中“一定顺序”的含义是什么？
提示：一定顺序就是指排列中的对象与位置有关，当位置不同时排列也就不同．
(2)排列定义中的两个要素是什么？
提示：一是“取出不同的对象”，二是“将对象按一定顺序排列”．
3．排列中对象所满足的两个特性
(1)无重复性：从n个不同对象中取出m(m≤n)个不同的对象，否则不是排列问题．
(2)有序性：安排这m个对象时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．检验它是否有顺序的依据是变换对象的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
(1)每一个排列中对象的位置是确定的吗？
提示：是，对象在排列中的位置不同排列也就不同．
(2)同一个排列中，同一个对象能重复出现吗？
提示：由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个对象．
4．排列数及排列数公式
(1)“得到从n个不同的对象中取出m个对象的一个排列”的含义是什么？
提示：“得到从n个不同对象中取出m个对象的一个排列”，包含两个方面：①从n个不同对象中取出m个对象；②按照一定顺序排列．
(2)排列与排列数有何不同？
提示：排列与排列数是两个不同的概念，“排列”是指从n个不同对象中取出m个对象按照一定顺序排成一列，是一种排法；“排列数”是指从n个不同对象中取出m个对象所得不同排列的个数，是一个数，用A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) 表示．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．( × )
提示：排列数是从若干个对象中取出若干个对象的排列的个数，所以排列数一定是整数．
(2)在排列的问题中，总体中的对象可以有重复．( × )
提示：在排列问题中总体内对象不能重复．
(3)用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列．( √ )
提示：根据排列的定义可以判断123与321是不同的排列．
(4)若A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6.( × )
提示：在A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) 中m表示连乘因数的个数，所以，n＝10，m＝5.
2．9×10×11×…×20可表示为 ( )
A．A eq \\al(\s\up1(10),\s\d1(20)) B．A eq \\al(\s\up1(11),\s\d1(20)) C．A eq \\al(\s\up1(12),\s\d1(20)) D．A eq \\al(\s\up1(13),\s\d1(20))
【解析】选C.A eq \\al(\s\up1(12),\s\d1(20)) ＝20×19×18×…×(20－12＋1)
＝20×19×18×…×9.
3．如果A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝15×14×13×12×11×10，那么n＝__________，m＝__________．
【解析】15×14×13×12×11×10＝A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(15)) ，故n＝15，m＝6.
答案：15 6
关键能力·合作学习
类型一 排列的有关概念(数学抽象)
1．判断下列问题是否是排列问题：
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？
(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
【解析】(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．
(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．
综上，(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题．
2．判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、重庆三个民航站之间直达航线的飞机票价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互写信．
【解析】(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．

判断一个具体问题是否为排列问题的方法
类型二 “树形图”解决排列问题(逻辑推理)
【典例】四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来．
【思路导引】运用树形图一一列举出来．
【解析】先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24种．
画出树形图：
由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.

利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树形图”在解决排列对象个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将对象按一定顺序排出，然后以先安排哪个对象为分类标准进行分类，再安排第二个对象，并按此对象分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．
1．若直线Ax＋By＝0的系数A，B可以从2，3，5，7中取不同的数值，可以构成的不同直线的条数是( )
A．12条 B．9条 C．8条 D．4条
【解析】选A.画树形图如下：
故共有12条．
2．写出下列问题的所有排列：
(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数．
(2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数，试全部列出．
【解析】(1)所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数．
(2)画出树形图，如图所示．
由上面的树形图可知，所有的四位数为：
1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个四位数．
类型三 排列数公式及其简单应用(数学抽象 逻辑推理)
角度1 排列数公式
【典例】1.(x－2)(x－3)(x－4)·…·(x－15)(x∈N＋，x>15)可表示为( )
A．A eq \\al(\s\up1(13),\s\d1(x－2)) B．A eq \\al(\s\up1(14),\s\d1(x－2))
C．A eq \\al(\s\up1(13),\s\d1(x－15)) D．A eq \\al(\s\up1(14),\s\d1(x－15))
【思路导引】
根据排列数公式求解．
【解析】选B.由题意x∈N＋，x>15.其中最大的数(x－2)为n，则m＝(x－2)－(x－15)＋1＝14.
所以(x－2)(x－3)(x－4)·…·(x－15)＝A eq \\al(\s\up1(14),\s\d1(x－2)) .
2．(1)计算A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(15)) 和A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) .
(2)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n＜55).
(3)化简n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m).
【思路导引】
根据题中所求排列数的特点，选择合适的排列数公式求解．
【解析】(1)A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(15)) ＝15×14×13＝2 730，
A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) ＝6×5×4×3×2×1＝720.
(2)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，
所以(55－n)(56－n)·…·(69－n)＝A eq \\al(\s\up1(15),\s\d1(69－n)) .
(3)由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)＝A eq \\al(\s\up1(m＋1),\s\d1(n＋m)) .
角度2 排列数公式的应用
【典例】10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？
【思路导引】确定一共几个人，需要选出几个人参与排列，然后用排列数公式求解．
【解析】坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(10)) ＝151 200(种)坐法．

1．排列数的计算方法
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列对象的总个数，而正整数(因式)的个数是选取对象的个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
2．解简单排列应用题的思路
(1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．
(2)如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的对象指的是什么，以及从n个不同的对象中任取m(m≤n)个对象的每一种排列对应的是什么事件．
(3)运用排列数公式求解．
提醒：解答相关的应用题时不要忽视n为正整数这一条件．
1．已知3A eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(8)) ＝4A eq \\al(\s\up1(n－2),\s\d1(9)) ，则n等于________．
【解析】由已知 eq \f(3×8！,（9－n）！) ＝ eq \f(4×9！,（11－n）！) ，即 eq \f(4×3,（11－n）（10－n）) ＝1，因为n≤9，所以解得n＝7.
答案：7
2．某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是________种．
【解析】设4个小岛分别为A，B，C，D，一个岛最多建两座桥，但是下面这样的两个排列对应一种建桥方法，A­B­C­D，D­C­B­A，要去掉重复的这样，因此有 eq \f(1,2) ×A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝12种方法．
答案：12
3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)
【解析】A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(40)) ＝40×39＝1 560.
答案：1 560
4．(1)计算 eq \f(2A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(8)) ＋7A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) ,A eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(8)) －A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(9)) ) ；(2)解方程3A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(x)) ＝2A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(x＋1)) ＋6A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(x)) .
【解析】(1) eq \f(2A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(8)) ＋7A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) ,A eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(8)) －A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(9)) ) ＝ eq \f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)
＝ eq \f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）) ＝1.
(2)由3A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(x)) ＝2A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(x＋1)) ＋6A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(x)) ，
得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1).
因为x≥3，且x∈N*，
所以3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0.解得x＝5，x＝ eq \f(2,3) (舍去).所以x＝5.
课堂检测·素养达标
1．已知下列问题：
(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组．
(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动．
(3)从a，b，c，d四个字母中取出2个字母．
(4)从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．
其中是排列问题的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选B.(1)是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关．(2)不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关．(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关．(4)是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．
2．2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有( )
A．64种 B．48种 C．24种 D．12种
【解析】选C.对四个医疗小组进行全排列分配到四个国家，故有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝24种．
3．已知A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝132，则n＝( )
A．11 B．12 C．13 D．14
【解析】选B.因为A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝132，所以n(n－1)＝132，整理，得n2－n－132＝0；解得n＝12，或n＝－11(不合题意，舍去)；所以n的值为12.
4．A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝________，A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝________．
【解析】A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝4×3＝12；A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝3×2×1＝6.
答案：12 6
5．判断下列问题是否是排列问题．
(1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？
(2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？
【解析】(1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序排好．有多少个排列就有多少封信，共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝12封信．
(2)不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话．导思
什么是排列？所有对象有没有顺序关系？
排列数
定义
从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数
排列数
表示法

全排列
n个不同对象全部取出的一个排列,叫做n个对象的一个全排列,且A eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(n)) =n×(n-1)×…×3×2×1
阶乘
正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示
排列数公式
乘积式
=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)
阶乘式
=
性质
A eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(n)) =n!,0!=1
备注
n,m∈N*,m≤n